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必修5第二章 数列 数列 通项an 等差数列 前n项和Sn 等比数列 定义 通项 前n项和 性质 知识结构 an 1 an d 常数 n N an 1 an q 常数 n N an a1 n 1 d an a1qn 1 a1 q 0 若a A b成等差数列 则A a b 2 等差 等比数列的有关概念和公式 若a G b成等比数列 则G2 ab a b 0 判断 或证明 数列为等差 等比 的方法 方法一 定义 an 1 an d或an an 1 d n 2 方法二 等差中项 an 1 an 1 2an n 2 题型 等差数列的判定与证明 题型剖析 例题 已知数列 an 是等差数列 bn 3an 4 证明数列 bn 是等差数列 又因为bn 3an 4 bn 1 3an 1 4 证明 因为数列 an 是等差数列数列设数列 an 的公差为d d为常数 即an 1 an d 所以bn 1 bn 3an 1 4 3an 4 3 an 1 an 3d 所以数列 bn 是等差数列 例题 已知数列 an 中 a1 2且an 1 sn 1 求证 an 是等比数列 2 求通项公式 解 1 略 2 由a1 2且公比q 2 故 an 的通项公式为an 2n 题型剖析 题型 等差 比 数列的判定与证明 5 已知数列 满足 1 设 求证数列是等比数列 2 设 求证是等差数列 1 等差数列 2 等比数列 等差数列与等比数列前n项和 1 3 若数列是等差数列 则也是等差数列 4 an 等差数列 其项数成等差数列 则相应的项构成等差数列 等差数列的重要性质 等差数列的重要性质 若项数为 则 若项数为 则 中间项 2 1 3 若数列是等比数列 则也是等比数列 4 an 等比数列 若其项数成等差数列 则相应的项构成等比数列 等比数列的重要性质 等比数列的重要性质 练习 在等差数列 an 中 a2 2 a5 54 求a8 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 450 则a2 a8的值为 在等差数列 an 中 a15 10 a45 90 则a60 在等差数列 an 中 a1 a2 30 a3 a4 120 则a5 a6 110 运用性质 an am n m d或等差中项 运用性质 若n m p q则am an ap aq 运用性质 从原数列中取出偶数项组成的新数列公差为2d 可推广 运用性质 若 an 是公差为d的等差数列 cn 是公差为d 的等差数列 则数列 an cn 是公差为d d 的等差数列 180 130 210 累加法 如 累乘法 如 构造新数列 如 取倒数 如 Sn和an的关系 专题一 通项的求法 分解因式 如 专题一 通项的求法 1 求数列通项公式 分解因式 取倒数 累加 构造新数列 1 2 数列的前n项和Sn n2 n 1 则通项an 倒序相加法求和 如an 3n 1 错位相减法求和 如an 2n 1 2n 分组法求和 如an 2n 3n 裂项相消法求和 如an 1 n n 1 公式法求和 如an 2n2 5n 专题二 一般数列求和法 一 倒序相加法 解 例1 二 错位相减法 解 错位相减法 求和 常应用于形如 anbn 的数列求和 其中 an 为等差数列 bn 为等比数列 bn 的公比为q 则可借助转化为等比数列的求和问题 三 分组求和 把数列的每一项分成几项 或把数列的项 集 在一块重新组合 或把整个数列分成几部分 使其转化为等差或等比数列 这一求和方法称为分组转化法 练习 求和 解 四 裂项相消求和法 常用列项技巧 把数列的通项拆成两项之差 即数列的每一项都可按此法拆成两项之差 在求和时一些正负项相互抵消 于是前n项的和变成首尾若干少数项之和 这一求和方法称为裂项相消法 得 考情分析 1 数列是高中代数的重要内容之一 也是高考的考查重点 考查的内容主要有两个方面 第一方面是数列的基本概念 第二方面是数列的运算 即运用通项公式 前n项和公式以及数列的性质求数列的一些基本量的问题 在这部分内容的考查中除了考查基础知识以外 重点是考查灵活运用知识解决问题的能力 从考查形式看 一般为一道选择题或填空题和一道解答题 其中解答题具有一定综合性 2 在最近几年高考中 探索性问题在数列中考查较多 解决探索性题型应具备较高的数学思维能力 研究与分析探索性题型有利于培养创新意识和创造精神 另一方面 综合题型在数列中考查比较多 数列与函数 数列与不等式 数列与解析几何等知识的交汇已成为考试的热点 高考冲浪 1 2012安徽高考 公比为2的等比数列 an 的各项都是正数 且a3a11 16 那么log2a10 A 4B 5C 6D 7 答案 B 2 2012新课标全国高考 已知 an 为等比数列 a4 a7 2 a5a6 8 则a1 a10 A 7B 5C 5D 7 答案 D 3 2012辽宁高考 已知等比数列 an 为递增数列 若a1 0 且2 an an 2 5an 1 则数列 an 的公比q 答案 2 4 2012江西高考 等比数列 an 的前n项和为Sn 公比不为1 若a1 1 且对任意的n N 都有an 2 an 1 2an 0 则S5 答案 11 6 2012浙江高考 已知数列 an 的前n项和为Sn 且Sn 2n2 n n N 数列 bn 满足an 4log2bn 3 n N 1 求an bn 2 求数列 an bn 的前n项和Tn 解 1 由Sn 2n2 n 可得当n 2时 an Sn Sn 1 2n2 n 2 n 1 2 n 1 4n 1 当n 1时 a1 3符合上式 an 4n 1 n N 由an 4log2bn 3可得4n 1 4log2bn 3 解得bn 2n 1 n N 2 由 1 知an