（试题 试卷 真题）第38讲：角度数量关系--基础知识)(39页)

第38讲：角度数量关系-基础知识从27讲开始，我们针对中考数学中的热门考点，从数学的基础知识方面分26个专题进行探讨。静态几何中几何量的数量关系和位置关系是平面几何的基本内容，静态几何中数量关系主要分为线段的数量关系，角度的数量关系，面积的数量关系，角度的数量关系包括相等关系，不等关系，和差关系等。结合2013年全国各地中考的实例，我们从八方面进行静态几何之角度数量关系问题的探讨：（1）应用几何基础知识证明角度相等问题；（2）应用全等（相似）三角形对应角相等证明角度相等问题；（3）应用等腰（边）三角形的性质证明角度相等问题；（4）应用特殊四边形的性质证明角度相等问题；（5）应用圆的性质证明角度相等问题；（6）角度不等关系问题；（7）角度和差倍分关系问题； （8）由折叠、平移和旋转构成的角度相等问题。一、应用几何基础知识证明角度相等问题：应用几何基础知识证明角度相等是证明角度相等的基本方法，如对顶角，平行线形成的同位角、内错角，正多边形的内角等。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究1.（ 2013年广西梧州3分）如图，直线ABCD，AB、CD与直线BE分别交与点B、E，B=70，BED=【 】A110 B50 C60 D70【答案】D。【考点】平行线的性质。2.（ 2013年广西玉林、防城港3分）直线c与a，b均相交，当ab时（如图），则【 】A12 B12 C1=2 D1+2=903.（2013年湖北恩施3分）如图所示，1+2=180，3=100，则4等于【 】A70 B80 C90 D1004.（2013年湖南娄底3分）下列图形中，由ABCD，能使1=2成立的是【 】ABCD5.（2013年内蒙古呼和浩特3分）只用下列图形中的一种，能够进行平面镶嵌的是【 】A正十边形 B正八边形 C正六边形 D正五边形6.（2013年福建漳州4分）用下列一种多边形不能铺满地面的是【】 A正方形 B正十边形 C正六边形 D等边三角形【答案】B。7.（2013年湖南长沙3分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是【 】A四边形 B五边形 C六边形 D八边形8.（2013年广西贺州8分）如图，D是ABC的边AB上一点，CNAB，DN交AC于点M，若MA=MC（1）求证：CD=AN；（2）若ACDN，CAN=30，MN=1，求四边形ADCN的面积9.（ 2013年广西梧州6分）如图，已知：ABCD，BEAD，垂足为点E，CFAD，垂足为点F，并且AE=DF求证：四边形BECF是平行四边形10.（2013年江苏徐州8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，DE平分ADC交AB于点E，BF平分ABC，交CD于点F（1）求证：DE=BF；（2）连接EF，写出图中所有的全等三角形（不要求证明）二、应用全等（相似）三角形对应角相等证明角度相等问题：应用全等三角形对应角相等的性质证明角度相等是证明角度相等的基本方法，找到两角所在的三角形全等即可证明该两角相等。在一些问题中，还需应用截取或延长变换等方法构造全等三角形来证明（详见本讲座第15讲：几何辅助线(图)作法探讨）。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究1. （2013年湖北武汉6分）如图，点E、F在BC上，BECF，ABDC，BC求证：AD2.（2013年福建三明10分）如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB（1）求证：BCPDCP；（2）求证：DPE=ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图），若ABC=58，则DPE= 度3.（2013年黑龙江大庆6分）如图，把一个直角三角形ACB（ACB=90）绕着顶点B顺时针旋转60，使得点C旋转到AB边上的一点D，点A旋转到点E的位置F，G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H（1）求证：CF=DG；（2）求出FHG的度数【答案】解：（1）证明：在CBF和DBG中，CBFDBG（SAS）。CF=DG。4.（2013年江苏常州6分）如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE求证：A=B5.（2013年江苏南京8分） 如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分 ABC，P是BD上一点，过点P作PMAD，PNCD，垂足分别为M、N。（1） 求证：ADB=CDB；（2）若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形。ABCDNMP【答案】证明：（1）BD平分ABC，ABD=CBD。6.（2013年四川乐山9分）如图，已知线段AB。（1）用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线l（保留作图痕迹，不要求写出作法）；（2）在（1）中所作的直线l上任意取两点M、N（线段AB的上方），连接AM、AN。BM、BN。求证：MAN=MBN。 7.（2013年浙江嘉兴8分）如图，ABC与DCB中，AC与BD交于点E，且A=D，AB=DC（1）求证：ABEDCE；（2）当AEB=50，求EBC的度数。8.（2013年海南省13分）（1）如图（1）点P是正方形ABCD的边CD上一点（点P与点C，D不重合），点E在BC的延长线上，且CE=CP，连接BP，DE求证：BCPDCE；（2）直线EP交AD于F，连接BF，FC点G是FC与BP的交点若CD=2PC时，求证：BPCF；若CD=nPC（n是大于1的实数）时，记BPF的面积为S1，DPE的面积为S2求证：S1=（n+1）S2图图设CP=CE=1，则BC=CD=n，DP=CDCP=n1，分别求出S1与S2的值，得，所以S1=（n+1）S2结论成立。9.（2013年浙江衢州10分）【提出问题】（1）如图1，在等边ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边AMN，连结CN求证：ABC=ACN【类比探究】（2）如图2，在等边ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论ABC=ACN还成立吗？请说明理由【拓展延伸】（3）如图3，在等腰ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰AMN，使顶角AMN=ABC连结CN试探究ABC与ACN的数量关系，并说明理由10.（2013年江苏镇江6分）如图，ABCD，AB=CD，点E、F在BC上，且BE=CF（1）求证：ABEDCF；（2）试证明：以A、F、D、E为顶点的四边形是平行四边形三、应用等腰（边）三角形的性质证明角度相等问题：应用等腰三角形底角相等和三线全一的性质证明角度相等也是证明角度相等的基本方法。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年湖北潜江、仙桃、天门、江汉油田3分）如图，在ABC中，AB=AC，A=120，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为【 】A4cm B3cm C2cm D1cm2.（2013年湖北武汉3分）如图，ABC中，ABAC，A36，BD是AC边上的高，则DBC的度数是【 】A18 B24 C30 D36来源%:zz#s*tep.c&om3.（2013年四川南充3分） 如图，ABC中，AB=AC,B=70，则A的度数是【 】A.70 B. 55 C. 50 D. 40 4.（2013年福建晋江4分）如图，在ABC中，AB=AC，ABC的外角DAC=130，则B= 2 ABD（图4）C【答案】65。【考点】等腰三角形的性质，三角形的外角性质。【分析】AB=AC，B=C。DAC=B+C=2B。DAC=130，B=130=65。5.（2013年贵州黔西南3分）如图，已知ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则E= 度6.（2013年山西省8分）如图，在ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC的中点。（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）。作DAC的平分线AM。连接BE并延长交AM于点F。（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由。【答案】解：（1）作图如下：7.（2013年湖南郴州10分）如图，ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PEAB交BC于E，PFBC交AB于F（1）证明：PCE是等腰三角形；（2）EM、FN、BH分别是PEC、AFP、ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值8.（2013年重庆市B10分）已知：如图，在ABCD中，AEBC，垂足为E，CE=CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，1=2。（l）若CF=2，AE=3，求BE的长；（2）求证：。9.（2013年江苏盐城10分） 如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连结AE、BD且AE=AB。（1）求证：ABE=EAD；（2）若AEB=2ADB，求证：四边形ABCD是菱形。四、应用特殊四边形的性质证明角度相等问题：应用特殊四边形的性质证明角度相等也是证明角度相等的基本方法，应用平行四边形对角相等的性质，等腰梯形的底角相等的性质等可以证明角度相等。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年贵州黔西南4分）已知ABCD中，A+C=200，则B的度数是【 】A100 B160 C80 D60五、应用圆的性质证明角度相等问题：应用同圆或等圆中同弧或等弧所对圆周角相等，圆内接四边形的外角等于内对角等性质可以证明圆中两角度相等问题。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年甘肃天水4分）如图，已知O的半径为1，锐角ABC内接于O，BDAC于点D，OMAB于点M，则sinCBD的值等于【 】A3 B3 C D2.（2013年江苏苏州3分）如图，AB是半圆的直径，点D是AC的中点，ABC500，则DAB等于【】A55 B60 C65 D70【答案】C。【考点】圆周角定理，角平分线定义，三角形内角和定理。【分析】如图，连接BD， AB是半圆的直径，ADB=900。 点D是AC的中点，ABD=CBD。 ABC=500，ABD=250。 DAB=900250=650。故选C。3.（2013年云南昭通3分）如图，已知AB、CD是O的两条直径，ABC=28，那么BAD=【 】A28 B42 C56 D844.（2013年湖南邵阳3分）如图所示，弦AB、CD相交于点O，连结AD、BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是 5.（2013年辽宁盘锦3分）如图，O直径AB=8，CBD=30，则CD= 6.（2013年四川自贡4分）如图，边长为1的小正方形网格中，O的圆心在格点上，则AED的余弦值是1. 六、角度不等关系问题：应用三角形外角大于不相邻的任一内角的性质，三角形中大边对大角的性质等可以证明两角度不等问题。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究1.（2013年湖南长沙3分）下列各图中，1大于2的是【 】ABCD2.（2013年四川南充3分）下列图形中，21的是【 】3.（2013年云南红河3分）如图，AB是O的直径，点C在O上，弦BD平分ABC，则下列结论错误的是【 】AAD=DC B CADB=ACB DDAB=CBA七、角度和差倍分关系问题：体现角度和差倍分关系的定理有一平行线形成的同旁内角互补，三角形的外角等于和它不相邻的两内角之和，三角形内角和定理，同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角是圆心角的一半等。典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究第2题图1.（2013年湖北荆州3分）如图，ABCD，ABE=60，D=50，则E的度数为【 】A30 B20 C10 D40【答案】C。【考点】平行线的性质，三角形的外角性质。【分析】ABCD，CFE=ABE=60。D=50，E=CFED=10。故选C。2.（2013年湖北襄阳3分）如图，在ABC中，D是BC延长线上一点，B=40，ACD=120，则A等于【 】A60B70C80D90考点：三角形的外角性质3801346分析：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知ACD=A+B，从而求出A的度数解答：解：ACD=A+B，A=ACDB=12040=80故选C点评：本题主要考查三角形外角的性质，解答的关键是沟通外角和内角的关系3.（2013年河北省3分）一个正方形和两个等边三角形的位置如6所示，若3 = 50，则1+2 =【 】 A90 B100 C130 D1804.（2013年贵州毕节3分）如图，已知ABCD，EBA=45，E+D的度数为【】A30 B60 C90 D455.（2013年山东泰安3分）如图，五边形ABCDE中，ABCD，1、2、3分别是BAE、AED、EDC的外角，则1+2+3等于【 】A90 B180 C210 D270【答案】B。【考点】平行线的性质，平角定义。【分析】如图，如图，过点E作EFAB， ABCD，EFABCD。1=4，3=5。 1+2+3=1+4+5=1800。故选B。6.（2013年湖北潜江、仙桃、天门、江汉油田3分）如图，已知直线ABCD，GEB的平分线EF交CD于点F，1=40，则2等于【 】A130 B140 C150 D1607.（ 2013年广西崇左3分）一副三角板按如图方式摆放，且1的度数比2的度数大50，若设1=x，2=y，则可得到方程组为【 】A B C D8.（2013年福建龙岩4分）如图，A、B、P是半径为2的O上的三点，APB=45，则弦AB的长为【 】 A B2 C D4【答案】9.（2