第4章-变动网络-讲稿.doc

第三章第三章 迭加原理和补偿原理3-1 引言迭加原理和补偿原理是线性网络理论的重要原理。线性网络中的许多理论及方法是建立在迭加原理基础之上的。就是质而言，线性网络的等值理论及方法是迭加原理的应用。网络的分裂算法及许多并行算法都是以叠加原理为基础的。补偿原理在电力系统故障分析和安全分析等方面起着重要作用。第四章的矩阵补偿分裂法的基础也正是补偿原理。迭加和补偿是两个即有联系，又有区别的概念。对电网络而言，迭加原理用来处理源的变化或分解问题，补偿原理用来处理网络参数的变化或分解问题。对线性网络而言，补偿原理和迭加原理是精确的网络分析方法。在一般数学意义上，迭加对应于方程组右边量的变化或分解，补偿对应于方程组系数矩阵元素的变化或分解。对于线性方程组，两个原理都是精确计算方法。本章的重点是介绍补偿原理，对迭加原理仅作简单的叙述。3-2 迭加原理对于线性方程组 若非常奇异，其解 如果右边量可分解为下面的迭加形式，那么解向量也必然分解为下面的 迭加形式。其中 （） 上面的结论就是迭加原理。它是显然的和易证的。对于电网络，有如下图的分解形式。应用：1）不同电源类型电源的分解，以便采用合理的分析方法，当网络中既有电流源又有电压源时，很难采用节电法或回路法进行分析，将电压源与电流源分两类分解，可分别采用节电法和回路法分析，尔后在将计算结果叠加；2）小信号的分解。对非线性电路，可在平衡点上，进行小信号的计算，其结果与平衡点值迭加。3-3 矩阵的分解 矩阵LDR的分解是矩阵补偿算法的基础。下面将讨论矩阵的LDR分解问题。矩阵LDR分解即把一个矩阵分解成三个矩阵相乘的形式。1引理：设， （对角方矩阵）显然为列向量，为行向量。经上述假设，三个矩阵相乘将具有以下形式： 结果显然，证：2定理3-1（矩阵的LDR分解定理）：对于任意的由个非零元素组成的阶矩阵，必有： ， 的分解形式。其中是由的非零元素组成的阶对角线矩阵，分别是由1，0，-1，组成的阶和阶整数型矩阵，且。证明：设阶矩阵除元素外，其余元素均为零。设中，其余元素均为零，取维列向量其第个元素为1，其余元素为零；取维行向量，其第个元素为1，其余元素为零，那么必有 （3.9）上式可应用矩阵相乘理论验证。若阶矩阵，设它含有个非零元素，它显然满足 （3.10）由于，即有 （3.11）由引理，得 且。 （3.12）向量和中只含有一个1元素，其余都是0。下面证明的情况。如若式（3.11）中，至少存在一里例 （） （3.13）且 ，或 （） （3.14a）的情况， 则有 （3.14c）证明：不失一般性，设 （） ， (或， )为什么 ，则或反之， 吗？说明与元素在同一行上。或者说，若与元素在同一行上，则它们对应的L向量比相等。说明与元素在同一列上。或者说，若与元素在同一列上，则它们对应的R向量比相等。两个元素可以同行或者同列。但决不能即同行也同列。若元素即同行也同列，则为一个元素。这就说明 ，则或反之， 。只存在式（3.13）和（3.14a）的一种情况，则由于其之相同，故它们同行，但定不同列，否则将是阵同一位置之上的元素，因此和的1元素必定不在相同位置上，这就保证了不可能出现不是0、1和-1的元素。于是式（3.15）可以写作，。若式（3.14）或式（3.18）在式（3.15）或式（3.16）约束下的情况多时可比更小。综上所述，式（3.8）一定成立，证毕。 例题1 矩阵已知求LDR矩阵由于，4.4 在无受控源电网络中、与的关系无受控电网络节点导纳矩阵或回路阻抗矩阵的节点支路关联矩阵和回路支路关联矩阵可以看作是相应和降阶的结果。举例分析如下：电力网络的结构通常具有图示的结构形式。对图示电路，其节点支路关联矩阵为：（由于电流源支路的导纳为零，因此不写出节点与该支路的关联性）其节点导纳矩阵方程为 （3.29） ，3-5 矩阵补偿定理定理3-2（矩阵补偿定理）：对于线性方程组 (3.36)其中及都是阶非奇异矩阵，令 （3.37）这里矩阵按3-3取法，则解向量 （3.38）式中，为补偿矩阵，阶，是基解，满足 （3.39） （3.40）若令 （3.41）式（3.39）亦可表示为 （3.42）为单位矩阵。本定理给出了线性方程组的一种一般性算法。特别适合于线性方程组系数矩阵元素有少量变更条件下的快算需要。在已知的条件下，与补偿矩阵的求取关系密切。而C的运算量与矩阵阶数紧密相连。的阶数高，矩阵的列就多，的运算量就大，并且括号项的逆运算量也大。当的阶数较小时，逆运算量不是突出问题，关键是的计算。由于一般对采取用隐式求逆法，即用分解形式处理，所以求就是用分解了的对进行前代和回代，因此的列不能太多。比如，在，时，括号中的逆运算量并不大，但若的阶数即的行数很大时的运算量却已很大。因此，设法压缩的阶数是一种有效降低运算量的方法。在已知方程的解的情况下，若系数矩阵由变为，只要的非零元素不多，这种方法就能收到明显效果。证明：由于 （3.43）令中间变量 （3.44）则 （3.45） （3.46）写成矩阵形式有： 由方程1解出X，得 （3.47）代入第二个方程，有 （3.48）从而 （3.49）代入式（3.47），得 （3.50）考虑，整理即得证定理。3-6 矩阵补偿原理在电网络中的体现对于线性电网络（不仅仅只对于电力网络），矩阵补偿定理具有如下表述形式。一、 对于节点法 (所列写的节点电压方成为)： 将导纳矩阵分解两相之和可得 -网络参数变化前的节点导纳矩阵 （3.51）其中（） （3.52） （3.53） （3.54）-是变更支路导纳变化量的倒数，并不是变化支路阻抗变化量。满足 （3.55）节点支路关联矩阵，只关于变更支路。1、和地解释变化前 变化后 由电工理论的，变化后支路导纳组成的对角方矩阵，变化前支路导纳组成的对角方矩阵-只关于变更支路。由变更支路导纳变化参数组成的对角方矩阵（第I和j条之路发生变化）（矩阵运算）其中 , 二、对于回路法当利用回路法分析电力网络时， （3.56）其中 -变更支路的阻抗变化量的倒数，满足 （3.60）或 （3.60）是回路变化支路关联矩阵。（变化支路）上述表述说明，电网络的补偿原理是3-5方法的特列。例3-1 采用补偿原理求当图3-4网络支路1-3开断后的节点电压解。采用节点法。在1-3支路末开断前有，解为 对于开断支路1-3，有 ，故从而图3124J1123650J21 叙述迭加原理和补偿原理的使用条件？用补偿法解算图3网络当支路4短路及支路6开断后的节点电压解。若支路2短路，能否利用补偿法计算变化后的网络，为什么?已知网络中的电阻值，。本章参考文献1 郭志忠，柳焯，“线性方程组的矩阵补偿解法”。2 W. F. Tinney,“Compensation methods for network solutions by optimally ordered triangular factorization”, IEEE Trans., vol. PAS-91, No.1, (1972).3 A. Brameller, “Efficient multiple solutions for changes in a network using sparsity techniques”, Proc. IEEE, vol. 120, No.5, (1973).4 O. Alsac, et a