高考数学 第三章 第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例课件 文 北师大版.ppt

第八节正弦定理 余弦定理的应用举例 1 三角形的面积公式 1 h表示边a上的高 2 3 r为三角形的内切圆半径 2 实际问题中的有关概念 1 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中 视线在水平线 的角叫仰角 在水平线下方的角叫俯角 如图 上方 2 方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 如b点的方位角为 如图 3 方向角 相对于某一正方向的水平角 如图 i 北偏东 即由指北方向顺时针旋转 到达目标方向 ii 北偏西 即由指北方向逆时针旋转 到达目标方向 iii 南偏西等其他方向角类似 4 坡角与坡度 坡角 坡面与水平面所成的二面角的度数 如图 角 为坡角 坡度 坡面的铅直高度与水平长度之比 如图 i为坡度 坡度又称为坡比 3 用正 余弦定理解应用题的一般步骤 1 读懂题意 理解问题的实际背景 明确已知和所求 理清所给量之间的关系 2 根据题意画出示意图 将实际问题转化为解三角形的问题 3 选择正弦定理或余弦定理解三角形 4 将三角形的解还原为实际问题 解题时要注意实际问题中的单位 近似计算等要求 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 面积公式中其实质就是面积公式 h为相应边上的高 的变形 2 俯角是铅垂线与视线所成的角 其范围为 3 方位角与方向角其实质是一样的 均是确定观察点与目标点之间的位置关系 4 方位角大小的范围是 0 2 方向角大小的范围一般是 5 仰角 俯角 方位角的主要区别在于参照物不同 解析 1 正确 如即为边a上的高 2 错误 俯角是视线与水平线所构成的角 3 正确 方位角与方向角均是确定观察点与目标点之间的位置关系的 4 正确 方位角是由正北方向顺时针转到目标方向线的水平角 故大小的范围为 0 2 而方向角大小的范围由定义可知为 5 正确 由仰角 俯角 方位角的定义知 仰角 俯角是相对于水平线而言的 而方位角是相对于正北方向而言的 答案 1 2 3 4 5 1 在 abc中 则s abc的值为 解析 选c 由已知得 2 在 abc中 则cosa等于 解析 选d 由已知得得 即故 3 如图所示 已知两座灯塔a和b与海洋观察站c的距离相等 灯塔a在观察站c的北偏东40 灯塔b在观察站c的南偏东60 则灯塔a在灯塔b的方向为 a 北偏西5 b 北偏西10 c 北偏西15 d 北偏西20 解析 选b 由已知 acb 180 40 60 80 又ac bc a abc 50 60 50 10 灯塔a位于灯塔b的北偏西10 4 已知a b两地的距离为10km b c两地的距离为20km 现测得 abc 120 则a c两地的距离为 km 解析 如图所示 由余弦定理可得 ac2 100 400 2 10 20 cos120 700 答案 5 某人站在60米高的楼顶a处测量不可到达的电视塔高 测得塔顶c的仰角为30 塔底b的俯角为15 已知楼底部d和电视塔的底部b在同一水平面上 则电视塔的高为 米 解析 如图 用ad表示楼高 ae与水平面平行 e在线段bc上 设塔高为h 因为 cae 30 bae 15 ad be 60 则在rt aec中 所以塔高为米 答案 考向1与三角形面积有关的问题 典例1 1 2013 中山模拟 已知o为 abc内一点 满足且则 obc的面积为 2 2013 黄山模拟 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 设s为 abc的面积 满足则角a的最大值是 3 2013 龙溪模拟 abc中 角a b c的对边分别为a b c 且2bcosa acosc ccosa 求角a的大小 若求 abc的面积 思路点拨 1 先确定o点的位置 可知o为 abc的重心 再利用向量关系求得 abc面积即可求得s obc 2 由余弦定理及面积公式可得tana的范围 再求最大值 3 利用正弦定理得角a 再利用余弦定理得bc 从而可求面积 规范解答 1 选b 由可知o为 abc的重心 故由得c bcos bac 2 又故bc 4 故 2 选b 由得 tana 1 又 角a的最大值为 3 从已知条件得2cosasinb sinacosc cosasinc sin a c sinb sinb 0 又0 a 180 a 60 由余弦定理得 7 a2 b2 c2 2bccos60 b2 c2 bc b c 2 3bc 代入b c 4 得bc 3 故 abc的面积为 互动探究 若将本例题 1 中 改为 o为 abc中线ad的中点 其他条件不变 则 obc的面积又该如何求解 解析 由得cbcosa 2 又 bc 4 又 o为 abc中线ad的中点 故 拓展提升 三角形的面积公式已知 abc中 角a b c的对边分别为a b c ha hb hc分别为边a b c上的高 1 已知一边和这边上的高 2 已知两边及其夹角 3 已知三边 其中 4 已知三边和外接圆半径r 则 变式备选 在 abc中 内角a b c的对边分别为a b c 已知 1 求的值 2 若求 abc的面积s 解析 1 方法一 在 abc中 由及正弦定理可得即cosasinb 2coscsinb 2sinccosb sinacosb 则cosasinb sinacosb 2sinccosb 2coscsinb sin a b 2sin c b 而a b c 则sinc 2sina 即 方法二 在 abc中 由可得 bcosa 2bcosc 2ccosb acosb 由余弦定理可得整理可得c 2a 由正弦定理可得 2 由c 2a及可得4 c2 a2 2accosb 4a2 a2 a2 4a2 则a 1 c 2 即 考向2测量距离问题 典例2 1 2013 聊城模拟 如图 设a b两点在河的两岸 一测量者在a的同侧的河岸边选定一点c 测出ac的距离是50m acb 45 cab 105 后 就可以计算出a b两点的距离为 2 2013 马鞍山模拟 甲船在岛a的正南b处 以4km h的速度向正北方向航行 ab 10km 同时乙船自岛a出发以6km h的速度向北偏东60 的方向驶去 当甲 乙两船相距最近时 它们所航行的时间为 3 在相距2千米的a b两点处测量目标点c 若 cab 75 cba 60 则a c两点之间的距离为 千米 思路点拨 1 先求得 abc 再利用正弦定理可解 2 画出图形 利用余弦定理求出两船间的距离 再用二次函数知识求最值即可 3 利用已知条件求得 acb 再利用正弦定理求解 规范解答 1 选a 由 acb 45 cab 105 得 abc 30 由正弦定理得 2 选a 如图 设经过th甲船航行到c处 乙船航行到d处 在 acd中 ac 10 4t ad 6t 由余弦定理得cd2 10 4t 2 6t 2 2 10 4t 6t cos120 28t2 20t 100 故当时 cd2有最小值 即两船之间的距离最短 3 由 cab 75 cba 60 得 acb 180 75 60 45 由正弦定理得即 千米 答案 互动探究 若将本例 1 中a b两点放到河岸的同侧 但不能到达 在对岸的岸边选取相距km的c d两点 同时 测得 acb 75 bcd 45 adc 30 adb 45 a b c d在同一平面内 则a b两点之间的距离又如何求解 解析 如图所示 在 acd中 adc 30 acd 120 cad 30 在 bdc中 cbd 180 45 75 60 由正弦定理得在 abc中 由余弦定理得ab2 ac2 bc2 2ac bc cos bca 即即两点a b之间的距离为 拓展提升 解决距离问题的技巧解决此类问题的实质就是解三角形 一般都离不开正弦定理和余弦定理 在解题中 首先要正确地画出符合题意的示意图 然后将问题转化为三角形问题去求解 解题时要注意 基线的选取要恰当 准确 选取的三角形及正 余弦定理要恰当 变式备选 如图 a b是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点 现位于a点北偏东45 b点北偏西60 的d点有一艘轮船发出求救信号 位于b点南偏西60 且与b点相距海里的c点的救援船立即前往营救 其航行速度为30海里 小时 该救援船到达d点需要多长时间 解析 由题意知海里 dba 90 60 30 dab 90 45 45 adb 180 45 30 105 在 abd中 由正弦定理得 海里 又 dbc dba abc 30 90 60 60 海里 在 dbc中 由余弦定理得cd2 bd2 bc2 2bd bc cos dbc cd 30海里 故所需时间 小时 故救援船到达d点需要1小时 考向3测量高度 角度问题 典例3 1 2013 鹰潭模拟 如图 为测得河对岸塔ab的高 先在河岸上选一点c 使c在塔底b的正东方向上 测得点a的仰角为60 再由点c沿北偏东15 方向走10米到位置d 测得 bdc 45 则塔ab的高是 米 2 2013 西安模拟 如图 在某港口a处获悉 其正东方向20海里b处有一艘渔船遇险等待营救 此时救援船在港口的南偏西30 据港口10海里的c处 救援船接到救援命令立即从c处沿直线前往b处营救渔船 求接到救援命令时救援船距渔船的距离 试问救援船在c处应朝北偏东多少度的方向沿直线前往b处救援 思路点拨 1 先求出 bcd 在 bcd中 由正弦定理求得bc 然后在rt abc中求ab 2 在 abc中 由余弦定理求bc 在 abc中 由正弦定理求得sin acb 然后根据确定出 acb的大小 最后确定方向角 规范解答 1 在 bcd中 cd 10 bdc 45 bcd 15 90 105 dbc 30 在rt abc中 米 答案 2 由题意得 abc中 ab 20 ac 10 cab 120 由余弦定理得cb2 ab2 ac2 2ab accos cab 即cb2 202 102 2 20 10cos120 700 即接到救援命令时救援船距渔船的距离为海里 abc中 由正弦定理得即所以救援船应沿北偏东71 的方向前往b处救援 拓展提升 处理高度问题的注意事项 1 在处理有关高度问题时 理解仰角 俯角 视线在水平线上方 下方的角分别称为仰角 俯角 是一个关键 2 在实际问题中 可能会遇到空间与平面 地面 同时研究的问题 这时最好画两个图形 一个空间图形 一个平面图形 这样处理起来既清楚又不容易搞错 提醒 高度问题一般是把它转化成三角形的问题 要注意三角形中的边角关系的应用 若是空间的问题要注意空间图形和平面图形的结合 变式训练 要测量底部不能到达的电视塔ab的高度 在c点测得塔顶a的仰角是45 在d点测得塔顶a的仰角是30 并测得水平面上的 bcd 120 cd 40m 求电视塔的高度 解析 如图 设电视塔ab的高为xm 则在rt abc中 由 acb 45 得bc x 在rt abd中 由 adb 30 得在 bdc中 由余弦定理 得bd2 bc2 cd2 2bc cd cos120 即解得x 40 电视塔高为40米 满分指导 三角形中面积公式的应用 典例 12分 2012 江西高考 在 abc中 角a b c的对边分别为a b c 已知 1 求证 2 若求 abc的面积 思路点拨 规范解答 1 由应用正弦定理 得 3分整理得sinbcosc cosbsinc 1 即sin b c 1 5分由于从而 6分 2 由 1 知因此8分由得 10分所以 abc的面积 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 汉中模拟 某人向正东方向走xkm后 向右转150 然后朝新方向走3km 结果他离出发点的距离恰好是km 那么x的值为 a b c d 3 解析 选c 如图所示 设此人从a出发 则ab x bc 3 ac abc 30 由余弦定理得整理得解得或 2 2013 蚌埠模拟 在 abc中 角a b c所对的边分别为a b c 且满足则 abc的面积为 a 2 b 4 c 6 d 8 解析 选a 故又 3 2013 淮北模拟 如图 飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内 若飞机的海拔高度为18km 速度为1000km h 飞行员先看到山顶的俯角为30 经过1min后又看到山顶的俯角为75 则山顶的海拔高度为 精确到0 1km a 11 4km b 6 6km c 6 5km d 5 6km 解析 选b 航线离山顶的距离 山顶的海拔高度为18 11 4 6 6 km 4 2012 新课标全国卷 已知a b c分别为 abc三个内角a b c的对边 c asinc ccosa 1 求a 2 若a 2 abc的面积为求b c 解析 1 由c asinc ccosa及正弦定理得sinasinc cosasinc sinc 0 由于sinc 0 所以又0 a 故 2 abc的面积故bc 4 而a2 b2 c2 2bccosa 故b2 c2 8 解得b c 2 1 已知 abc的面积为则 abc