高考数学 第十二章 第四节 条件概率与事件的独立性课件 理 苏教版.ppt

第四节条件概率与事件的独立性 1 条件概率 1 条件概率的定义一般地 对于两个事件a和b 在已知事件b发生的条件下事件a发生的概率 称为事件b发生的条件下事件a的条件概率 记为 2 条件概率公式与乘法公式 条件概率公式 p a b 其中p b 0 乘法公式 p ab p a b p a b p b 2 事件的相互独立性 1 两个事件a b相互独立的充要条件是 2 若事件a1 a2 an相互独立 则这n个事件同时发生的概率为p a1a2 an 3 如果事件a与b相互独立 那么事件a与 与b 与也都是相互独立的 p ab p a p b p a1 p a2 p an 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 条件概率一定不等于它的非条件概率 2 相互独立事件就是互斥事件 3 对于任意两个事件 公式p ab p a p b 都成立 4 p b a 表示在事件a发生的条件下 事件b发生的概率 p ba 表示事件a b同时发生的概率 解析 1 错误 当a b为相互独立事件时p b a p b 因此该说法错误 2 错误 两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生 两个事件相互独立是指一个事件发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件相互独立不一定互斥 3 错误 因为只有两个事件是相互独立事件时 公式p ab p a p b 才成立 4 正确 由各式子的意义可知 该说法正确 答案 1 2 3 4 考向1条件概率 典例1 从1 2 3 4 5中任取两个不同的数 事件a 取到的两个数之和为偶数 事件b 取到的两个数均为偶数 求p b a 的值 思路点拨 可先求出p a p ab 利用条件概率公式即可得出结果 规范解答 p a 由条件概率计算公式 得p b a 互动探究 在条件不变的情况下 求p a b 的值 解析 因为p b p ab 由条件概率计算公式 得 拓展提升 条件概率的两种求解方法 1 定义法 先求p a 和p ab 再由p b a 求p b a 2 基本事件法 借助古典概型概率公式 先求事件a包含的基本事件数n a 再求事件ab所包含的基本事件数n ab 得 变式备选 设a b为两个事件 若事件a和b同时发生的概率为 在事件a发生的条件下 事件b发生的概率为 求事件a发生的概率 解析 由题意知 考向2相互独立事件的概率 典例2 国庆节放假 甲 乙 丙去北京旅游的概率分别为假定三人的行动相互之间没有影响 求 1 这段时间内至少有1人去北京旅游的概率 2 这段时间内恰有两人去北京旅游的概率 思路点拨 1 可利用对立事件和相互独立事件的概率求解 2 恰有两人 隐含着三种情况 分类求解 规范解答 1 因甲 乙 丙去北京旅游的概率分别为因此 他们不去北京旅游的概率分别为所以 至少有1人去北京旅游的概率为p 2 恰有两人去北京旅游的概率 拓展提升 判断相互独立事件的三种常用方法 1 利用定义 事件a b相互独立 p ab p a p b 2 利用性质 a与b相互独立 则a与 与b 与也都相互独立 3 具体背景下 有放回地摸球 每次摸球结果是相互独立的 当产品数量很大时 不放回抽样也可近似看作独立重复试验 提醒 在应用相互独立事件的概率公式时 对含有 至多有一个发生 至少有一个发生 的情况 可结合对立事件的概率求解 变式训练 某项选拔共有三轮考核 每轮设有一个问题 能正确回答问题者进入下一轮考试 否则被淘汰 已知某选手能正确回答第一 二 三轮的问题的概率分别为且各轮问题能否正确回答互不影响 1 求该选手被淘汰的概率 2 该选手在选拔中回答问题的个数记为 求随机变量 的概率分布 解析 1 记 该选手能正确回答第i轮的问题 的事件为 该选手被淘汰的概率 2 的可能值为1 2 3 p 1 p 2 p 3 的概率分布表为 1 设两个独立事件a和b都不发生的概率为 a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相同 求事件a发生的概率 思路点拨 根据相互独立事件的概率公式构造方程组求解 解析 由题意 设p a x p b y 则即 x 1 或x 1 舍去 x 即事件a发生的概率是 2 如图 ja jb两个开关串联再与开关jc并联 在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0 5 计算在这段时间内线路正常工作的概率 解析 一题多解 分析要使这段时间内线路正常工作只要排除jc开且ja与jb至少有1个开的情况 举一反三 如图 电路由电池a b c并联组成 电池a b c损坏的概率分别是0 3 0 2 0 2 求电路断电的概率 解析 设事件a 电池a损坏 事件b 电池b损坏 事件c 电池c损坏 则 电路断电 a b c p a 0 3 p b 0 2 p c 0 2 p abc p a p b p c 0 3 0 2 0 2 0 012 故电路断电的概率为0 012 3 已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球 乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球 现从甲 乙两个盒内各任取2个球 1 求取出的4个球均为黑球的概率 2 求取出的4个球中恰有1个红球的概率 解析 1 设 从甲盒内取出的2个球均为黑球 为事件a 从乙盒内取出的2个球均为黑球 为事件b 由于事件a b相互独立 且所以取出的4个球均为黑球的概率为p a b p a p b 2 设 从甲盒内取出的2个球均为黑球 从乙盒内取出的2个球中 1个是红球 1个是黑球 为事件c 从甲盒内取出的2个球中 1个是红球 1个是黑球 从乙盒内取出的2个球均为黑球 为事件d 由于事件c d互斥 且所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为p c d p c p d 4 2012 重庆高考 甲 乙两人轮流投篮 每人每次投一球 约定甲先投且先投中者获胜 已知每人都已投球3次时投篮结束 设甲每次投篮投中的概率为 乙每次投篮投中的概率为 且各次投篮互不影响 1 求乙获胜的概率 2 求投篮结束时乙只投了2个球的概率 解析 设事件ak bk分别表示甲 乙在第k次投篮中投中 则p ak p bk k 1 2 3 1 记 乙获胜 为事件c 由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知 2 记 投篮结束时乙只投了2个球 为事件d 则由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式知 5 一张储蓄卡的密码共6位数字 每位数字都可从0 9中任选一个 某人在银行自助提款机上取钱时 忘记了密码的最后一位数字 求如果他记得密码的最后一位是偶数 不超过2次就按对的概率 解析 设第i次按对密码为事件ai i 1 2 则a a1 1a2表示不超过2次就按对密码 用b表示最后一位是偶数的事件 则p a b 6 2013 南通模拟 甲 乙两人在罚球线投球命中的概率分别为与 且各次投球相互之间没有影响 1 甲 乙两人在罚球线各投球一次 求这二次投球中恰好命中一次的概率 2 甲 乙两人在罚球线各投球二次 求这四次投球中至少有一次命中的概率 解析 1 依题意 记 甲投一次命中 为事件a 乙投一次命中 为事件b 则甲 乙两人在罚球线各投球一次 恰好命中一次的事件为所以 甲 乙两人在罚球线各投球一次 恰好命中一次的概率为 2 事件 甲 乙两人在罚球线各投球二次全不命中 的概率是 甲 乙两人在罚球线各投球二次 至少有一次命中的概率为 7 甲 乙 丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛 第一局由甲 乙参加而丙轮空 以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛 而前一局的失败者轮空 比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止 设在每局中参赛者胜负的概率均为 且各局胜负相互独立 求 1 打满3局比赛还未停止的概率 2 比赛停止时已打局数 的概率分布 解析 令ak bk ck分别表示甲 乙 丙在第k局中获胜 1 由独立事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知 打满3局比赛还未停止的概率为 2 的所有可能值为2 3 4 5 6 且 故 的概率分布表为 8 2012 湖北高考 现有甲 乙两个靶 某射手向甲靶射击一次 命中的概率为 命中得1分 没有命中得0分 向乙靶射击两次 每次命中的概率为 每命中一次得2分 没有命中得0分 该射手每次射击的结果相互独立 假设该射手完成以上三次射击