（浙江版）2018年高考数学一轮复习 专题8.6 空间直角坐标系、空间向量及其运算（讲）.doc

第06节 空间直角坐标系、空间向量及其运算【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测空间直角坐标系、空间向量及其运算1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。3掌握空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算。4掌握空间两点间的距离公式，会求向量的长度、两向量夹角，并会解决简单的立体几何问题。2015浙江文18；理17. 1. 空间向量的线性运算及其坐标表示.2. 运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.3.应用空间向量解决立体几何问题.4.备考重点： (1) 掌握空间向量的线性运算、坐标运算；(2)掌握空间向量的数量积计算方法.（3）利用向量判断垂直关系、平行关系.【知识清单】1. 空间向量的线性运算1.空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度(2)几种常用特殊向量单位向量：长度或模为1的向量零向量：长度为0的向量相等向量：方向相同且模相等的向量.相反向量：方向相反而模相等的向量共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量共面向量：平行于同一个平面的向量 2.空间向量的线性运算(1)空间向量的加减与数乘运算是平面向量运算的推广设a，b是空间任意两向量，若，poc，则，. （2）向量加法与数乘向量运算满足以下运算律加法交换律：abb + a .加法结合律：(ab)ca +（bc）数乘分配律：(ab)a+b.数乘结合律：(a)() a.(r，r)对点练习：【人教a版，p117复习题第1题】如图，空间四边形中，点在上，且，点为中点，则等于（ ）a. b.c. d.【答案】b2. 共线向量定理、共面向量定理的应用(1)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使a=b.(2)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在唯一实数对x、y，使.(3)空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组x，y，z，使.把a，b，c叫做空间的一个基底推论：设o、a、b、c是不共面的四点，则对空间任一点p，都存在唯一的三个有序实数x、y、z，使.其中xyz1.对点练习：已知，若三向量共面，则实数等于（ ）a b c d【答案】d【解析】由题三个向量共面可设：，则： 得：，解得：，.3. 空间向量的数量积及其应用1两个向量的数量积(1)ab|a|b|cosa，b；(2)abab0(a，b为非零向量)；(3)|a|2a2，|a|.2向量的坐标运算a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量和ab(a1b1，a2b2，a3b3)向量差ab(a1b1，a2b2，a3b3)数量积aba1b1a2b2a3b3共线aba1b1，a2b2，a3b3(r)垂直aba1b1a2b2a3b30夹角公式cosa，b对点练习：已知向量，且与互相垂直，则的值为（ ）a b c d【答案】d4.空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系：以空间一点o为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴这时建立了一个空间直角坐标系oxyz，其中点o叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面(2)右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指出y轴的正方向时，中指指向z轴的正方向(3)空间一点m的坐标用有序实数组(x，y，z)来表示，记作m(x，y，z)，其中x叫做点m的横坐标，y叫做点m的纵坐标，z叫做点m的竖坐标2空间两点间的距离公式设点a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则.对点练习：【2017届广西桂林,百色,梧州,北海,崇左五市高三5月联考】如图，在三棱锥中，平面平面， 与均为等腰直角三角形，且， 点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】，结合可得，所以，则，即，应选答案b.【考点深度剖析】本部分内容较少单独考查，主要考查向量数量积的坐标表示、空间向量方法在在证明平行与垂直及计算夹角与距离的应用【重点难点突破】考点一 空间向量的线性运算【1-1】空间四边形abcd中，若向量，点e，f分别为线段bc，ad的中点，则的坐标为（ ）a b c d【答案】b【1-2】在平行六面体abcd-a1b1c1d1中，设，e，f分别是ad1，bd的中点（1）用向量表示，；（2）若，求实数x，y，z的值【答案】（1），；（2）.【解析】（1），.（2），所以.【领悟技法】1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的基本要求.解题时应结合已知和所求观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量.2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和问题解决.【触类旁通】【变式一】如图，在空间四边形中， ， ， 点在上，且， 是的中点，则=( )a. b. c. d. 【答案】b【变式二】【百强校】2015-2016学年】辽宁省葫芦岛市一中如图，在平行六面体中，为的交点若 ，则下列向量中与相等的向量是（ ）a bc d【答案】a【解析】由题意知，故应选考点2 共线向量定理、共面向量定理的应用【2-1】【浙江省杭州市萧山区第一中学】已知a=(2,3,5)，b=(3,x,y)，若ab，则（ ）a. x=92，y=152 b. x=9，y=15 c. x=92，y=15 d. x=-9，y=-15【答案】a【2-2】有4个命题：若pxayb，则p与a、b共面；若p与a、b共面，则pxayb；若xy，则p、m、a、b共面；若p、m、a、b共面，则xy.其中真命题的个数是()a1 b2 c3 d4【答案】b【解析】正确，中若a，b共线，p与a不共线，则pxayb就不成立，正确，中若m，a，b共线，点p不在此直线上，则xy不正确故选b.【领悟技法】1.在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示2.中点向量公式，在解题时可以直接使用3证明空间任意三点共线的方法对空间三点p，a，b可通过证明下列结论成立来证明三点共线.(1)；(2)对空间任一点o，；(3)对空间任一点o，4证明空间四点共面的方法对空间四点p，m，a，b可通过证明下列结论成立来证明四点共面(1)；(2)对空间任一点o，；(3)对空间任一点o，；(4)(或或)【触类旁通】【变式一】若，不共线，对于空间任意一点都有，则，四点（ ）a不共面 b共面 c共线 d不共线【答案】b【变式二】【浙江慈溪中学】已知，若，则_；若，四点共面，则_【答案】，【解析】由题意得，；若，四点共面，存在唯一的实数，使得，考点3 空间向量的数量积及其应用【3-1】已知a（2，3，1），b（2，6，2），c（1，4，1），则向量与的夹角为（ ）a45 b90 c30 d60【答案】d【解析】因为，所以，故选d.【3-2】【2018届江西省南昌三中高三上学期第二次考试】已知半径为的球内切于正四面体，线段是球的一条动直径是直径的两端点),点是正四面体的表面上的一个动点,则的取值范围是_【答案】而又由题意m，n是直径的两端点，可得,由此可知，要求出的取值范围，只需求出，的范围即可当p位于e（切点）时，op取得最小值1；当p位于a处时，op取得最大值3综上可得的最小值为11=0，最大值为91=8则的取值范围是0，8再由，知取值范围是故答案为： 【领悟技法】1. 当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；2. 当异面直线所成的角为时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角来进行计算应该注意的是，所以3. 立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|转化为向量求解【触类旁通】【变式一】已知向量， ，且与互相垂直，则的值为（ ）a. 2 b. 0 c. -1 d. 1【答案】b【变式二】【2017届河南省郑州、平顶山、濮阳市高三二模】已知空间四边形，满足， ， ， ，则的值（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】考点4 空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算【4-1】【2017届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】已知动点p在棱长为1的正方体的表面上运动，且线段，记点p的轨迹长度为.给出以下四个命题：； ； 函数在上是增函数， 在上是减函数.其中为真命题的是_（写出所有真命题的序号）【答案】【解析】，故答案不正确；由于时，单调递增且当时， 最大；当，单调递减，故答案正确；应填答案。【4-2】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点是，则点p 到坐标原点o的距离_【答案】【解析】两点关于y轴对称，则两点的横坐标，竖坐标互为相反数，纵坐标相同，所以由点关于轴的对称点是可得 ，.【领悟技法】1.求向量的数量积的方法：设向量a，b的夹角为，则ab|a|b|cos ；若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则abx1x2y1y2z1z2.根据已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算2.求向量模的方法：|a|；若a(x，y，z)，则|a|.3空间向量的坐标运算（1）设i、j、k为两两垂直的单位向量，如果，则叫做向量的坐标（2）设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，那么abab，cosa，b，|a| ，a，ab(r)，ab.（3）设点m1(x1，y1，z1)、m2(x2，y2，z2)，则 【触类旁通】【变式一】在空间直角坐标系中的点，有下列叙述：点关于横轴(轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点为；点关于纵轴(轴)的对称点是；点关于坐标原点的对称点为其中错误的叙述个数是()a1 b2 c3 d4【答案】c【解析】点关于横轴的对称点，故错；对于，点关于坐标平面的对称点为，故错；对于，点关于纵轴的对称点是，故错；正确【变式二】已知点m（a，b，c）是空间直角坐标系oxyz中的一点，则与点m关于z轴对称的点的坐标是（ ）a（a，b，c） b（a，b，c） c（a，b，c） d（a，b，c）【答案】c【易错试题常警惕】易错典例1.【浙江卷】已知矩形abcd，ab1，bc，将abd沿矩形的对角线bd所在的直线进行翻折，在翻折过程中()a存在某个位置，使得直线ac与直线bd垂直b存在某个位置，使得直线ab与直线cd垂直c存在某个位置，使得直线ad与直线bc垂直d对任意位置，三对直线“ac与bd”，“ab与cd”，“ad与bc”均不垂直易错分析：用向量方法解决立体几何问题时，基底选择不当容易出现错误正确解析：如图，在图(1)中，易知aecf，beeffd.答案：b温馨提醒：(1)用向量法解决立体几何问题的关键是找到合适的基底，且该基底既能反映条件的特征，也能方便地与结论联系；例如本题中，翻折过程中二面角大小在变化，即，因此以为基向量，同时也便于运算.(2)注意将平面图形分析到位，并将已知条件转化到立体图形中去.易错典例2.已知，则直线ad与bc()a平行b相交c重合 d平行或重合易错分析：误解了向量平行的概念，两个向量平行，它们所在的直线可能平行或重合，是哪一种情形要视具体问题而定.正确解析：因为，所以，又和有公共的端点b，所以a，b，c三点共线；因为3，又与有公共的端点c，所以b，c，d三点共线所以a，b，c，d四点共线，所以直线ad与bc重合选c.答案：c温馨提醒：1注意向量夹角的确定，避免首尾相连的向量夹角确定错误；2注意向量夹角与两直线夹角的区别；3注意向量共线与两直线平行与重合的区别.【学科素养提升之思想方法篇】化“生”为“熟”转化与化归的思想方法1.转化与化归的思想方法是数学中最基本的思想方法，数学中一切问题的解决(当然包括解题)都离不开转化与化归，数形结合思想体现了数与形的相互转化；函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化；分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，以上三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现。各种变换方法、分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段。所以说，转化与化归是数学思想方法的灵魂.2. 转化包括等价转化和非等价转化，非等价转化又分为强化转化和弱化转化等价转化要求在转化过程中的前因后果既是充分的又是必要的，这样的转化能保证转化的结果仍为原问题所需要的结果，非等价转化其过程则是充分的或必要的，这样的转化能给人带来思维的启迪，找到解决问题的突破口，非等价变形要对所得结论进行必要的修改.非等价转化（强化转化和弱化转化）在思维上带有跳跃性，是难点，在压轴题的解答中常常用到，一定要特别重视！3.转化与化归的原则（1）熟悉化原则：将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题；（2）直观化原则：将抽象的问题转化为具体的直观的问题；（3）简单化原则：将复杂的问题转化为简单的问题，将一般性的问题转化为直观的特殊的问题；将实际问题转化为数学问题，使问题便与解决.（4）正难则反原则：若过正面问题难以解决，可考虑问题的反面，从问题的反面寻求突破的途径；（5）低维度原则：将高维度问题转化成低维度问题.4.转化与化归的基本类型（1） 正与反、一般与特殊的转化；（2） 常量与变量的转化；（3） 数与形的转化；（4） 数学各分支之间的转化；（5） 相等与不相等之间的转化；（6）