高考数学考点回归总复习《第四模块 三角函数 第十六讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数》课件 新人教版.ppt

第四模块三角函数第十六讲任意角和弧度制及任意角的三角函数 回归课本 1 角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形 旋转开始时的射线oa叫做角的始边 旋转终止时的射线ob叫做角的终边 按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角 按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角 若一条射线没作任何旋转 称它形成了一个零角 2 象限角把角置于直角坐标系中 使角的顶点与坐标原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 那么 角的终边在第几象限 我们就说这个角是第几象限角 3 象限界角 即轴线角 注意 如果角的终边在坐标轴上 就认为这个角不属于任何一个象限 即为象限界角 或轴线角 4 终边相同的角所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合s k 360 k z 或s 2k k z 前者 用角度制表示 后者 用弧度制表示 注意 1 终边相同的角不一定相等 但相等的角的终边一定相同 终边相同的角有无数个 它们相差周角的整数倍 2 一般地 终边相同的角或通式表达形式不唯一 如 k 180 90 k z 与 k 180 90 k z 都表示终边在y轴上的所有角 3 应注意整数k为奇数 偶数的讨论 5 弧度制 1 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度的角 以弧度作为单位来度量角的单位制 叫做弧度制 它的单位符号是rad 读作弧度 2 一般地 正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数 零角的弧度数是0 6 度与弧度的换算关系 周角的为1度的角即周角 1 周角 1rad 360 2 rad 180 rad 1 rad 1rad 57 18 7 扇形的半径为r 弧长为l 0 2 为圆心角弧长l r 即弧长等于该弧所对的圆心角的弧度数乘以半径 扇形面积s l r r2 8 在直角坐标系中利用单位圆的定义求任意角的三角函数设 是一个任意角 它的终边与单位圆交于点p x y 那么 1 y叫做 的正弦 记作sin 即sin y 2 x叫做 的余弦 记作cos 即cos x 3 y x叫做 的正切 记作tan 即tan x 0 9 利用角 终边上任意一点的坐标定义三角函数设直角坐标系中任意大小的角 终边上任意一点的坐标为 x y 它与原点的距离是r r 0 那么任意角的三角函数的定义 注意 要特别注意三角函数的定义域 10 各象限角的三角函数值和符号如图所示 三角函数正值口诀 全正 正弦 正切 余弦 11 终边相同的角的同一三角函数的值相等 即sin k 2 sin cos k 2 cos 其中k z tan k 2 tan 12 三角函数线图中有向线段mp om at分别表示正弦线 余弦线和正切线 注意 当角 的终边与x轴重合时 正弦线 正切线分别变成一个点 此时角 的正弦值和正切值都为0 当角 的终边与y轴重合时 余弦线变成一个点 正切线不存在 此时角 的正切值不存在 考点陪练 1 已知集合a 第一象限角 b 锐角 c 小于90 的角 下列四个命题 a b c a c c a a c b 其中正确命题的个数为 a 0b 1c 2d 3答案 a 2 将分针拨快10分钟 则分针转过的弧度数是 答案 b 答案 b 4 有下列命题 1 终边相同的角的同名三角函数的值相等 2 终边不同的角的同名三角函数的值不等 3 若sin 0 则 是第一 二象限的角 4 若 是第二象限的角 且p x y 是其终边上一点 则cos 其中正确的命题的个数是 a 1个b 2个c 3个d 4个 解析 根据任意角三角函数的定义知 1 正确 对 2 我们可举出反例对 3 可指出 但不是第一 二象限的角 对 4 因为 是第二象限的角 已有x 0 应是cos 答案 a 5 若sin 0 则 是 a 第一象限角b 第二象限角c 第三象限角d 第四象限角解析 sin 0 是第一 三象限的角 是第三象限的角 答案 c 类型一角的集合表示解题准备 1 任意角 都可以表示成 k 360 0 360 k z 2 并不是所有角都是某象限角 当角的终边落在坐标轴上时 它就不属于任何象限 3 相等的角终边一定相同 终边相同的角不一定相等 终边相同的角有无数个 它们相差360 的整数倍 4 注意 第一象限角 锐角 小于90 的角 是范围不同的三类角 需加以区别 典例1 1 如果 是第三象限角 那么 2 的终边落在何处 2 写出终边在直线上的角的集合 3 若角 的终边与角的终边相同 求在 0 2 内终边与角的终边相同的角 分析 利用终边相同的角的集合进行求解 解 1 由 是第三象限角得 2k 2k k z 2k 2k k z 即 2k 2k k z 的终边在第二象限 由 2k 2k k z 得2 4k 2 3 4k k z 角2 的终边在第一或第二象限或y轴的非负半轴上 2 在 0 内终边在直线上的角是 终边在直线上的角的集合为 k k z 3 2k k z k z 反思感悟 1 利用终边相同的角的集合s 2k k z 判断一个角 所在的象限时 只需把这个角写成 0 2 范围内的一个角 与2 的整数倍 然后判断角 所在的象限 2 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角 方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合 然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需角 类型二扇形弧长 面积公式应用解题准备 设扇形的弧长为l 圆心角大小为 弧度 半径为r 则l r s扇形 r2 注意 这里给出的弧长 扇形面积公式是在弧度制下的 使用时切记将圆心角用弧度来表示 典例2 已知一扇形的中心角是 所在圆的半径为r 1 若 60 r 10cm 求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积 2 若扇形的周长是一定值c c 0 当 为多少弧度时 该扇形有最大面积 当扇形圆心角为2弧度时 扇形面积有最大值 类型三三角函数的定义解题准备 1 任意角的三角函数值 只与角的终边位置有关 而与终边上的点的位置无关 2 当点p的坐标中含字母时 表达r时要注意分类讨论思想的应用 典例3 已知 的终边经过点p 4a 3a a 0 求sin cos tan 的值 分析 根据任意角三角函数的定义 应首先求出点p到原点的距离r 由于含有参数a 要注意分类讨论 反思感悟 1 当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时 要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类讨论 2 熟记几组常用的勾股数组 如 3 4 5 5 12 13 7 24 25 8 15 17 9 40 41 等 会给我们解题带来很多方便 3 若角 已经给定 不论点p选择在 的终边上的什么位置 角 的三角函数值都是确定的 另一方面 如果角 终边上一点坐标已经确定 那么根据三角函数定义 角 的三角函数值也都是确定的 类型四象限角与三角函数符号问题解题准备 三角函数的符号如下表 正值口诀 全正 正弦 正切 余弦 典例4 1 如果点p sin cos 2cos 位于第三象限 试判断角 的终边所在的象限 2 若 是第二象限角 则的符号是什么 分析 1 由点p所在的象限 知道sin cos 2cos 的符号 从而可求sin 与cos 的符号 2 由 是第二象限角 可求cos sin2 的范围 进而把cos sin2 看作一个用弧度制的形式表示的角 并判断其所在的象限 从而sin cos cos sin2 的符号可定 解 1 因为点p在第三象限 sin cos 0 cos 0 故 的终边在第二象限 2 因为 是第二象限角 所以cos 0 故 反思感悟 此处要正确理解sin cos 的含义 sin cos 中 是把角 的余弦值 一个实数 作为一个角的弧度数 求该角的正弦值 因此只需研究cos 这个角的范围 所在象限 即可 错源一忽视表示区间角的不等式两端的大小关系 典例1 用集合表示终边在阴影部分的角 的集合 错解 由图可知 终边落在射线oa上的角为2k k z 终边落在射线ob上的角为2k k z 所以终边落在图中阴影部分的集合为 2k 2k k z 剖析 上面集合中的关于角的不等式是一个矛盾的不等式 左边的比右边的大 正解 由图知 终边落在射线oa上的角为2k k z 终边落在射线ob上的角为2k k z 所以终边落在图中阴影部分的集合为 2k 2k k z 评析 利用终边相同的角的表达式表示区域角要把握两条原则 1 按逆时针方向书写 2 表示区域角的不等式两个端点值的差必须是终边落在两条边界射线 或直线 上的最小差值 错源二利用三角函数值符号判断角的位置时 忽视轴线角而致错 典例2 已知sin 0 cos 0 试确定 终边的位置 错解 由sin 0知 终边在第一象限 或第二象限 或y轴的非负半轴上 又由cos 0知 终边在第一象限 或第四象限 或x轴的非负半轴上 故 终边在第一象限 剖析 错解的解答中由sin 0和cos 0确定 终边位置时 分别遗漏了x轴和y轴的情形 造成错误 正解 由sin 0知 终边在第一象限或第二象限 或x轴 或y轴的非负半轴上 由cos 0知 终边在第一象限或第四象限 或y轴 或x轴的非负半轴上 故 终边在第一象限 或x轴的非负半轴上 或y轴的非负半轴上 技法一等分单位圆一 单位圆的二 四等分法在单元圆中 当角 k 或 k k r 此时 sin cos 时 其终边分单位圆为二 四等份的情况如下图1 图2 表1 典例1 在 0 2 内 使sin cos 成立的 的取值范围为 解析 由图1和表1可知此题选b 答案 b 二 标象限法在单位圆中 当角 k z 时 角的终边和坐标轴重合 其终边分单位圆为四个象限的情况如下图 表2 3 单位圆的八等分法在单位圆中 当 k z 时 其终边分单位圆为八等份的情况如上图 表3 特别地 当角 终边与坐标轴重合时 sin cos 的值是1或 1 典例2 若sin2 cos2 则 的取值范围是 a 2k 2k k z b 2k 2k k z c k k k z d k k k z 解析 sin2 cos2 sin cos 由表1 角 的终边在图2的区域1 3 故选d 答案 d 4 结论分析举例 典例3 证明 当 2k 2k k z时 sin cos 证明 如右图 根据三角函数的定义 在单位圆中 sin mp cos om 在 opm中 m