高考数学考点回归总复习《第三十八讲 两直线的位置关系》课件 新人教版.ppt

第三十八讲两直线的位置关系 回归课本1 两条直线平行与垂直的判定 1 两条直线平行对于两条不重合的直线l1 l2 其斜率分别为k1 k2 则有l1 l2 k1 k2 特别地 当直线l1 l2的斜率都不存在时 l1与l2的关系为平行 2 两条直线垂直如果两条直线l1 l2的斜率存在 分别设为k1 k2 则l1 l2 k1 k2 1 一般地 若直线l1 a1x b1y c1 0 a1 b1不全为0 直线l2 a2x b2y c2 0 a2 b2不全为0 则l1 l2 a1b2 a2b1 0且a1c2 a2c1 0 或b1c2 b2c1 0 l1 l2 a1a2 b1b2 0 l1与l2重合 a1b2 a2b1 0且a1c2 a2c1 0 或b1c2 b2c1 0 2 三种距离 1 两点间的距离平面上的两点p1 x1 y1 p2 x2 y2 间的距离公式特别地 原点 0 0 与任一点p x y 的距离 2 点到直线的距离点p0 x0 y0 到直线l ax by c 0的距离 3 两条平行线的距离两条平行线ax by c1 0与ax by c2 0间的距离 考点陪练1 已知两条直线y ax 2和y a 2 x 1互相垂直 则a等于 a 2b 1c 0d 1解析 由a a 2 1 解得a 1 答案 d 2 已知两直线l1 x ysin 1 0 l2 2xsin y 1 0 若l1 l2 则 解析 当sin 0时 不合题意 当sin 0时 2sin sin k k z 答案 k k z 3 过点a 1 2 且与原点距离最大的直线方程为 a x 2y 5 0b 3x y 4 0c x 3y 7 0d 3x y 5 0解析 所求直线过点a且与oa垂直时满足条件 此时koa 2 故所求直线的斜率为所以直线方程为即x 2y 5 0 答案 a 4 已知p1 x1 y1 是直线l f x y 0上的一点 p2 x2 y2 是直线l外一点 由方程f x y f x1 y1 f x2 y2 0表示的直线与直线l的位置关系是 a 互相重合b 互相平行c 互相垂直d 互相斜交答案 b 5 将直线l x 2y 1 0向左平移3个单位 再向上平移2个单位后得到直线l 则直线l与l 的距离为 答案 b 类型一两条直线位置关系的判定和应用解题准备 判断两条直线平行或垂直时 往往从两条直线斜率间的关系入手加以判断 当直线方程中含有字母系数时 要考虑斜率不存在的特殊情况 判断两直线垂直时 若用l1 l2 a1a2 b1b2 0可不用分类讨论 但在两直线平行的判断中 既要看斜率 又要看截距 典例1 已知直线l1 ax 2y 6 0和直线l2 x a 1 y a2 1 0 1 试判断l1与l2是否平行 2 当l1 l2时 求a的值 分析 可以把直线化成斜截式 运用斜率或截距的数量关系来判断求解 但由于直线的斜率可能不存在 就必须进行分类讨论 也可以运用一般式方程中的关系来判断或求解 这样可以避免讨论 反思感悟 1 直线l1 y k1x b1 直线l2 y k2x b2 l1 l2 k1 k2且b1 b2 的前提条件是l1 l2的斜率都存在 若不能确定斜率的存在性 应对其进行分类讨论 当l1 l2中有一条存在斜率 而另一条不存在斜率时 l1与l2不平行 当l1 l2的斜率都不存在 l1与l2不重合 时 l1 l2 当l1 l2均有斜率且k1 k2 b1 b2时 有l1 l2 为避免分类的讨论 可采用直线方程的一般式 利用一般式方程中的 系数关系 的形式来判断两直线是否平行 如本例解法二 2 当l1 l2时 可分斜率不存在与斜率存在 且k1 k2 1解决问题 如果利用a1a2 b1b2 0可避免分类讨论 类型二距离问题 3 点到几种特殊直线的距离 1 点p x0 y0 到x轴的距离d y0 2 点p x0 y0 到y轴的距离d x0 3 点p x0 y0 到与x轴平行的直线y a的距离d y0 a 4 点p x0 y0 到与y轴平行的直线x b的距离d x0 b 典例2 两条互相平行的直线分别过点a 6 2 b 3 1 并且各自绕着a b旋转 如果两条平行直线间的距离为d 求 1 d的变化范围 2 当d取最大值时 两条直线的方程 解 1 解法一 当两条直线的斜率都不存在时 即两直线分别为x 6和x 3 则它们之间的距离为9 当两条直线的斜率存在时 设这两条直线方程为l1 y 2 k x 6 l2 y 1 k x 3 即l1 kx y 6k 2 0 l2 kx y 3k 1 0 即 81 d2 k2 54k 9 d2 0 k r 且d 9 d 0 542 4 81 d2 9 d2 0 即0 d 且d 9 综合 可知 所求的d的变化范围为 解法二 如图所示 显然有0 d ab 2 由图可知 当d取最大值时 两直线垂直于ab 则 所求的直线的斜率为 3 故所求的直线方程分别为y 2 3 x 6 和y 1 3 x 3 即3x y 20 0和3x y 10 0 类型三交点及直线系问题解题准备 符合特定条件的某些直线构成一个直线系 常见的直线系方程有如下几种 1 过定点m x0 y0 的直线系方程为y y0 k x x0 这个直线系方程中未包括直线x x0 2 和直线ax by c 0平行的直线系方程为ax by c 0 c c 3 和直线ax by c 0垂直的直线系方程为bx ay c 0 4 经过两相交直线a1x b1y c1 0和a2x b2y c2 0的交点的直线系方程为a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 这个直线系方程中不包括直线a2x b2y c2 0 典例3 求经过直线l1 3x 2y 1 0和l2 5x 2y 1 0的交点 且垂直于直线l3 3x 5y 6 0的直线l的方程 分析 本题可先求出交点坐标 然后由直线间的位置关系求得 也可由直线系方程 根据直线间位置关系求得 解法二 l l3 故l是直线系5x 3y c 0中的一条 而l过l1 l2的交点 1 2 故5 1 3 2 c 0 由此求出c 1 故l的方程为5x 3y 1 0 解法三 l过l1 l2的交点 故l是直线系3x 2y 1 5x 2y 1 0中的一条 将其整理 得 3 5 x 2 2 y 1 0 其斜率解得 代入直线系方程即得l的方程为5x 3y 1 0 反思感悟 对直线系方程的形式不熟悉或不能正确运用直线系方程 是出错的原因之一 运用直线系方程 有时会给解题带来方便 常见的直线系方程有 1 与直线ax by c 0平行的直线系方程是 ax by m 0 m r且m c 2 与直线ax by c 0垂直的直线系方程是bx ay m 0 m r 3 过直线l1 a1x b1y c1 0与l2 a2x b2y c2 0的交点的直线系方程为a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 r 但不包括l2 类型四对称问题解题准备 1 对称问题主要包括中心对称和轴对称 中心对称 点p x y 关于o a b 的对称点p x y 满足 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决 轴对称 点a a b 关于直线ax by c 0 b 0 的对称点a m n 则有 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 2 在对称问题中 点关于点的对称是中心对称中最基本的 处理这类问题主要抓住 已知点与对称点连成线段的中点为对称中心 点关于直线对称是轴对称中最基本的 处理这类问题要抓住两点 一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直 二是已知点与对称点为端点的线段的中点在对称轴上 典例4 求直线a 2x y 4 0关于直线l 3x 4y 1 0对称的直线b的方程 分析 本题的思路较多 可以根据点斜式或两点式写出直线b的方程 也可以利用轨迹或对称观点求出直线b的方程 错源一缺乏分类意识 典例1 求过直线4x 2y 1 0与直线x 2y 5 0的交点且与两点a 0 8 b 4 0 距离相等的直线l的方程 剖析 错解缺乏分类讨论的意识 对直线的位置关系考虑不全 事实上当直线l经过ab的中点时也满足条件 正解 由已知可求得两直线的交点为 1 若点a b在直线l的同侧 则l ab ab的斜率k 2 所以直线l的方程为即4x 2y 15 0 2 若点a b在直线l的两侧 则直线l经过线段ab的中点 2 4 可求出直线方程为x 2 综上可得 直线l的方程为4x 2y 15 0或x 2 错源二忽视隐含条件 典例2 如果直线 m 2 x m2 3m 2 y m 2与y轴平行 求m的值 错解 因为直线 m 2 x m2 3m 2 y m 2与y轴平行 所以m2 3m 2 0 解得m 1或m 2 所以当m 1或m 2时直线与y轴平行 剖析 方程ax by c 0表示直线 其中隐含着a b 0这一条件 当m 2时 直线方程 m 2 x m2 3m 2 y m 2为0 x 0 y 0 它不表示直线 所以出现错误 正解 因为直线 m 2 x m2 3m 2 y m 2与y轴平行 所以m2 3m 2 0 且m 2 0 解得m 1 所以当m 1时直线与y轴平行 技法一数形结合 典例1 已知 abc中 a点坐标为 1 3 ab ac边上的中线所在直线方程分别为x 2y 1 0和y 1 0 求 abc各边所在直线的方程 解题切入点 画出草图帮助思考 欲求各边所在直线的方程 只需求出三角形顶点b c的坐标 b点应满足的两个条件是 b在直线y 1 0上 ba的中点d在直线x 2y 1 0上 由 可设点b的坐标为 xb 1 进而再由 确定xb 依照同样的方法可以确定顶点c的坐标 故 abc各边所在的直线方程可求 解 设ab ac边上的中线分别为cd be 其中d e为中点 b在中线y 1 0上 设b点的坐标为 xb 1 又 d为ab的中点 a 1 3 d的坐标为 方法与技巧 依据已知条件求平面图形中某些直线的方程 必须 数形结合 通过数形结合 特别是借助平面图形分析出隐含条件 这样可以达到化难为易 化繁为简的目的 以形助数也是平面解析几何中常用的方法 技法二对称问题的解法 1 点关于直线对称 典例2 已知直线l 3x y 3 0 求点p 4 5 关于直线l的对称点 解题切入点 利用对称性质列有关对称点坐标的方程组进而求解 方法与技巧 解法一的应用最为广泛 其关键是利用 垂直 平分 点p a b 关于特殊直线的对称点列表如下 2 直线关于点对称 典例3 求直线l1 2x y 1 0关于点p 2 1 的对称直线l2的方程 解题切入点 利用好中心对称的性质是解对称问题的关键 解 解法一 因为l1与l2关于点 2 1 对称 所以l1 l2 设l2 2x y c 0 由点p 2 1 到两直线的距离相等 有 解得c 7或c 1 舍去 故所求的方程为2x y 7 0 解法二 设直线l2上任意一点q x y 则它关于p 2 1 的对称点为q 4 x 2 y 由q 在直线2x y 1 0上可得2 4 x 2 y 1 0 化简可得 2x y 7 0 方法与技巧 解法一是利用线线平行及点到两直线距离相等来解 解法二是设动点 运用 代入法 求解 这也是求曲线方程的一般方法 一般地 直线ax by c 0关于点 a b 对称的直线方程为a 2a x b 2b y c 0 3 直线关于直线对称 典例4 求直线a x y 2 0关于直线l x 2y 1 0对称的直线b的方程 解题切入点 直线关于直线对称的关键仍是点关于直线对称 方法与技巧 1 三种方法都是常用方法 都用到了几