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文档简介
椭圆中的弦长问题进阶练习一、选择题1.已知直线y=kx+1,当k变化时,此直线被椭圆 截得的最大弦长是( )A.4B.C.D.2.若直线L过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A、B两点,且线段AB中点的横坐标为2,则弦AB的长为 ( )A.2B.4C.6D.83.设F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|:|PF2|=4:3,则PF1F2的面积为()A.4B.C.D.6二、解答题4. 已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上C上一点P到两焦点 、 的距离之和为8,且该椭圆的离心率为 (1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线l: 交椭圆C于不同两点R、T,且满足 (O为原点), 求直线l的方程5.设椭圆的中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,一个顶点为A(0,2),右焦点F到点的距离为2 (I)求椭圆的方程; ()设经过点(0,-3)的直线l与椭圆相交于不同两点M,N满足,试求直线l的方程参考答案1.B2.C3.D4.解:(1) , (2) 5.解:()依题意,设椭圆方程为, 则其右焦点坐标为, 由|FB|=2,得, 即,故 又b=2,a2=12, 所求椭圆方程为 ()由题意可设直线l的方程为y=kx-3(k0), 由,知点A在线段MN的垂直平分线上, 由得x2+3(kx-3)2=12 即(1+3k2)x2-18kx+15=0 =(-18k)2-4(1+3k2)15=144k2-600 即时方程有两个不相等的实数根 设M(x1,y1),N(x2,y2),线段MN的中点P(x0,y0) 则x1,x2是方程的两个不等的实根,故有 从而有, 于是,可得线段MN的中点P的坐标为 又由于k0,因此直线AP的斜率为 由APMN,得 即5+6k2=9,解得, 所求直线l的方程为:1. 本题主要考查直线与椭圆的位置关系. 解:直线y=kx+1恒过定点P(0,1),且是椭圆的短轴上顶点, 因而此直线被椭圆截得的弦长,即为点P与椭圆上任意一点Q的距离, 设椭圆上任意一点Q(2cos,sin)|PQ|2=(2cos)2+(sin-1)2=-3sin2-2sin+5当sin=-时,故选B. 2. 解:因为抛物线为y2=4x, 所以p=2设A、B两点横坐标分别为x1,x2, 因为线段AB中点的横坐标为2, 则,即x1+x2=4, 故|AB|=x1+x2+p=4+2=6 3. 解:|PF1|:|PF2|=4:3, 可设|PF1|=4k,|PF2|=3k, 由题意可知3k+4k=7, k=1, |PF1|=4,|PF2|=3, |F1F2|=5, PF1F2是直角三角形, 其面积=6 故选D 4. 本题主要考查椭圆的应用,熟悉直线与椭圆的关系是解答本题的关键,是高考中常见的题型,属于中档题. (1)由题意得,直接运用椭圆的标准方程的应用即可求解; (2)由题意得,直接运用直线与椭圆的关系即可求出答案. 5. ()设出椭圆的标准方程,由右焦点F到点的距离为2列式求出c的值,结合b=2和求椭圆的标准方程; ()设出直线l的方程,和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出两交点M、N的坐标和,从而求出线段MN的中点P的坐标,由,知点A在线段MN的垂直平分线上,由两点式写出AP的斜率,利用MN和AP垂直,斜率之积等于
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