高考数学一轮复习 5.2 等差数列及其前n项和课件 文 新人教A版.ppt

第二节等差数列及其前n项和 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 等差数列的概念 如果一个数列从第2项起 每一项与它的前一项的差等于 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 一般用字母d表示 定义的表达式为 同一个常数 公差 an 1 an d n n 2 等差中项 如果a a b成等差数列 那么a叫做a b的等差中项 且a 3 等差数列的通项公式 若等差数列 an 的首项是a1 公差是d 则其通项公式为an a1 n 1 d 4 等差数列的前n项和公式 2 必备结论教材提炼记一记 1 通项公式的推广 an am n m n 2 等差数列的性质 若 an 是等差数列 且k l m n k l m n n 则 k l 2m k l m n 若 an bn 是等差数列 则 pan qbn n n 是等差数列 sm s2m s3m分别为 an 的前m项 前2m项 前3m项的和 则sm s2m sm 成等差数列 n m d ak al am an ak al 2am s3m s2m 两个等差数列 an bn 的前n项和sn tn之间的关系为 数列 an 的前n项和sn an2 bn a 0 是 an 成等差数列的 条件 3 等差数列的增减性 d 0时为 数列 且当a10时前n项和sn有最大值 充分 递增 递减 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 整体代入法 待定系数法 等差数列的判定方法 求等差数列前n项和的最大 小 值的方法等 2 数学思想 函数与方程 分类讨论 化归与转化 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列 2 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n n 都有2an 1 an an 2 3 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 4 数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数 5 等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数 解析 1 错误 若这些常数都相等 则这个数列是等差数列 若这些常数不全相等 这个数列就不是等差数列 2 正确 如果数列 an 为等差数列 根据定义an 2 an 1 an 1 an 即2an 1 an an 2 反之 若对任意n n 都有2an 1 an an 2 则an 2 an 1 an 1 an an an 1 a2 a1 根据定义数列 an 为等差数列 3 正确 当d 0时为递增数列 d 0时为常数列 d 0时为递减数列 4 错误 根据等差数列的通项公式 an a1 n 1 d dn a1 d 只有当d 0时 等差数列的通项公式才是n的一次函数 否则不是 5 错误 根据等差数列的前n项和公式显然只有公差d 0时才是关于n的常数项为0的二次函数 否则不是 甚至也不是n的一次函数 即a1 d 0时 答案 1 2 3 4 5 2 教材改编链接教材练一练 1 必修5p38例1 1 改编 已知等差数列 5 2 1 则该数列的第20项为 解析 依题意得 该等差数列的首项为 5 公差为3 所以a20 5 19 3 52 故第20项为52 答案 52 2 必修5p46t5改编 在100以内的正整数中有个能被6整除的数 解析 由题意知 能被6整除的数构成一个等差数列 an 则a1 6 d 6 得an 6 n 1 6 6n 由an 6n 100 即n 则在100以内有16个能被6整除的数 答案 16 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 重庆高考 在等差数列an中 a1 2 a3 a5 10 则a7 a 5b 8c 10d 14 解析 选b 因为a1 a7 a3 a5 所以a7 a3 a5 a1 10 2 8 2 2014 辽宁高考 设等差数列 an 的公差为d 若数列为递减数列 则 a d0c a1d0 解析 选c 由数列为递减数列 得又由指数函数性质得a1an 1 a1an 由等差数列的公差为d知 an an 1 d 所以a1an 1 a1an a1an a1an 1 0 a1 an an 1 0 a1d 0 3 2015 温州模拟 等差数列 an 的前n项和为sn 若a2 a6 a10为一个确定的常数 则下列各数中也可以为确定常数的是 a s6b s11c s12d s13 解析 选b 根据题意 a2 a6 a10 a2 a10 a6 2a6 a6 3a6为一个确定的常数 即a6为确定常数 而s11 所以s11也为确定常数 4 2014 江西高考 在等差数列 an 中 a1 7 公差为d 前n项和为sn 当且仅当n 8时sn取得最大值 则d的取值范围为 解析 由题意得a8 0且a90且7 8d 0 解得 1 d 答案 考点1等差数列的基本运算 典例1 1 2015 唐山模拟 已知等差数列 an 的前n项和为sn a4 15 s5 55 则数列 an 的公差d是 a b 4c 4d 3 2 在等差数列 an 中 a1 1 a3 3 求数列 an 的通项公式 若数列 an 的前k项和sk 35 求k的值 解题提示 1 利用等差数列的前n项和公式及通项公式 联立解方程组 消去a1 解得d 2 先求出基本量a1和d 再利用通项公式求解 利用前n项和公式解方程即可 规范解答 1 选b 由已知得即消去a1 解得d 4 一题多解 解答本题 你知道几种解法 解答本题 还可用下面的解法 选b 因为 an 是等差数列 则s5 55 因此a1 a5 22 从而2a3 22 即a3 11 又已知a4 15 所以公差d a4 a3 15 11 4 故选b 2 设等差数列 an 的公差为d 则an a1 n 1 d 由a1 1 a3 3可得1 2d 3 解得d 2 从而an 1 n 1 2 3 2n 由 可知an 3 2n 所以sn 2n n2 进而由sk 35可得2k k2 35 即k2 2k 35 0 解得k 7或k 5 又k n 故k 7为所求 互动探究 若例题 1 中的已知条件不变 求通项an 解析 由本例 1 可知d 4 从而再解出a1 11 2d 3 所以an 3 n 1 4 4n 1 规律方法 1 等差数列运算问题的通性通法 1 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 等差数列的通项公式及前n项和公式 共涉及五个量a1 an d n sn 知其中三个就能求另外两个 体现了方程的思想 2 等差数列设项技巧若奇数个数成等差数列且和为定值时 可设中间三项为a d a a d 若偶数个数成等差数列且和为定值时 可设中间两项为a d a d 其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元 变式训练 2014 浙江高考 已知等差数列 an 的公差d 0 设 an 的前n项和为sn a1 1 s2 s3 36 1 求d及sn 2 求m k m k n 的值 使得am am 1 am 2 am k 65 解析 1 由题意知 2a1 d 3a1 3d 36 解得d 2或d 5 舍去 所以 2 由 1 知 am am 1 am 2 am k 2m k 1 k 1 所以 2m k 1 k 1 65 由m k n 知 2m k 1 k 1 1 故所以 加固训练 1 2013 新课标全国卷 设等差数列 an 的前n项和为sn 若sm 1 2 sm 0 sm 1 3 则m a 3b 4c 5d 6 解析 选c 方法一 由已知得 am sm sm 1 2 am 1 sm 1 sm 3 因为数列 an 为等差数列 所以d am 1 am 1 又因为所以m a1 2 0 因为m 0 所以a1 2 又am a1 m 1 d 2 解得m 5 方法二 因为sm 1 2 sm 0 sm 1 3 所以am sm sm 1 2 am 1 sm 1 sm 3 所以公差d am 1 am 1 由由 得代入 可得m 5 方法三 因为数列 an 为等差数列 且前n项和为sn 所以数列也为等差数列 所以解得m 5 经检验为原方程的解 故选c 2 数列 an 满足an 1 an 4n 3 n n 1 若 an 是等差数列 求其通项公式 2 若 an 满足a1 2 sn为 an 的前n项和 求s2n 1 解析 1 因为an 1 an 4n 3 所以an 2 an 1 4n 1 两式相减得an 2 an 4 因为 an 是等差数列 设公差为d 所以d 2 又因为a1 a2 1 即a1 a1 d 1 所以所以 2 因为a1 2 a1 a2 1 所以a2 1 又因为an 2 an 4 所以该数列的奇数项与偶数项分别成等差数列 公差均为4 所以a2n 1 4n 2 a2n 4n 5 所以s2n 1 a1 a3 a2n 1 a2 a4 a2n 考点2等差数列的判定与证明 典例2 1 2015 防城港模拟 若 an 是公差为1的等差数列 则 a2n 1 2a2n 是 a 公差为3的等差数列b 公差为4的等差数列c 公差为6的等差数列d 公差为9的等差数列 2 2015 太原模拟 已知数列 an 中 n 2 n n 数列 bn 满足bn n n 求证 数列 bn 是等差数列 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 解题提示 1 构造新数列 cn 使得cn a2n 1 2a2n 根据cn 1 cn是否对任意正整数n都等于同一个常数作出判断 2 证明bn 1 bn 常数 根据 的结论 求得 bn 的通项公式 再求得 an 的通项公式 结合单调性求解 规范解答 1 选c 设 an 的公差为d 则d 1 设cn a2n 1 2a2n 则cn 1 a2n 1 2a2n 2 所以cn 1 cn a2n 1 2a2n 2 a2n 1 2a2n 6d 6 故选c 2 因为an n 2 n n bn n n 所以又所以数列 bn 是以为首项 以1为公差的等差数列 由 知bn n 则an 设f x 则f x 在区间和上为减函数 所以当n 3时 an取得最小值 1 当n 4时 an取得最大值3 规律方法 等差数列的四个判定方法 1 定义法 证明对任意正整数n都有an 1 an等于同一个常数 2 等差中项法 证明对任意正整数n都有2an 1 an an 2后 可递推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根据定义得出数列 an 为等差数列 3 通项公式法 得出an pn q后 得an 1 an p对任意正整数n恒成立 根据定义判定数列 an 为等差数列 4 前n项和公式法 得出sn an2 bn后 根据sn an的关系 得出an 再使用定义法证明数列 an 为等差数列 提醒 等差数列主要的判定方法是定义法和等差中项法 而对于通项公式和前n项和公式的方法主要适合在选择题或填空题中简单判断 变式训练 2015 昆明模拟 已知数列 an 的各项均为正数 前n项和为sn 且满足2sn an2 n 4 n n 1 求证 数列 an 为等差数列 2 求数列 an 的通项公式 解析 1 当n 1时 有2a1 a12 1 4 即a12 2a1 3 0 解得a1 3 a1 1舍去 当n 2时 有2sn 1 an 12 n 5 又2sn an2 n 4 两式相减得2an an2 an 12 1 即an2 2an 1 an 12 也就是 an 1 2 an 12 因此an 1 an 1或an 1 an 1 若an 1 an 1 则an an 1 1 而a1 3 所以a2 2 这与数列 an 的各项均为正数相矛盾 所以an 1 an 1 即an an 1 1 因此数列 an 为等差数列 2 由 1 知a1 3 d 1 所以数列 an 的通项公式an 3 n 1 1 n 2 即an n 2 加固训练 已知等差数列的前三项依次为a 4 3a 前n项和为sn 且sk 110 1 求a及k的值 2 设数列 bn 的通项bn 证明数列 bn 是等差数列 并求其前n项和tn 解析 1 设该等差数列为 an 则a1 a a2 4 a3 3a 由已知有a 3a 8 得a1 a 2 公差d 4 2 2 所以由sk 110 得k2 k 110 0 解得k 10或k 11 舍去 故a 2 k 10 2 由 1 得则故bn 1 bn n 2 n 1 1 即数列 bn 是首项为2 公差为1的等差数列 所以 考点3等差数列性质的应用知 考情对等差数列性质的考查几乎每年都有涉及 有时以选择题 填空题出现 难度中等偏下 有时在解答题中出现 常与求通项an及前n项和sn结合命题 题目难度中等 明 角度命题角度1 根据等差数列的性质求基本量 典例3 2015 贵阳模拟 已知递减的等差数列 an 满足a12 a92 则a5 a 1b 0c 1或0d 4或5 解题提示 判断出等差数列的单调性 再根据性质求解 规范解答 选b 由题意可知a12 a92 0 即 a1 a9 a1 a9 0 又 an 为递减的等差数列 所以a1 a9 得a1 a9 0 所以a5 0 故选b 命题角度2 根据等差数列的性质求前n项和的最值 典例4 2015 乌鲁木齐模拟 设等差数列 an 的前n项和为sn 已知a3 12 s12 0 s130 s130 s13 0 确定出正负变化的相邻的两项 从而确定最值 规范解答 1 因为s12 0 s13 0 所以即又a3 a1 2d 12 所以解得 2 由题意及等差数列的性质可得所以a70 所以在数列 an 中 前6项为正 从第7项起 以后各项为负 故s6最大 一题多解 解答本题 你知道几种解法 解答本题还有以下解法 n 1 2 3 12 所以 因为所以所以当n 6时 sn有最大值 所以s1 s2 s12中值最大的为s6 悟 技法求等差数列的前n项和sn最大 小 值的常用方法1 邻项变号法 1 当a1 0 d0时 满足的项数m使得sn取得最小值为sm 2 函数法 利用等差数列的前n项和 d 0 sn可看成关于n的二次函数式且常数项为0 借助二次函数的图象或配方法解决最值问题 注意n n 通 一类1 2015 重庆模拟 已知等差数列 an 的前13项之和为 则tan a6 a7 a8 等于 a b c 1d 1 解析 选d 因为等差数列 an 的前13项之和为 13a7 所以a7 则tan a6 a7 a8 tan 3a7 tan 1 选d 2 2015 银川模拟 已知 an 为等差数列 a1 a3 a5 105 a2 a4 a6 99 sn是 an 前n项和 则使得sn达到最大值的n是 a 21b 20c 19d 18 解析 选b 由a1 d a3 d a5 d 105 3d 则a2 a4 a6 105 3d 99 得d 2 a1 39 所以an 41 2n 由an 41 2n 0 得n 所以使得sn达到最大值的n是20 3 2015 大连模拟 由正数组成的等差数列 an 和 bn 的前n项和分别为sn和tn 且则 解析 由s5 得答案 4 2015 西安模拟 在等差数列 an 中 公差d 0 前n项和为sn a2a3 45 a1 a5 18 1 求数列 an 的通项公式 2 令bn n n 是否存在一个非零常数c 使数列 bn 也为等差数列 若存在 求出c的值 若不存在 请说明理由 解析 1 由题设 知 an 是等差数列 且公差d 0 则由得解得所以an 4n 3 n n 2 方法一 由 1 知所以所以令2b2 b1 b3 解得c 当c 时 bn 当n 2时 bn bn 1 2 故当c 时 数列 bn 为等差数列 方法二 由因为c 0 所以可