第2章(4)-控制系统的状态空间表达式.doc

现代控制理论讲义2-5 系统状态方程的线性变换2-5-1 系统状态空间表达式的非唯一性系统动态方程建立，无论是从实际物理系统出发，还是从系统方块图出发，还是从系统微分方程或传递函数出发，在状态变量的选取方面都带有很大的人为的随意性，因而求得的系统的状态方程也有很大的人为因素，很大的随意性，因此会得出不同的系统状态方程。实际物理系统虽然结构不可能变化，但不同的状态变量取法就产生不同的动态方程；系统方块图在取状态变量之前需要进行等效变换，而等效变换过程就有很大程度上的随意性，因此会产生一定程度上的结构差异，这也会导致动态方程差异的产生；从系统微分方程或传递函数出发的系统实现问题，更是会导致迥然不同的系统内部结构的产生，因而也肯定产生不同的动态方程。所以说系统动态方程是非唯一的。虽然同一实际物理系统，或者同一方块图，或同一传递函数所产生的动态方程各种各样，其独立的状态变量的个数是相同的，而且各种不同动态方程间也是有一定联系的，这种联系就是变量间的线性变换关系。设给定的系统为：作线性变换： 即 -为非奇异矩阵（变换矩阵）则：， 因为T为任意非奇异矩阵，所以状态空间表达式为非唯一的。2-5-2系统特征值的不变性及系统的不变量1 系统特征值特征方程：系统特征值即为特征方程的根。2 系统的不变量与特征值的不变性系统经非奇异变换后，其特征值是不变的。证明：系统经非奇异变换后，得 其特征方程为：所以，特征值是不变的。因为 所以，是不变的，为系统的不变量。3特征矢量为标量，是A的特征值若，即矢量（n维）经A线性变换后，方向不变，仅长度变化倍，称为A对应于的特征矢量。例：求的特征矢量解：， 设对应于的特征矢量为，则 令 同理可求出对应于，对应于，2-5-3状态空间表达式变换为约旦标准型特征值（1）无重根（2）有重根（个重根）1 A阵为任意形式（1）A的特征值无重根时（互异特征根）（特征矢量）（）变换矩阵 （2）A的特征值有重根时-个重根-个互异根a)对应于个重根的各向量-对应的特征矢量-广义特征矢量b)对应于个互异根的特征矢量 （）例：试将下列状态方程变换为约旦标准型 解：， 由前面例子已求出对应于的特征矢量为对应于的特征矢量为对应于的特征矢量为变换阵为， 变换后， 变换后的状态空间表达式为2. A阵为标准型（1）A的特征值无重根时变换矩阵T-范德蒙德（Vandermonde）矩阵（2）A的特征值有重根时设为三重根（3）有共轭复根时设四阶系统其中有一对共轭复根，此时，例210 已知某系统的动态方程为试将系统化为月约旦标准型（对角线标准型）。 解：系统特征方程为：， 变换阵 （范德蒙矩阵）所以变换后系统的对角线标准型为2-6 从状态空间表达式求系统传递函数（阵）系统状态空间表达式和系统传递函数（阵）都是控制系统两种经常使用的数学模型。状态空间表达式不但体现了系统输入输出的关系，而且还清楚地表达了系统内部状态变量的关系。相比较，传递函数只体现了系统输入与输出的关系。我们已知道，从传递函数到状态空间表达式是个系统实现的问题，这是一个比较复杂的并且是非唯一的过程。但从状态空间表达式到传递函数（阵）却是一个唯一的、比较简单的过程。传递函数（阵） 实现问题（非唯一） 状态空间表达式（唯一）2-6-1传递函数（阵）1单输入单输出（SISO）系统设系统动态方程为：、为标量假定初始条件为零 （为标量）2多输入多输出（MIMO）系统设系统动态方程为：假定初始条件为零 耦合 （；）当时，耦合关系：多变量系统的特点的分母，