2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程单元质量测评新人教A版选修2_1.docx

第二章单元质量测评本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分1已知双曲线kx2y21的一条渐近线与直线2xy10垂直，则双曲线的离心率是()A. B. C. D.答案A解析由题意知，渐近线方程为xy0，所以k，所以e.2椭圆(m1)x2my21的长轴长是()A. B.C. D答案C解析椭圆方程可化为1，由题意知m0，0，b0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.y21 Dx21答案D解析根据题意画出草图如图所示.由AOF是边长为2的等边三角形得到AOF60，c|OF|2.又点A在双曲线的渐近线yx上，tan60.又a2b24，a1，b，双曲线的方程为x21.故选D.4直线ykx1与椭圆1总有公共点，则m的取值范围是()Am1 Bm1或0m1Cm1且m5 D0m0)与C交于点P，PFx轴，则k()A. B1 C. D2答案D解析易知抛物线的焦点为F(1,0)，设P(xP，yP)，由PFx轴可得xP1，代入抛物线方程得yP2(2舍去)，把P(1,2)代入曲线y(k0)得k2.7已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，ABM为等腰三角形，且顶角为120，则E的离心率为()A. B2 C. D.答案D解析设双曲线的方程为1(a0，b0)，不妨设点M在双曲线的右支上，如图所示，|AB|BM|2a，MBA120，过M作MHx轴于H，则MBH60，|BH|a，|MH|a，所以M(2a，a)将点M的坐标代入双曲线方程1，得ab，所以e.8如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A.B.C.D.答案A解析由题意可知抛物线的准线方程为x1.如图所示，过A作AA1y轴于点A1，过B作BB1y轴于点B1，则.9已知点A(2,3)在抛物线C：y22px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为()A. B. C. D.答案D解析因为A(2,3)在抛物线y22px的准线上，所以2，所以p4，所以y28x.由于直线AB的斜率不为0.设直线AB的方程为xk(y3)2，联立直线AB与抛物线的方程，得消元得y28ky24k160，所以(8k)24(24k16)0，即2k23k20，解得k2或k(舍去)将k2代入，解得y8，所以x8，所以B(8,8)又F(2,0)，所以kBF.10设过抛物线y24x的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，若以AB为直径的圆过点P(1,2)，且与x轴交于M(m，0)，N(n,0)两点，则mn()A3 B2 C3 D2答案C解析解法一：抛物线y24x的焦点坐标为F(1,0)，准线方程为x1，设直线AB的方程为xty1，A，B坐标分别为，由得y24ty40，所以y1y24t，y1y24，x1x2ty11ty21t(y1y2)24t22，所以2t21，2t，则圆心D(2t21,2t)由抛物线的性质可知：|AB|x1x224(t21)，点P到圆心的距离d.由题意可知d|AB|，解得t1，则圆心为(3,2)，半径为4.所以圆的标准方程为(x3)2(y2)242.当y0时，求得与x轴交点坐标，假设m0，b0)的右焦点，过点F且斜率为1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若3，则双曲线C的离心率e等于 ()A. B. C. D.答案D解析设F(c,0)，则过双曲线：1(a0，b0)的右焦点F且斜率为1的直线l的方程为y(xc)，而渐近线方程是yx，由得B，由得A，由3，得3，则3，即ba，则ca，则e.第卷(非选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13若抛物线y24x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是_答案9解析由于抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线为x1，设点M的坐标为(x，y)，则x110，所以x9.故M到y轴的距离是9.14设F1，F2为椭圆1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为_答案解析因为线段PF1的中点在y轴上，所以PF2与x轴垂直，且点P的坐标为，所以|PF2|，则|PF1|2a|PF2|，.15过双曲线1的一个焦点F作弦AB，则_.答案解析采用特例法即可求得不妨设焦点F为右焦点，则F(5,0)当ABx轴时，A，B，所以|AF|BF|，故.16设椭圆1(ab0)的左、右焦点分别是F1，F2，线段F1F2被点分成31的两段，则此椭圆的离心率为_答案解析由题意，得3c3cbbc，因此e.三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)设双曲线C：y21(a0)与直线l：xy1相交于两个不同的点A，B，求双曲线C的离心率e的取值范围解由双曲线C与直线l相交于两个不同的点，知方程组有两个不同的实数解消去y并整理，得(1a2)x22a2x2a20.所以解得0a且a1.所以双曲线的离心率e.因为0a且a1，所以e且e.故离心率e的取值范围为(，)18(本小题满分12分)平面内与两定点A1(a,0)，A2(a，0)(a0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1，A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系解设动点为M，其坐标为(x，y)当xa时，由条件可得kMA1kMA2m，即mx2y2ma2(xa)又A1(a,0)，A2(a,0)的坐标满足mx2y2ma2，故依题意，曲线C的方程为mx2y2ma2.当m1时，曲线C的方程为1，C是焦点在y轴上的椭圆；当m1时，曲线C的方程为x2y2a2，C是圆心在原点的圆；当1m0时，曲线C的方程为1，C是焦点在x轴上的双曲线19(本小题满分12分)已知向量m1(0，x)，n1(1,1)，m2(x,0)，n2(y2,1)(其中x，y是实数)，又设向量mm1n2，nm2n1，且mn，点P(x，y)的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C与y轴的正半轴的交点为M，过点M作一条直线l与曲线C交于另一点N，当|MN|时，求直线l的方程解(1)由已知，得m(0，x)(y2，)(y2，x)，n(x,0)(，)(x，)因为mn，所以y2()(x)(x)0，即所求曲线C的方程是y21.(2)由(1)求得点M(0,1)，显然直线l与x轴不垂直故可设直线l的方程为ykx1.由消去y，得(12k2)x24kx0，解得x10，x2(x1，x2分别为点M，N的横坐标)由|MN|x1x2|，解得k1.所以直线 l的方程为xy10或xy10.20(本小题满分12分)已知双曲线的方程为2x2y22.(1)求以点A(2,1)为中点的双曲线的弦所在的直线方程；(2)过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1，Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？如果存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由解(1)设以点A(2,1)为中点的弦的两端点分别为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则有x1x24，y1y22，x1x2.由P1，P2在双曲线上，得2xy2,2xy2，两式相减，得2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.则24(x1x2)2(y1y2)0，即4，故中点弦所在的直线方程为y14(x2)，即4xy70.(2)假设直线l存在，可利用(1)中的方法求出直线l的方程为y12(x1)，即2xy10.联立方程，得消去y，得2x24x30，方程的判别式(4)24238.所以四边形A1A2B1B2的面积的最小值为.22(本小题满分12分)过抛物线C：x22py(p0)的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|2.(1)求抛物线C的方程；(2)若直线l的斜率为2，问抛物线C上是否存在点M，使得MAMB？并说明理由解(1)由抛物线的定义得|AF|等于点A到准线y的距离，所以12，解得p2.所以抛物线C的方程为x24y.(2)因为抛物线C的焦点为F(0,1)，所以直线l的方程为y2x1，设点A，B，M的坐标分别为，由方程组消去y得x24(2x1)，即x28x40，由根与系数的关系得x1x28，x1x