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正比例函数 函数总结：正比例函数ykx+0的图象是经过原点（0，0）的一条直线。斜率：k = 。 （此处x必须为一次方）其中k称为一次函数的斜率。即：直线L1和直线L2的斜率k = 。在斜率中因为k=y/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X0，且k0，所以y0正比例中直线L1和L2的斜率，只能大于或等于各象限的平分线，并且只能向Y轴无限靠近。正比例函数y=kx(k0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出即可。当k0时，正比例函数ykx的图象（直线L1）经过一、三象限内。y的值随x值的增大而增大。 当k0时，正比例函数ykx的图象（直线L2）经过二、四象限内。y的值随x值的增大而减小。俩个量相乘的积是一个定值 这时候俩个量成正比例。两个量相除的商是一个定值，这时候俩个量就是反比例。 反比例函数反比例函数：y=k/x (k为常数，k0) xy=k y=kx（-1）此处x必须为一次方）。 y=k/x=k1/x 若y=k/nx，此时比例系数为：k/n ，即： y=（k/n）/x 设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n2+4km（不小于）0。 因为y=k/x是一个分式，所以自变量X的取值范围是X0，且k0，所以y0当k0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小当k0时，函数在x0上同为减函数；k0时，函数在x0上同为增函数。反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y0）。 反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（y0）。在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K| 反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。 k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。过反比例函数y=k/x（k0），图像上一点P（x,y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积 S=x的绝对值*y的绝对值=（x*y）的绝对值=|k| 研究函数问题要透视函数的本质特征。反比例函数中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PMPN=|y|x|=|xy|=|k|。 由于反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x)，图像关于原点对称。在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为k。 对于双曲线y=k/x，若在分母上加减任意一个实数(即y=k/（xm）m为常数)，就相当于将双曲线图象向左或右平移一个单位。（加一个数时向左平移，减一个数时向右平移） 一次函数一般地，y=kx+b(k0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。 一次函数： ykxb(k，b为常数，k0)的形式。 当b0时，称y是x的正比例函数。直线ykxb与y轴相交于点B（0，b），b叫做直线ykxb在y轴上的截距，简称截距。一次函数有下列性质：直线L在平面直角坐标系中的位置：当k0时，b0时，图象经过一、二、三象限。y的值随x值的增大而增大（L1在右下方）当k0时，b0时，图象经过一、三、四象限。y的值随x值的增大而增大（L2在左上方）当k0时，b0时，图象经过一、二、四象限。y的值随x值的增大而减小（L3在右上方）当k0时，b0时，图象经过二、三、四象限。y的值随x值的增大而减小（L4在左下方）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总交于（-b/k，0）。当b0时，直线必通过第一、二象限； 当b0时，直线必通过第三、四象限。 特别地，当b=0时，直线经过原点O（0，0）。 当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等； 当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）。一次函数的解析式点斜式：y-y1=k(x-x1)（k为直线斜率，(x1，y1)为该直线所过的一个点）； 两点式：(y-y1) / (y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)（已知直线上（x1,y1）与（x2,y2）两点）， 截距式：x/a+y/b=1 （a、b分别为直线在x、y轴上的截距）。 1，利用待定系数法确定一次函数表达式：设出函数表达式为y=kx+b;从题目所提供的信息中获取所需的两个条件,并代入y=kx+b中,得到以k,b为未知数的方程组;解方程组,得到k,b的值;将k,b的值回代到y=kx+b中,即得所求的函数表达式. 2，利用图象观察法：坐标系中的两组点（x=?,y=?)带入y=kx+b3，利用表格观察法：从表格中任意选取（通常选取较简单的）两组对应值,4，利用文字语言分析法：当x=？时, y=？;当x=？时, y=？把它们分别代入y=kx+B函数值与几何图形和代数方程，不等式存在联系。 令函数值等于零， 从几何图形角度看，对应的自变量的值就是图象与X轴的交点的横坐标； 一次函数与x轴交点的横坐标就是相应的一元一次方程的根 从代数方程角度看，对应的自变量是方程的解。 从不等式的角度看，把函数的表达式中的“=”换成“”，再把“Y”换成其它代数式，函数就变成了不等式，可以求自变量的范围。解不等式的方法从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围； 从函数图像的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合。与二元一次方程的关系1.(1)以二元一次方程组ax+by=c的解为坐标的点组成的图像与一次函数 y=-a/bx+c/b的图像相同. (2)二元一次方程组a1x+b1y=c1, a2x+b2y=c2的解可以看作是两个一次函数 y=-a1/b1x+c1/d1和y=-a2/b2x+c2/d2的图像的交点. 把方程组中的两个二元一次方程改写成一次函数的形式,然后作出它们的图像,找出两图像的交点,即可知方程组的解.对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为（-b/k，0）。 当k0时，不等式kx+b0的解为：x- bk，不等式kx+b0的解为：x- bk； 当k=0的解为：x0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根这两点间的距离AB=|x1-x2| =/a（a绝对值分之根号下）另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2（-b/2a）A |（A为其中一点的横坐标） 二次函数 抛物线是否与x轴有交点？（一）看a和k a0或a0;k0时，二次函数图像与x轴有2个交点。k=0时，二次函数图像与x轴只有1个交点。a0;k0,k0时，二次函数图像与X轴无交点。（2） 与一元二次方程的关系：令y=o用二次方程y=ax2bxc0 的解，来确定。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。若方程ax2bxc0 无解，则函数与x轴无交点；若方程ax2bxc0 有一个解，则函数与x轴有一个交点；若方程ax2bxc0 有两个个解，则函数与x轴有两个个交点；其交点的x坐标就是方程的解值 与Y轴交点坐标(0,c).（3） 就是用判别式 =b2-4ac进行判定。令y=ax2bxc0（a0） 2.确定判别式，计算。=b2-4ac； 3.若0，该方程在实数域内有两个不相等的实数根：x=-b/2a； 若=0，该方程在实数域内有两个相等的实数根:x1=x2=-b/2a； 若0(a0)，则当x= -b/2a时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a5 顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值。 两个关联函数图像对于一般式： y=ax2+bx+c的图像与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称 与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称 y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点对称。y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx+c-2b2*|a|/4a2关于顶点对称 对于顶点式： y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称，即顶点（h,k）和（h,k）关于y轴对称，横坐标相反、纵坐标相同。 y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k两图像关于x轴对称，即顶点（h,k）和（h,k）关于y轴对称，横坐标相同、纵坐标相反。 y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称，即顶点（h,k）和（h,k）相同，开口方向相反。 y=a(x-h)2+k与y=-a(x+h)2-k关于原点对称，即顶点（h,k）和（h,k）关于原点对称，横坐标、纵坐标都相反。 （其实就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况）研究抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标和对称轴。用待定系数法求二次函数的解析式(1) 当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式： y=ax2+bx+c(a0)。 (2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a0)。 (3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0）1二次函数y=ax2，y=a(x-h)2，y=a(x-h)2+k，y=ax2+bx+c(各式中，a0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴