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微积分的诞生 人类智慧最伟大的成就之一如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。和其它科学理论一样，微积分也是人类在漫长的历史发展过程中逐步得以建立完善的，是许多伟大科学家智慧和心血的结晶。十七世纪下半叶，经历了文艺复兴运动的欧洲，社会生产力得到了空前的解放和提高。大量的实际问题推动着力学天文学的发展。如：航海事业需要精确的测定地球的经纬度和制造准确的时钟，于是促进了对天体运动的深入研究；船舶的改进必须探讨流体以及物体在流体中的运动规律；而战争要求炮弹打的准确，则导致弹道学的研究。人们从大量的这类课题研究中，总结出力学的一些基本规律，如；牛顿力学运动三大定律，开普勒行星运动定律等等。但各种运动研究中核心问题是：变速运动中已知路程求速度和已知速度求路程这两个反向问题。这样研究常量的初等数学就无能为力了，迫切需要数学突破传统寻求能够描述和解决变速运动的新工具变量数学。微积分就是变量数学的基础内容积分思想出现在求面积、体积等问题中，在古中国、古希腊、古巴比伦、古埃及的早期数学文献中都有涉及这类问题的思想和方法。古希腊的阿基米德（公元前287212）用边数越来越多的正多边形去逼近圆的面积，称为“穷竭法”。中国魏晋时代的刘徽在其九章算术注（公元263年）中，对于计算圆面积提出了著名的“割圆术”，他解释说：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣。”这些都是原始的积分思想。微分思想也在古代略见端倪，它是和求曲线的切线问题相联系的，这是数学家们历来所关注的另一类问题。光学研究中，由于透镜的设计需要运用折射定律、反射定律，就涉及切线、法线问题。而在运动学研究中，要确定运动物体在某一点的运动方向，就是求曲线上某一点的切线方向，这就需要求作切线。笛卡儿和费马（16011665）都把切线看作割线的特殊情况，即当两点重合时的情况。他们分别论述过求切线的方法，就是微分计算的雏形。为微积分的发展做出贡献的众多科学家中特别要提到的是笛卡尔和费马关于解析几何的工作，正是从常量数学到变量数学的转折点，为微积分的产生提供了重要的数学前提。因为有了他们的变量概念并把描述运动的函数与几何中的曲线统一起来，才能将力学的求速度和路程问题转化为求切线和面积问题。有众多的科学家为微积分做出了贡献，但他们没有到关注两者之间的相互关系，有人在特例中虽然看的了却未加重视。如牛顿的老师巴罗看出了求切线问题和求曲线下面积之间的互逆关系，但是他没有抓住这一点进一步探究其中所包含的普遍规律。牛顿和莱布尼兹的伟大就在于克服了前人的局限性，发现了两者的相互关系。牛顿在1671年写了流数法和无穷级数，但这本书直到1736年才出版。他在这本书中把连续变量叫做流动量，流动量的导数叫流数。他的中心问题是：已知连续运动的路程求给定时刻的速度（微分）；已知速度求给定时间段内的路程（积分）。德国莱布尼兹是一位博学多才的数学家，1684年他发表了世界上认为最早的微分文献，一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量以及这种新方法的奇妙类型的计算，虽然说这是一篇说理模糊的文章，但是却有划时代的意义，它含有现代微分的符号和微分法则。1686年莱布尼兹发表第一篇积分文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号至今我们还在使用。微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。 历史上任何重大理论完成都要经过长时间的不断完善。微积分理论也不例外。牛顿、莱布尼兹的工作还都很不完善，他们在无穷和无穷小问题上的说法就非常含糊，不能自自圆其说，他们在这方面的欠缺最终导致了第二次数学危机的产生。直到世纪法国以柯西为首的科学家对微积分理论进行了认真的研究，建立了极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步严密，使极限理论成为了微积分的坚定基础，才使微积分进一步发展开来。欧氏几何也好，上古和中世纪的代数也好，都是一种常量数学。微积分才是真正的变量数学，是数学的大革命。它不止局限在解决力学中的变速问题，他驰骋在近代和现代科学技术园地里，建立了数不清的丰功伟绩。正如恩格斯所言：“在一切理论成就中，未必再有像十七世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”。最伟大的科学巨匠牛顿伊撒克牛顿（Isaac Newton），1642年12月25日生于英格兰林肯郡一个普通的农民家庭，1727年3月20日在伦敦病逝，死后安葬在威斯敏斯特大教堂内，墓志铭的最后一句话是：“他是人类的真正骄傲”。牛顿是世界著名的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家，单就数学方面的成就，就使他与古希腊的阿基米德、德国的“数学王子”高斯一起，被称为世界三大数学家。在数学方面，牛顿从二项式定理到微积分，从代数和数论到古典几何和解析几何、有限差分、曲线分类、计算方法和逼近论，甚至在概率论等方面，都有创造性的成就和贡献。特别是他和德国数学家莱布尼兹各自独立创建的“微积分学”被誉为人类思维的伟大成果之一。牛顿在物理学上最主要的成就是发现了万有引力定律，综合并表述了经典力学的3个基本定律：惯性定律、力与加速度成正比的定律、作用力和反作用力的定律；引入了质量、动量、力、加速度等基本概念，创建了经典力学的公理体系，建立了自然科学发展史上的里程碑，其重要标志是他于1687年所发表的自然哲学的数学原理这一巨著。牛顿的成功取决于他有惊人的毅力，超凡的献身精神，更重要的是具有敏锐的悟性、深邃的思考、创造性的才能以及实事求是的科学态度。他善于总结前人的经验，是集群英之大成的能手。伽利略发现的落体运动、开普勒研究的行星运动、费马的极大极小值、笛卡尔的坐标几何等大量的成果都给他的研究带来巨大的帮助。牛顿曾写道：“我之所以比笛卡尔等人看得远些，是因为我站在巨人的肩上”。牛顿是对人类做出卓绝贡献的科学巨擘，得到世人的尊敬和仰慕。英国诗人蒲柏曾赋诗赞誉（杨振宁译）：自然与自然规律为黑暗隐蔽，上帝说，让牛顿来！一切遂臻光明。数学之神阿基米德阿基米德（Archimedes）是古希腊数学家、物理学家，公元前287年生于西西里岛的叙拉古，公元前212年被罗马入侵者杀害。阿基米德的主要成就是在纯几何方面。他善于继承和创造，运用穷竭法解决了几何图形的面积、体积、曲线长等大量的计算问题，其方法是微积分的先导，其结果也与微积分的结果相一致。阿基米德在数学上的成就在当时达到了登峰造极的地步，对后世影响的深远程度也是任何一位数学家不能比拟的。他是数学史上首屈一指的大数学家。按照罗马时代的科学家普利尼的评价，数学界尊称阿基米德是“数学之神”。阿基米德也是一位伟大的物理学家。比如希仑王为自己建造了一艘富丽堂皇的高大游艇，但由于庞大，无法下水，只好请来大学者阿基米德。阿基米德利用他发现的杠杆原理，借助滑轮、滚木等器物，将这艘庞然大物拥下海。阿基米德曾自豪地说：“给我一个支点，我就可以移动地球”。 阿基米德还是一位运用科学知识抗击外敌入侵的爱国主义者。为抵御罗马帝国的入侵，阿基米德制造了一批特殊机械，能向敌人投射滚滚巨石；设计了一种起重机，能把敌舰掀翻；架设了大型抛物面铜镜，用日光焚烧罗马战船。敌军统帅惊呼“我们在同数学家打仗，他比神话中的百手巨人还厉害！”数学王子高斯高斯（Gauss），1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，是18、19世纪之交的最伟大的数学家，他的贡献遍及纯数学和应用数学的各个领域，成为世界数学界的光辉旗手，人们欣赏他的才能，尊称他为“数学王子”。高斯幼时家境贫困，但聪敏异常，表现出超人的数学天份。17951798年在格丁根大学学习，19岁时，他解决了一个数学难题仅用尺规作出正17边形，轰动了当时的整个数学界。1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。高斯在数学的许多领域都有重大的贡献。他是非欧几何的发现者之一，微分几何的开拓者，近代数论的奠基者。在超几何级数、复变函数论、椭圆函数论、统计数学、向量分析等方面均有开创性贡献。高斯关于数论的研究贡献颇多，他认为“数学是科学之王，数论是数学之王”。贴切地表述了数学在科学中的关键作用。1830年后，他越来越多地从事物理学的研究，在电磁学和光学方面有杰出的贡献。磁通量密度单位就是以“高斯”来命名的。高斯还与韦伯共享电磁电波发明者的殊荣。高斯一生勤奋好学，多才多艺，喜爱音乐，嗜好唱歌和吟诗，擅长欧洲语言，深谙多国文字。1855年2月23日逝世，葬于哥廷根近郊。为纪念高斯，他的故乡改名为高斯堡，在慕尼黑博物馆悬挂的高斯画像上，永远铭刻着这样一首题诗：他的思想深入数学、空间、大自然的奥秘，他测量了星星的路径、地球的形状和自然力，他推动了数学的进展，直到下个世纪。应用数学一瞥应用数学是数学大树上的两大主枝之一。现代应用数学可以分为运筹学、信息论、控制论、计算数学等几个大分支，这些大分支下又有若干个小分支，组成了一个庞大的系统。运筹学的思想早在古代就已经产生了。“田忌赛马”生动的表明：根据已有条件，经过精心策划，选择最佳方案，就能取得最好的结果。运筹学作为一门数学分支，诞生于战火纷飞的二次世界大战中，距今不过几十年的历史。运筹学是一种利用数学工具谋求最优安排的科学方法。例如，作战中，对立的双方都想赢得胜利，都想找出制胜对方的最优策略，那么，兵力应如何部署？队形应如何展开？物资应如何调运呢？数学家把这类问题用数量表达出来，通过数学的分析与运算，去研究双方取胜的最优策略，就形成了对策论这门运筹学分支。 运筹学的主要分支还有规划论、排队论、质量控制、最优化方法等。1948年，美国数学家申农通过长期的通信实践，提炼出通讯问题中数学问题的背景、意义和提法，创立了信息论这门重要的应用数学分支。信息，是指接受者预先不知道的报道和消息。利用数学方法研究信息的计量、传送、变换和储存的理论，就叫做信息论。上世纪40年代末，数学与自动调节、电子技术、神经生理学等学科相互渗透，又形成了控制论这门重要的应用数学分支。控制论是综合的处理动物与机器中的通讯及控制机能的学科，它研究的中心问题是信息。美国数学家维纳是这门学科的奠基人。60多年来，控制论发展很快，并不断向各学科渗透，涌现出工程控制论、生物控制论、社会控制论、大系统理论、人工智能等一大批分支，有力的促进了现代科学技术的发展。有人认为，控制论、信息论、系统论“彻底的改变了世界的科学图景和当代科学家的思维方式”，所以，控制论应是一种与数学、物理学等并列的基础学科。计算数学主要研究有关的数学和逻辑问题怎样用数字自动计算机加以有效解决。它又可以分为计算方法和程序设计两大分支。计算方法也叫数值计算方法，是一门古老的数学分支。它主要研究各种数学问题的数值解法，以及简化计算的理论。计算机问世后，寻找合适的计算方法来适应各类电子计算机的特点，已成为这门数学分支研究的重要内容。程序设计是为了利用电子计算机自动解答问题而建立的一门数学分支。要想利用电子计算机自动解决科学计算问题，首先得把问题数学化，再考虑用什么方法解决这个数学问题，然后把它变成计算机能够执行的各个计算步骤。每一个步骤叫做一条指令，一系列的指令组成解决这个问题的程序。计算机按照人们预先编好的程序自动工作。以上的整个过程就叫程序设计。近年来，由于计算机科学的飞速发展，电子计算机的应用越来越广泛，程序设计得到了更加深入的研究。有人认为：它已成为一门独立的数学分支科学，并具有及其灿烂的发展前景。数学“诺贝尔奖”诺贝尔奖是一项极高的荣誉。它“不论国籍、人种和语言，只颁予确实对人类有难以磨灭的伟大贡献的人们。”每一年的12月10日下午4时30分，在瑞典首都斯德哥尔摩的音乐大厅内，都要举行隆重的授奖仪式，瑞典国王亲临致辞，新闻媒介竞相报道，为万众所瞩目。这项科学大奖于1901年开始颁奖，起初只设有物理、化学、医学或生理学、文学、和平事业5种奖，1968年起又增设了经济奖。诺贝尔奖中没有数学奖！诺贝尔为什么不设数学奖，当今世界上最高的数学奖又是什么呢？世界性数学奖-菲尔兹奖关于诺贝尔不设数学奖，有一个流传很广的传说。在诺贝尔生活的那个年代，瑞典有位很著名的数学家叫米他格莱夫勒，他与诺贝尔之间怨恨很深。诺贝尔发现，如果设立数学奖，米他格莱夫勒就很有可能成为数学奖的获奖人，于是他干脆不设数学奖。米他格莱夫勒有个好朋友叫菲尔兹，却由此萌发了设立数学“国际奖金”的念头。菲尔兹是加拿大人，1887年在美国约翰霍普金斯大学获得博士学位。1902年起任教于加拿大多伦多大学，他是1924年国际数学家大会在加拿大多伦多举行时的大会主席。他曾被选为英国皇家学会的会员，但是现在人们还记得他的原因恐怕是由于他设立的这个数学大奖。关于菲尔兹设立数学奖，也有另外一种说法。1920年，在法国斯特拉斯堡举行了第6届国际数学家大会，由于这座城市第一次世界大战前是德国的领土，一些德国数学家就拒绝参加会议。菲尔兹觉得，这样的倾向会妨碍数学研究的国际性，于是倡议设立数学奖，以利于国际间广泛的学术交流。1924年，第7届国际数学家大会在加拿大的多伦多顺利举行。在这次大会上，菲尔兹正式倡议，将这次大会结余的经费用来设置一个数学奖金。后来，菲尔兹因积劳成疾而躺下了，他将自己一大笔财产加到大会结余的经费里，托人转交给1932年召开的第9届国际数学家大会。菲尔兹生前曾经表示，数学奖不要以个人、国家或者机构来命名，而要用“国际奖金”的名义。然而，第9届国际数学家大会经过慎重讨论，没有采纳他的意见，决定将这项数学家渴望得到的最高奖励定名为“菲尔兹奖”。从此，颁发菲尔兹奖成了每届国际数学家大会的第一项议程。菲尔兹奖一个最大的特点，就是奖励青年人，奖励那些已有出色成就、并能对未来数学发展起重大作用的人。获奖者的年龄不得超过40岁。例如朋比利、德利涅、邱成桐，都曾荣获菲尔兹奖，他们在获奖后仍然不断开拓，对数学做出多方面的重大贡献，跻身于世界著名数学家的行列。 由于国际数学家大会每隔4年召开一次，菲尔兹奖也随之每隔4年颁发一次。第一次颁奖是1936年。随着现代数学的迅速发展，数学成就越来越引起人们的关注，菲尔兹奖也越来越受到人们的重视。每当菲尔兹奖颁发之时，连一般的科学杂志也纷纷争相报道获奖人物。菲尔兹奖的声誉传遍了全世界，被誉为是数学界的诺贝尔奖。2006年，数学界的最高荣誉菲尔兹奖由4人分享，其中包括澳大利亚华裔数学家陶哲轩。31岁的陶哲轩也成为继1982年首位华裔数学家丘成桐教授获菲尔兹奖后，获此殊荣的第二位华人。世界性数学奖沃尔夫奖这是一项具有极高学术声望的多学科的国际奖。1976年由德国物理学家沃尔夫（18871981）在以色列设立，分设农学、物理、化学、医学、数学五种奖，1981年增设艺术奖，该奖1978年首次颁发，每年颁发一次。每个奖的奖金为10万美元，可以由几人分得。最令人注目的沃尔夫奖就是其