高考数学总复习 （教材扣夯实双基+考点突破+典型透析）第九章第8课时 离散型随机变量的均值与方差、正态分布课件.ppt

第8课时离散型随机变量的均值与方差 正态分布 基础梳理1 离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量x的分布列为 1 均值称ex 为随机变量x的均值或 它反映了离散型随机变量取值的 x1p1 x2p2 xipi xnpn 数学期望 平均水平 平均偏离程度 2 均值与方差的性质 1 e ax b 2 d ax b a b为常数 3 两点分布与二项分布的均值 方差 aex b a2dx p p 1 p np np 1 p 4 正态曲线的特点 1 曲线位于x轴 与x轴 2 曲线是单峰的 它关于直线 对称 3 曲线在x 处达到峰值 4 曲线与x轴之间的面积为 上方 不相交 x 1 5 当 一定时 曲线随着 的变化而沿x轴平移 6 当 一定时 曲线的形状由 确定 曲线越 瘦高 表示总体的分布越 曲线越 矮胖 表示总体的分布越 越小 集中 越大 分散 思考探究参数 在正态分布中的实际意义是什么 提示 是正态分布的期望 是正态分布的标准差 课前热身 2 设随机变量x服从正态分布n 2 9 若p x c 1 p x c 1 则c等于 a 1b 2c 3d 4 3 有一批产品 其中有12件正品和4件次品 有放回地任取3件 若x表示取到次品的件数 则dx 4 在篮球比赛中 罚球命中1次得1分 不中得0分 如果某运动员罚球命中的概率为0 7 那么他罚球1次的得分x的均值是 解析 ex 1 0 7 0 0 3 0 7 答案 0 7 考点1离散型随机变量的期望和方差 2011 高考天津卷 学校游园活动有这样一个游戏项目 甲箱子里装有3个白球 2个黑球 乙箱子里装有1个白球 2个黑球 这些球除颜色外完全相同 每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球 若摸出的白球不少于2个 则获奖 每次游戏结束后将球放回原箱 1 求在1次游戏中 摸出3个白球的概率 获奖的概率 2 求在2次游戏中获奖次数x的分布列及数学期望ex 所以x的分布列是 题后感悟 1 求离散型随机变量的均值与方差时 关键是先求出随机变量的分布列 然后根据均值与方差的定义求解 2 若随机变量x服从二项分布 即x b n p 则可直接使用公式ex np dx np 1 p 求解 备选例题 教师用书独具 变式训练1 袋中有20个大小相同的球 其中记上0号的有10个 记上n号的有n个 n 1 2 3 4 现从袋中任取一球 表示所取球的标号 1 求 的分布列 期望和方差 2 若 a b e 1 d 11 试求a b的值 解 1 的分布列为 随机抽取某厂的某种产品200件 经质检 其中有一等品126件 二等品50件 三等品20件 次品4件 已知生产1件一 二 三等品获得的利润分别为6万元 2万元 1万元 而1件次品亏损2万元 设1件产品的利润 单位 万元 为x 考点2均值与方差的实际应用 1 求x的分布列 2 求1件产品的平均利润 即x的数学期望 3 经技术革新后 仍有四个等级的产品 但次品率降为1 一等品率提高为70 如果此时要求1件产品的平均利润不小于4 73万元 则三等品率最多是多少 2 ex 6 0 63 2 0 25 1 0 1 2 0 02 4 34 万元 3 设技术革新后的三等品率为x 则此时1件产品的平均利润为ex 6 0 7 2 1 0 7 0 01 x x 2 0 01 4 76 x 0 x 0 29 依题意 知e x 4 73 即4 76 x 4 73 解得x 0 03 所以三等品率最多为3 题后感悟 1 解决此类题目的关键是正确理解随机变量取每一个值所表示的具体事件 求得该事件发生的概率 2 均值与方差从整体和全局上刻画了随机变量 是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据 一般是先分析比较均值 若均值相同 再用方差来决定 变式训练2 在某一有奖销售中 每10万份奖券中有1个一等奖 奖金10000元 2个二等奖 每个奖金5000元 500个三等奖 每个奖金100元 10000个四等奖 每个奖金5元 试求每张奖券奖金的期望值 如果每张奖券3元 销售一张平均获利多少 假设所有奖券全部售完 解 设一张奖券的奖金额为x 根据题意 x的分布列为 2011 高考湖北卷 已知随机变量 服从正态分布n 2 2 且p 4 0 8 则p 0 2 a 0 6b 0 4c 0 3d 0 2 考点3正态分布 解析 由p 4 0 8知p 4 p 0 0 2 故p 0 2 0 3 故选c 答案 c 题后感悟 关于正态总体在某个区间内取值的概率求法 1 熟记p x p 2 x 2 p 3 x 3 的值 2 充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1 备选例题 教师用书独具 在某次数学考试中 考生的成绩 服从正态分布 即 n 100 100 已知满分为150分 1 试求考试成绩 位于区间 80 120 内的概率 2 若这次考试共有2000名考生参加 试估计这次考试及格 不小于90分 的人数 解 1 由 n 100 100 知 100 10 p 80 120 p 100 20 100 20 0 9544 即考试成绩位于区间 80 120 内的概率为0 9544 2 p 90 110 p 100 10 100 10 0 6826 p 110 1 0 6826 0 1587 p 90 0 6826 0 1587 0 8413 及格人数为2000 0 8413 1683 变式训练3 已知正态分布总体落在区间 0 2 的概率为0 5 那么相应的正态曲线 x 在x 时达到最高点 解析 p x 0 2 0 5 p x 0 2 0 5 即直线x 0 2是正态曲线的对称轴 当x 0 2时 x 达到最高点 答案 0 2 方法技巧1 释疑离散型随机变量的均值 1 均值是算术平均值概念的推广 是概率意义下的平均 2 ex是一个实数 由x的分布列唯一确定 它描述x取值的平均状态 3 教材中给出的e ax b aex b 说明随机变量x的线性函数y ax b的均值等于随机变量x均值的线性函数 2 离散型随机变量的方差 1 dx表示随机变量x对ex的平均偏离程度 dx越大表明平均偏离程度越大 说明x的取 值越分散 反之 dx越小 x的取值越集中在ex附近 统计中常用来描述x的分散程度 2 dx与ex一样 也是一个实数 由x的分布列唯一确定 失误防范1 对于应用问题 必须对实际问题进行具体分析 一般要先将问题中的随机变量设出来 再进行分析 求出随机变量的概率分布 然后按定义计算出随机变量的期望 方差或标准差 2 在实际问题中进行概率 百分比计算时 关键是把正态分布的两个重要参数 求出 然后确定三个区间 范围 2 2 3 3 与已知概率值进行联系求解 命题预测从近几年的高考试题来看 离散型随机变量的均值与方差是高考的热点 题型为填空题或解答题 属中档题 常与排列 组合 概率等知识综合命题 既考查基本概念 又注重考查基本运算能力和逻辑推理 理解能力 而正态分布在近几年高考中 有些省份进行了考查 其难度较低 预测2013年高考 离散型随机变量的均值与方差仍然是高考的热点 同时应特别注意均值与方差的实际应用 规范解答 本题满分12分 2011 高考福建卷 某产品按行业生产标准分成8个等级 等级系数x依次为1 2 8 其中x 5为标准a x 3为标准b 已知甲厂执行标准a生产该产品 产品的零售价为6元 件 乙厂执行标准b生产该产品 产品的零售价为4元 件 假定甲 乙两厂的产品都符合相应的执行标准 1 已知甲厂产品的等级系数x1的概率分布列如下所示 且x1的数学期望ex1 6 求a b的值 2 为分析乙厂产品的等级系数x2 从该厂生产的产品中随机抽取30件 相应的等级系数组成一个样本 数据如下 用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 求等级系数x2的数学期望 3 在 1 2 的条件下 若以 性价比 为判断标准 则哪个工厂的产品更具可购买性 说明理由 注 产品的 性价比 性价比 大的产品更具可购买性 解 1 因为ex1 6 所以5 0 4 6a 7b 8 0 1 6 即6a 7b 3 2 2分又由x1的概率分布列得0 4 a b 0 1 1 即a b 0 5 2 由已知得 样本的频率分布表如下 6分用这个样本的频率分布估计总体分布 将频率视为概率 可得等级系数x2的概率分布列如下 所以ex2 3 0 3 4 0