高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点探究+把脉高考）第二章第4课时 二次函数与幂函数课件.ppt

第4课时二次函数与幂函数 基础梳理1 二次函数的解析式的三种常用表达形式 1 一般式 f x 2 顶点式 f x a x h 2 k a 0 h k 是顶点 3 标根式 或因式分解式 f x a x x1 x x2 a 0 其中x1 x2分别是f x 0的两实根 ax2 bx c a 0 2 二次函数的图象及其性质 减 增 思考探究1 二次函数会为奇函数吗 提示 不会为奇函数 3 幂函数的定义形如 r 的函数称为幂函数 其中x是 为 y x 自变量 常数 思考探究2 幂函数与指数函数有何不同 提示 本质区别在于自变量的位置不同 幂函数的自变量在底数位置 而指数函数的自变量在指数位置 4 幂函数的性质 r 0 0 奇 奇 奇 增 增 0 0 1 1 1 1 课前热身 答案 b 2 已知函数f x x2 2x 2的定义域和值域均为 1 b 则b a 3b 2或3c 2d 1或2 3 函数y x2 x 2 x 1 5 的值域是 4 二次函数y f x 图象如图所示 那么此函数的解析式为 已知函数f x x2 mx n的图象过点 1 3 且f 1 x f 1 x 对任意实数都成立 函数y g x 与y f x 的图象关于原点对称 求f x 与g x 的解析式 题后感悟 在求二次函数解析式时 要灵活地选择二次函数解析式的表达形式 1 已知三个点的坐标 应选择一般形式 2 已知顶点坐标或对称轴或最值 应选择顶点式 3 已知函数图象与x轴的交点坐标 应选择两根式 备选例题已知二次函数f x 的二次项系数为a 满足不等式f x 2x的解集为 1 3 且方程f x 6a 0有两个相等实根 求f x 的解析式 解 f x 与f x 2x的二次项系数相等 f x 2x的二次项系数为a 又 f x 2x 0的解集为 1 3 设f x 2x a x 1 x 3 a 0 变式训练1 已知二次函数f x 满足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 试确定此二次函数 函数f x x2 2x 2在闭区间 t t 1 t r 上的最小值记为g t 1 试写出g t 的函数表达式 2 作g t 的图象并写出g t 的最小值 2 g t 的图象如图所示 可知g t 在 0 上递减 在 1 上递增 因此g t 在 0 1 上取到最小值1 题后感悟 1 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型 轴定区间定 轴动区间定 轴定区间动 不论哪种类型 解决的关键是考查对称轴与区间的关系 当含有参数时 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论 2 二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解 备选例题已知函数f x x2 2ax 2 x 5 5 1 当a 1时 求函数的最大值和最小值 2 求实数a的取值范围 使y f x 在区间 5 5 上是单调函数 解 1 当a 1时 f x x2 2x 2 其对称轴为x 1 所以f x min f 1 1 f x max f 5 37 2 对称轴为x a 当 a 5或 a 5时 f x 在 5 5 上单调 a 5或a 5 变式训练2 已知函数f x x2 2ax 1 a在x 0 1 时有最大值2 求a的值 解 f x x a 2 a2 a 1 当a 1时 ymax a 当0 a 1时 ymax a2 a 1 当a 0时 ymax 1 a 已知幂函数f x n2 2n 2 xn2 3n n z 的图象关于y轴对称 且在 0 上是减函数 则n的值为 a 3b 1c 2d 1或2 解析 由于f x 为幂函数 所以n2 2n 2 1 解得n 1或n 3 经检验只有n 1适合题意 故选b 答案 b 题后感悟 1 幂函数的形式是y x 其中只有参数 因此只需一个条件即可确定其解析式 2 若幂函数y x z 是偶函数 则 必为偶数 当 是分数时 一般将其先化为根式 再判断 3 若幂函数y x 在 0 单调递增 则 0 若在 0 上单调递减 则 0 备选例题 当x 1或x 1时 f x g x 当x 1时 f x g x 当 1 x 1且x 0时 f x g x 变式训练3 若幂函数y m2 3m 3 xm2 m 2的图象不经过原点 则实数m的值等于 解析 由于函数y m2 3m 3 xm2 m 2是幂函数 所以m2 3m 3 1 解得m 1或2 而当m 1时 y m2 3m 3 xm2 m 2 x 2 定义域是 x x r x 0 图象不经过原点 当m 2时 y m2 3m 3 xm2 m 2 x0 定义域是 x x r x 0 图象不经过原点 答案 1或2 方法技巧1 二次函数 二次方程 二次不等式间相互转化的一般规律 1 在研究一元二次方程根的分布问题时 常借助于二次函数的图象数形结合来解 一般从 开口方向 对称轴位置 判别式 端点函数值符号四个方面分析 2 在研究一元二次不等式的有关问题时 一般需借助于二次函数的图象 性质求解 3 幂函数y x r 其中 为常数 其本质特征是以幂的底x为自变量 指数 为常数 这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准 应当注意并不是任意的一次函数 二次函数都是幂函数 如y x 1 y x2 2x等都不是幂函数 失误防范1 研究二次函数的性质要注意二次项系数a的正负 及对称轴的位置 两点不应忽视 如例2 2 幂函数的图象一定会出现在第一象限 一定不会出现在第四象限 至于是否出现在第二 三象限 要看函数的奇偶性 幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内 如果幂函数图象与坐标轴相交 则交点一定是原点 命题预测从近几年的高考试题来看 二次函数图象的应用与其最值问题是高考的热点 题型多以小题或大题中关键的一步的形式出现 主要考查二次函数与一元二次方程及一元二次不等式三者的综合应用 注重考查图象与性质的灵活运用 而幂函数一般不单独命题 而常与指数函数 对数函数交汇命题 题型一般为选择题 填空题中的一部分 内容 主要考查幂函数的图象及性质 预测2013年高考中以二次函数为命题落脚点的题目仍将是一个