高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点突破+瞭望高考）第二章第14课时 定积分与微积分的基本定理课件.ppt

第14课时定积分与微积分的基本定理 基础梳理1 定积分的概念 1 定积分的定义和相关概念 如果函数f x 在区间 a b 上连续 用分点a x0 x1 xi 1 xi xn b将区间 a b 等分成n个小区间 在每 某个常数 常数 a与b a b 函数f x x 正值 负值 零 求曲边梯形的面积以及求变速直线运动的物体在某段时间内运动的路程的步骤是 1 分割 2 近似代替 3 求和 4 取极限 f b f a 3 1 在利用定积分求平面图形的面积时 一般要先画出它的草图 再借助图形直观确定出 及 被积函数 积分上 下限 提示 相等 定积分大小仅与被积函数及积分区间有关 而与积分变量无关 课前热身 答案 d 5 如图 函数y x2 2x 1与y 1相交形成一个闭合图形 图中的阴影部分 则该闭合图形的面积是 计算简单定积分的步骤 1 把被积函数变为幂函数 正弦函数 余弦函数 指数函数与常数的和或差 2 利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差 3 分别用求导公式求出f x 使得f x f x 4 利用牛顿 莱布尼兹公式求出各个定积分的值 5 计算所求定积分的值 名师点评 1 求函数的原函数和求函数的导数恰好互为逆运算 注意它们在计算和求解中的不同 避免混淆 另外 一个函数的导数是惟一的 而其原函数则有无穷多个 这些原函数之间都相差一个常数 在利用微积 分基本定理求定积分时 只要找到被积函数的一个原函数即可 并且一般使用不含常数的原函数 这样有利于计算 2 分段函数的定积分问题 绝对值函数的定积分问题都可以采用分段求解的方法 如图 求阴影部分的面积s 思路分析 转化为两个函数差的积分 名师点评 在直角坐标系下画出相关曲线的大致图象 借助于图象的直观性并通过解方程组求出交点坐标 确定被积函数的积分上 下限 若被积函数的原函数比较好求时 根据牛顿 莱布尼兹公式求定积分值 若被积函数的原函数难以找到时 但被积函数具有明显的几何意义 可利用几何法求其面积 变式训练2 求曲线y x2 直线y x y 3x围成的图形的面积 解 作出曲线y x2 直线y x y 3x的图象 所求面积为下图中阴影部分的面积 变速直线运动的物体的速度为v t 1 t2 初始位置为x0 1 求它在前2秒内所经过的路程及2秒末所在的位置 思路分析 区分路程和位移的概念 如图所示 已知曲线c1 y x2与曲线c2 y x2 2ax a 1 交于点o a 直线x t 0 t 1 与曲线c1 c2分别相交于点d b 连接od da ab 1 写出曲边四边形abod 阴影部分 的面积s与t的函数关系式s f t 2 求函数s f t 在区间 0 1 上的最大值 思路分析 利用割补法求面积 名师点评 曲边四边形abod的面积s是关于t的函数 可由求定积分的方法分段求函s f t 然后再根据微分思想利用导数求最值 本题含有参数a 注意分类讨论 变式训练3 利用定积分的几何意义求 adx a 0 的值 方法技巧1 1 用定义求定积分的步骤 分割 近似代替 求和 取极限 要借助于求曲边梯形的面积 变力做功等案例 体会定积分的基本思想方法 2 用微积分基本定理求定积分 关键是找到满足f x f x 的函数f x 即找被积函数的原函数 利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系 运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出f x 3 利用微积分基本定理求定积分 有时需先化简 再积分 4 利用定积分求所围成平面图形的面积 要利用数形结合的方法确定被积函数和积分上 下限 失误防范 1 求被积函数 要先化简 再求积分 2 求被积函数为分段函数的定积分 依据定积分 对区间的可加性 分段积分再求和 3 对于含有绝对值符号的被积函数 要先去掉绝对值号才能积分 4 对于含有根号的被积函数 一般先考虑用几何意义求解 命题预测定积分与微积分其本定理是高中数学的新增内容 对它考查的频率较低 且多以客观题的形式为主 如2011年湖南 福建 全国新课标卷 难度较少 着重于基础知识 基本方法的考查 要充分理解定积分的几何意义 理解并掌握微积分基本定理的应用 预测2013年福建高考仍以难度较低的题目考查 典例透析 解析 f 1