高中数学 2.5指数与指数函数配套课件 北师大版.ppt

第五节指数与指数函数 三年4考高考指数 1 了解指数函数模型的实际背景 2 理解有理数指数幂的含义 了解实数指数幂的意义 掌握幂的运算 3 理解指数函数的概念及其单调性 掌握指数函数图像通过的特殊点 会画底数为2 3 10 的指数函数的图像 4 体会指数函数是一类重要的函数模型 1 幂的运算 指数函数的概念 图像 单调性是高考考查的热点 2 常与函数的其他性质 方程 不等式等交汇命题 考查分类讨论思想和数形结合思想 3 多以选择 填空题形式出现 但若与导数交汇命题则以解答题形式出现 1 正整数指数函数 1 解析式 2 自变量 3 定义域 y ax a 0 a 1 x n x 正整数集n 即时应用 1 思考 正整数指数函数的图像有何特征 提示 在第一象限内一系列孤立的点 是离散的而不是连续的 2 请判断下列函数是否是正整数指数函数 其中x n 请在括号内填 是 或 否 y 2x y 2 x y x y x2 y a 1 x a 1且a 2 解析 2x前面的系数为 1 故不是 底数小于0 故不是 符合正整数指数函数的定义 故是 为幂函数 故不是 答案 否 否 是 否 是 3 若函数y a2 3a 3 2a 1 x为正整数指数函数 则a的值是 解析 由正整数指数函数的定义可知答案 2 2 指数扩充及其运算性质 1 分数指数幂的概念给定正实数a 对于任意给定的整数m n m n互素 存在唯一的正实数b 使得 把b叫作a的 次幂 记作它就是分数指数幂 bn am 2 正分数指数幂与负分数指数幂 正分数指数幂的根式形式 正数的负分数指数幂的意义 a 0 m n n 且n 1 0的正分数指数幂等于 0的负分数指数幂 0 没有意义 3 指数运算的性质若a 0 b 0 对任意实数m n 指数运算有以下性质 am an am n ab m am n amn ambm 即时应用 1 判断下列根式与分数指数幂的互化是否正确 请在括号中填 或 解析 答案 1 2 2x2y 2 化简 x 0 y 0 得 3 指数函数的概念 1 解析式 2 自变量 3 定义域 y ax a 0 a 1 x r 即时应用 1 思考 正整数指数函数与指数函数有何异同 提示 正整数指数函数是指数函数的一种 二者的定义域不同 正整数指数函数的定义域为n 而指数函数的定义域为r 2 判断下列函数是否为指数函数 请在括号内填 是 或 否 y 3 2x y y ax y 2a 1 x a 且a 1 答案 否 否 否 是 4 指数函数的图像与性质 1 定义域 r 2 值域 0 3 过定点 0 1 即x 0时 y 1 4 当x 0时 y 1 当x 0时 0 y 1 4 当x 0时 01 5 在r上是增函数 5 在r上是减函数 性质 即时应用 1 如图是指数函数 y ax y bx y cx y dx的图像 则a b c d与1的大小关系是 2 函数f x 3 x 1的定义域 值域分别是 3 函数f x ax a 0 a 1 在 1 2 中的最大值比最小值大则a的值为 解析 1 在图中画出直线x 1 分别与 交于a b c d四点 即a 1 a b 1 b c 1 c d 1 d 由图像可知c d 1 a b 2 f x x 1 定义域为r x 1 1 故值域为 1 3 当01时 有解得 答案 1 b a 1 d c 2 r 1 3 指数幂的运算 方法点睛 幂的运算的一般规律及要求 1 分数指数幂与根式可以相互转化 2 分数指数幂不能随心所欲地约分 例如要将写成等必须认真考查a的取值才能决定 如则无意义 3 在进行幂和根式的化简时 一般是先将根式化成幂的形式 并化小数指数幂为分数指数幂 并尽可能地统一成分数指数幂形式 再利用幂的运算性质进行化简 求值 例1 计算下列各式的值 解题指南 先将根式化为分数指数幂 底数为小数的化成分数 负分数指数化为正分数指数 然后根据幂的运算性质进行计算 规范解答 反思 感悟 指数幂的一般运算步骤 有括号先算括号里的 无括号先做指数运算 先乘除后加减 负指数幂化成正指数幂的倒数 底数是负数 先确定符号 底数是小数 先要化成分数 底数是带分数的 先化成假分数 若是根式 应化为分数指数幂 尽可能用幂的形式表示 运用指数运算性质 变式训练 计算下列各式的值 解析 变式备选 已知的值 解析 方法点睛 1 应用指数函数图像解决指数型函数的性质问题对指数型函数的图像与性质 单调性 最值 大小比较 零点等 的处理往往利用相应指数函数的图像 通过平移 对称变换得到其图像 然后数形结合 使问题得解 2 指数型方程 不等式的图像解法一些指数方程 不等式问题 往往利用相应指数型函数图像通过数形结合求解 指数函数图像的应用 提醒 在利用指数函数图像解决一些问题时 图像形状 趋势及经过的特殊点要准确 否则数形结合时易产生失误 例2 已知f x 2x 1 1 求f x 的单调区间 2 比较f x 1 与f x 的大小 3 试确定函数g x f x x2零点的个数 解题指南 1 作出f x 的图像 数形结合求解 2 在同一坐标系中分别作出f x f x 1 的图像 数形结合求解 3 在同一坐标系中分别作出函数f x 与y x2的图像 数形结合求解 规范解答 1 由f x 2x 1 可作出函数的图像如图 因此函数f x 的减区间为 0 函数f x 的增区间为 0 1 2 在同一坐标系中分别作出函数f x f x 1 的图像 如图所示 1 2 1 1 x0 由图像知 当时 解得x0 两图像相交 从图像可见 当x 时 f x f x 1 当x 时 f x f x 1 当x 时 f x f x 1 3 将g x f x x2的零点转化为函数f x 与y x2图像的交点问题 在同一坐标系中分别作出函数f x 2x 1 和y x2的图像 如图所示 有四个交点 故g x 有四个零点 y 1 y x2 y f x o 反思 感悟 对于指数型函数的单调性 最值 零点及指数型方程 不等式 能画出其图像的一般用数形结合法求解 但要注意画出的函数图像的基本特征必须要准确 否则很容易出现失误 变式训练 2012 汉中模拟 k为何值时 方程 3x 1 k无解 有一解 有两解 解析 函数y 3x 1 的图像是由函数y 3x的图像向下平移一个单位后 再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的 函数图像如图所示 当k 0时 直线y k与函数y 3x 1 的图像无交点 即方程无解 当k 0或k 1时 直线y k与函数y 3x 1 的图像有唯一的交点 所以方程有一解 当0 k 1时 直线y k与函数y 3x 1 的图像有两个不同交点 所以方程有两解 变式备选 若直线y 2a与函数y ax 1 a 0 a 1 的图像有两个公共点 求实数a的取值范围 解析 分底数01两种情况 分别在同一直角坐标系中作出两函数的图像 如图 从图中可以看出 只有当0 a 1 且0 2a 1 即0 a 时 两函数才有两个交点 所以0 a 指数函数性质的应用 方法点睛 利用指数函数的性质可求解的问题及方法 1 应用指数函数的单调性可以比较同底数幂值的大小 2 与指数函数有关的指数型函数定义域 值域 最值 单调性 奇偶性的求解方法 与前面所讲一般函数的求解方法一致 只需根据条件灵活选择即可 例3 1 2012 吉安模拟 函数的定义域是 2 函数的单调递减区间为 值域为 3 2012 西安模拟 已知定义域为r的函数是奇函数 求a的值 并指出函数f x 的单调性 不必说明单调性的理由 若对任意的t r 不等式f t2 2t f 2t2 k 0恒成立 求k的取值范围 解题指南 根据待求的指数型函数的结构特征 选择恰当的求函数定义域 值域 最值 单调区间 奇偶性的方法求解 规范解答 1 由题意知32x 1 0 32x 1 3 3 2x 1 3 x 1 即定义域是 1 答案 1 2 令g x x2 4x 3 x 2 2 7 由于g x 在 2 上单调递增 在 2 上单调递减 而在r上单调递减 所以f x 在 2 上单调递减 又g x x 2 2 7 7 f x 答案 2 3 7 3 已知函数f x 的定义域为r f x 是奇函数 f x f x 0 即 另解 由f x 是r上的奇函数 所以f 0 0 故a再由通过验证f x f x 0来确定a的合理性 由知f x 在r上为减函数 方法一 由 得f x 在r上为减函数 又因为f x 是奇函数 从而不等式f t2 2t f 2t2 k 2t2 k 即对一切t r有3t2 2t k 0 从而 4 12k 0 解得 方法二 由 知又由题设条件得 整理得因为底数4 1 所以3t2 2t k 0 上式对一切t r均成立 从而判别式 4 12k 0 解得 互动探究 若将本例 2 中的函数变为且其最大值为3 求a的值 解析 令h x ax2 4x 3 由于f x 有最大值3 为r上的减函数 所以h x 应有最小值 1 因此必有即当f x 有最大值3时 解得a 1 反思 感悟 在求解与指数函数有关的函数的性质问题时 要根据解析式的结构特征 根据待求问题 选择相应的方法求解 但对复合函数一定要注意其定义域 变式备选 已知函数 1 若f x 2 求x的值 2 若2tf 2t mf t 0对于t 1 2 恒成立 求实数m的取值范围 解析 1 当x 0时 f x 0 当x 0时 由条件可知 2 即22x 2 2x 1 0 解得 2x 0 2 当t 1 2 时 即m 22t 1 24t 1 22t 1 0 m 22t 1 t 1 2 1 22t 17 5 故m的取值范围是 5 易错误区 应用指数函数图像 性质的误区 典例 2012 广州模拟 已知函数 a b是常数且a 0 a 1 在区间 0 上有ymax 3 ymin 试求a b的值 解题指南 设t x2 2x 先确定t在 0 上的值域 再分a 1 0 a 1两种情况讨论 构建a b的方程组求解 规范解答 x 0 可设t x2 2x x 1 2 1 值域为 1 0 即t 1 0 1 若a 1 函数y at在r上为增函数 at 1 则依题意得 2 若0 a 1 函数y at在r上为减函数 at 1 则依题意得综上 所求a b的值为 阅卷人点拨 通过对试题及阅卷数据分析 我们可以得到以下误区警示和备考建议 1 2011 山东高考 若点 a 9 在函数y 3x的图像上 则的值为 解析 选d 因为点 a 9 在函数y 3x的图像上 所以3a 9 a 2 所以 2 2011 辽宁高考 设函数则满足f x 2的x的取值范围是 a 1 2 b 0 2 c 1 d 0 解析 选d 若x 1 则21 x 2 解得0 x 1 若x 1 则1 log2x 2 解得x 1 综上 x 0 3 2011 湖北高考 已知定义在r上的奇函