高中数学 8.1直线的斜率与直线方程配套课件 北师大版.ppt

第一节直线的斜率与直线方程 完全与教材同步 主干知识精心提炼 素质和能力源于基础 基础知识是耕作 半亩方塘 的工具 视角从 考纲点击 中切入 思维从 考点梳理 中拓展 智慧从 即时应用 中升华 科学的训练式梳理峰回路转 别有洞天 去尽情畅游吧 它会带你走进不一样的精彩 三年3考高考指数 1 在平面直角坐标系中 结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素 2 理解直线的倾斜角和斜率的概念 掌握过两点的直线斜率的计算公式 3 掌握直线方程的三种形式 点斜式 两点式和一般式 了解斜截式与一次函数的关系 1 直线的斜率 直线方程是高考的重点 2 本部分内容常与圆锥曲线综合命题 重点考查函数与方程思想和数形结合思想 3 多以选择题和填空题的形式出现 属于中低档题目 1 直线的倾斜角与斜率 1 直线的倾斜角 一个前提 直线l与x轴 一个基准 取 作为基准 两个方向 x轴正方向与直线l向上方向 当直线l与x轴平行或重合时 规定 它的倾斜角为 相交 x轴 0 2 直线的斜率 定义 若直线的倾斜角 不是90 则斜率k 计算公式 若由a x1 y1 b x2 y2 确定的直线不垂直于x轴 则k tan 即时应用 1 过点m 2 m n m 4 的直线的斜率为1 则m的值为 2 直线的倾斜角为 解析 1 由斜率公式得 解得m 1 2 的斜率即倾斜角 的正切值tan 又 0 答案 1 1 2 2 直线方程的几种形式 斜率k与点 x1 y1 斜率k与直线在y轴上的截距b 两点 x1 y1 x2 y2 直线在x轴 y轴上的截距分别为a b 不含直线x x1 不含垂直于x轴的直线 不含直线x x1 x1 x2 和直线y y1 y1 y2 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 平面直角坐标系内的直线都适用 即时应用 1 思考 过a x1 y1 b x2 y2 两点的直线方程能否写成 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 提示 能写成 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 当x1 x2且y1 y2时 直线方程为 可化为上式 当x1 x2 y1 y2时 直线方程为 y y1也适合上式 当y1 y2 x1 x2时 直线方程为 x x1也适合上式 综上可知 过a x1 y1 b x2 y2 两点的直线方程能写成 x2 x1 y y1 y2 y1 x x1 2 已知直线l经过点p 2 5 且斜率为 则直线l的方程为 解析 由直线的点斜式方程得 直线l的方程为 y 5 x 2 即3x 4y 14 0 答案 3x 4y 14 0 3 经过两点m 1 2 n 3 4 的直线方程为 解析 经过两点m 1 2 n 3 4 的直线方程为即3x 2y 1 0 答案 3x 2y 1 0 例题归类全面精准 核心知识深入解读 本栏目科学归纳考向 紧扣高考重点 方法点睛 推门只见窗前月 突出解题方法 要领 答题技巧的指导与归纳 经典例题 投石冲破水中天 例题按层级分梯度进行设计 层层推进 流畅自然 配以形异神似的变式题 帮你举一反三 触类旁通 题型与方法贯通 才能高考无忧 直线的倾斜角与斜率 方法点睛 1 斜率的求法 1 定义法 若已知直线的倾斜角 或 的某种三角函数值 一般根据k tan 求斜率 2 公式法 若已知直线上两点a x1 y1 b x2 y2 一般根据斜率公式求斜率 2 直线的斜率k与倾斜角 之间的关系 0 k 0 不存在 k 0 提醒 对于直线的倾斜角 斜率k tan 90 若已知其一的范围可求另一个的范围 例1 1 已知两点a m n b n m m n 则直线ab的倾斜角是 2 已知点a 2 3 b 3 2 直线l过点p 1 1 且与线段ab有交点 则直线l的斜率k的取值范围为 3 2012 西安模拟 直线y tan x 1 的倾斜角的取值范围是 解题指南 1 先由公式法求出斜率 再求倾斜角 2 直线l的斜率的取值范围 可由直线pa pb的斜率确定 也可先写出直线l的方程 再由点a b在直线l的异侧 或一点在l上 求解 3 直线倾斜角与直线的斜率有关 可先求直线斜率的取值范围 再求直线倾斜角的取值范围 规范解答 1 因为a m n b n m m n 所以直线ab的斜率所以直线的倾斜角为 答案 2 方法一 因为a 2 3 b 3 2 p 1 1 所以如图所示 因此 直线l斜率k的取值范围为k 4或 方法二 依题设知 直线l的方程为 y 1 k x 1 即kx y 1 k 0 若直线l与线段ab有交点 则a b两点在直线l的异侧 或a b之一在l上 故 2k 4 k 3k 3 k 0 即 k 4 4k 3 0 解得 k 4或k 答案 k 4或k 3 直线的斜率k tan 设直线的倾斜角为 k 0 答案 互动探究 本例 3 中 的取值范围改为 结果如何 解析 由直线的倾斜角和斜率的关系知 就是直线的倾斜角 直线的倾斜角的取值范围为 反思 感悟 1 直线的斜率与倾斜角之间的关系是重要的解题线索 如本例第 3 题由直线斜率的取值范围可求出直线倾斜角的取值范围 但一定要注意倾斜角的取值范围为 0 2 已知倾斜角的取值范围 求斜率的取值范围 实质上是求k tan 的值域问题 已知斜率k的取值范围求倾斜角的取值范围 实质上是在 0 上解关于正切函数的三角不等式问题 由于函数k tan 在 0 上不单调 故一般借助函数图像来解决此类问题 变式备选 已知两点a 1 2 b m 3 且求直线ab的倾斜角 的取值范围 解析 当直线ab的斜率不存在时 m 1 此时倾斜角 为 当直线ab的斜率存在时 m 1 由题意知直线ab的斜率 又 直线ab的倾斜角 的取值范围为综上所述 直线ab的倾斜角 的取值范围为 直线的方程及应用 方法点睛 直线方程综合问题的类型及解法 1 与函数相结合的问题 解决这类问题 一般是利用直线方程中的x y的关系 将问题转化为关于x 或y 的某函数 借助函数的性质解决 2 与方程 不等式相结合的问题 一般是利用方程 不等式的有关知识 如方程解的个数 根的存在问题 不等式的性质 基本不等式等 来解决 例2 已知直线l过点p 3 2 且与x轴 y轴的正半轴分别交于a b两点 如图所示 1 若 abo的面积为12 求直线l的方程 2 求 abo的面积的最小值及此时直线l的方程 解题指南 先设出ab所在的直线方程 再求a b两点的坐标 1 根据 abo的面积为12列方程组求解 2 写出表示 abo的面积的表达式 最后利用相关的数学知识求出最值 规范解答 1 方法一 设直线l的方程为 a 0 b 0 a a 0 b 0 b 解得 所求直线l的方程为即2x 3y 12 0 方法二 设直线l的方程为y 2 k x 3 令y 0 得直线l在x轴的正半轴上的截距a 3 令x 0 得直线l在y轴的正半轴上的截距b 2 3k 3 2 3k 24 解得k 所求直线l的方程为y 2 x 3 即2x 3y 12 0 2 方法一 由题可设a a 0 b 0 b a 0 b 0 则直线l的方程为 l过点p 3 2 且a 3 b 2 从而 故有s abo 当且仅当即a 6时 s abo min 12 此时 此时直线l的方程为即2x 3y 12 0 方法二 由题可设直线方程为 a 0 b 0 代入p 3 2 得得ab 24 从而s abo ab 12 当且仅当时 等号成立 s abo取最小值12 此时 此时直线l的方程为2x 3y 12 0 方法三 依题意知 直线l的斜率存在 设直线l的方程为y 2 k x 3 k 0 则有a 3 0 b 0 2 3k s abo 2 3k 3 12 9k 12 12 12 当且仅当即时 等号成立 s abo取最小值12 此时 直线l的方程为2x 3y 12 0 方法四 如图所示 过p分别作x轴 y轴的垂线pm pn 垂足分别为m n 设 pam bpn 显然 0 则s abo s pbn s四边形npmo s pma 3 3 tan 6 2 2 当且仅当即tan 时 s abo取最小值12 此时直线l的斜率为 其方程为2x 3y 12 0 反思 感悟 1 此题是直线方程的综合应用 解题时 可灵活运用直线方程的各种形式 以便简化运算 2 以直线为载体的面积 距离的最值问题 一般要结合函数 不等式的知识或利用对称性解决 变式训练 已知直线l kx y 1 2k 0 k r 1 证明 直线l过定点 2 若直线不经过第四象限 求k的取值范围 3 若直线l交x轴负半轴于a 交y轴正半轴于b aob的面积为s o为坐标原点 求s的最小值并求此时直线l的方程 解析 1 直线l的方程是 k x 2 1 y 0 令解得 无论k取何值 直线总经过定点 2 1 2 由方程知 当k 0时直线在x轴上的截距为在y轴上的截距为1 2k 要使直线不经过第四象限 则必须有解之得k 0 当k 0时 直线为y 1 符合题意 故k 0 3 由l的方程 得b 0 1 2k 依题意得解得k 0 s oa ob 1 2k 2 2 4 4 成立的条件是k 0且4k 即k smin 4 此时l的方程为 x 2y 4 0 把握高考命题动向 体现区域化考试特点 本栏目以最新的高考试题为研究素材 解析经典考题 洞悉命题趋势 展示现场评卷规则 对例题不仅仅是详解评析 更是从命题层面评价考题 从备考角度提示规律方法 拓展思维 警示误区 考题体验 让你零距离体验高考 亲历高考氛围 提升应战能力 为你顺利穿越数学高考时空增添活力 运筹帷幄 决胜千里 创新探究 与直线方程有关的创新命题 典例 2011 安徽高考 在平面直角坐标系中 如果x与y都是整数 就称点 x y 为整点 下列命题中正确的是 写出所有正确命题的编号 存在这样的直线 既不与坐标轴平行又不经过任何整点 如果k与b都是无理数 则直线y kx b不经过任何整点 直线l经过无穷多个整点 当且仅当l经过两个不同的整点 直线y kx b经过无穷多个整点的充分必要条件是 k与b都是有理数 存在恰经过一个整点的直线 解题指南 存在性问题 只需举出一种成立情况即可 恒成立问题应根据推理论证后才能成立 注意数形结合 特例的取得与一般性的检验应根据命题的特点选择合适的情形 规范解答 正确 例如当x是整数时 y是无理数 x y 不是整点 不正确 如过整点 1 0 设y kx k 0 是过原点的直线 若此直线过两个整点 x1 y1 x2 y2 则有y1 kx1 y2 kx2 两式相减得y1 y2 k x1 x2 则点 x1 x2 y1 y2 也在直线y kx上 通过这种 方法可以得到直线l经过无穷多个整点 通过上下平移y kx知对于y kx b也成立 所以 正确 不正确 如当x为整数时 y不是整数 此直线不经过无穷多个整点 正确 如直线只经过整点 0 0 答案 阅卷人点拨 通过对本题的深入研究 可以得到以下创新点拨和备考建议 1 2012 黄山模拟 直线x y 3 0的倾斜角是 a b c d 解析 选c 直线方程变形为y x 3 斜率k 1 直线的倾斜角是 2 2012 九江模拟 三点 1 1 1 0 及 2 k 在同一条直线上 则k的值等于 解析 方法一 由斜率相等得 方法二 过点 1 1 及 1 0 的直线方程为即由题意得答案 3 2012 汉中模拟 直线ax my 2a 0 m 0 过点 1 1 则该直线的倾斜角为 解析 点 1 1 在直线a