高考数学一轮复习 82 空间点 线 面的位置关系课件 新人教A版.ppt

最新考纲1 理解空间直线 平面位置关系的定义 并了解有关的可以作为推理依据的公理和定理 2 能运用公理 定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题 第2讲空间点 线 面的位置关系 1 平面的基本性质 1 公理1 如果一条直线上的 在一个平面内 那么这条直线在此平面内 2 公理2 过 的三点 有且只有一个平面 3 公理3 如果两个不重合的平面有 公共点 那么它们有且只有一条过该点的公共直线 知识梳理 两点 不在一条直线上 一个 4 公理2的三个推论推论1 经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面 推论2 经过两条 直线有且只有一个平面 推论3 经过两条 直线有且只有一个平面 2 空间中两直线的位置关系 1 位置关系的分类 相交 平行 平行 相交 任何 2 异面直线所成的角 定义 设a b是两条异面直线 经过空间任一点o作直线a a b b 把a 与b 所成的 叫做异面直线a与b所成的角 或夹角 范围 3 平行公理和等角定理 平行公理 平行于 的两条直线互相平行 等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行 那么这两个角 锐角 或直角 同一条直线 相等或互补 3 空间直线与平面 平面与平面的位置关系 1 直线与平面的位置关系有 三种情况 2 平面与平面的位置关系有 两种情况 相交 平行 在平面内 平行 相交 1 判断正误 在括号内打 或 精彩ppt展示 1 梯形可以确定一个平面 2 圆心和圆上两点可以确定一个平面 3 已知a b c d是四条直线 若a b b c c d 则a d 4 两条直线a b没有公共点 则a与b是异面直线 诊断自测 2 已知a b是异面直线 直线c平行于直线a 那么c与b a 一定是异面直线b 一定是相交直线c 不可能是平行直线d 不可能是相交直线解析由已知得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线 但不可能为平行直线 若b c 则a b 与已知a b为异面直线相矛盾 答案c 3 下列命题正确的个数为 经过三点确定一个平面 梯形可以确定一个平面 两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合a 0b 1c 2d 3解析经过不共线的三点可以确定一个平面 不正确 两条平行线可以确定一个平面 正确 两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面 正确 命题 中没有说明三个交点是否共线 不正确 答案c 4 2014 广东卷 若空间中四条两两不同的直线l1 l2 l3 l4 满足l1 l2 l2 l3 l3 l4 则下列结论一定正确的是 a l1 l4b l1 l4c l1与l4既不垂直也不平行d l1与l4的位置关系不确定解析构造如图所示的正方体abcd a1b1c1d1 取l1为ad l2为aa1 l3为a1b1 当取l4为b1c1时 l1 l4 当取l4为bb1时 l1 l4 故排除a b c 选d 答案d 5 2015 成都诊断 在正方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是棱a1b1 a1d1的中点 则a1b与ef所成角的大小为 考点一平面基本性质的应用 例1 1 以下四个命题中 正确命题的个数是 不共面的四点中 其中任意三点不共线 若点a b c d共面 点a b c e共面 则a b c d e共面 若直线a b共面 直线a c共面 则直线b c共面 依次首尾相接的四条线段必共面 a 0b 1c 2d 3 2 在正方体abcd a1b1c1d1中 p q r分别是ab ad b1c1的中点 那么正方体的过p q r的截面图形是 a 三角形b 四边形c 五边形d 六边形解析 1 正确 假设其中有三点共线 则该直线和直线外的另一点确定一个平面 这与四点不共面矛盾 故其中任意三点不共线 不正确 从条件看出两平面有三个公共点a b c 但是若a b c共线 则结论不正确 不正确 共面不具有传递性 不正确 因为此时所得的四边形四条边可以不在同一个平面上 如空间四边形 2 如图所示 作rg pq交c1d1于g 连接qp并延长与cb延长线交于m 且qp反向延长线与cd延长线交于n 连接mr交bb1于e 连接pe 则pe re为截面与正方体的交线 同理连接ng交dd1于f 连接qf fg 则qf fg为截面与正方体的交线 截面为六边形pqfgre 答案 1 b 2 d 规律方法 1 公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据 公理2及其推论是判断或证明点 线共面的依据 公理3是证明三线共点或三点共线的依据 要能够熟练用文字语言 符号语言 图形语言来表示公理 2 画几何体的截面 关键是画截面与几何体各面的交线 此交线只需两个公共点即可确定 作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件 可以更快地确定交线的位置 训练1 如图所示是正方体和正四面体 p q r s分别是所在棱的中点 则四个点共面的图形的序号是 解析可证 中的四边形pqrs为梯形 中 如图所示 取a1a和bc的中点分别为m n 可证明pmqnrs为平面图形 且pmqnrs为正六边形 中 可证四边形pqrs为平行四边形 中 可证q点所在棱与面prs平行 因此 p q r s四点不共面 答案 考点二空间两条直线的位置关系 例2 如图是正四面体的平面展开图 g h m n分别为de be ef ec的中点 在这个正四面体中 gh与ef平行 bd与mn为异面直线 gh与mn成60 角 de与mn垂直 以上四个命题中 正确命题的序号是 解析把正四面体的平面展开图还原 如图所示 gh与ef为异面直线 bd与mn为异面直线 gh与mn成60 角 de mn 答案 规律方法空间中两直线位置关系的判定 主要是异面 平行和垂直的判定 对于异面直线 可采用直接法或反证法 对于平行直线 可利用三角形 梯形 中位线的性质 平行公理及线面平行与面面平行的性质定理 对于垂直关系 往往利用线面垂直的性质来解决 训练2 1 2014 余姚模拟 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n分别是bc1 cd1的中点 则下列说法错误的是 a mn与cc1垂直b mn与ac垂直c mn与bd平行d mn与a1b1平行 2 在图中 g h m n分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点 则表示直线gh mn是异面直线的图形有 填上所有正确答案的序号 解析 1 如图 连接c1d bd ac 在 c1db中 mn bd 故c正确 cc1 平面abcd cc1 bd mn与cc1垂直 故a正确 ac bd mn bd mn与ac垂直 故b正确 a1b1与bd异面 mn bd mn与a1b1不可能平行 故d错误 选d 2 图 中 直线gh mn 图 中 g h n三点共面 但m 面ghn 因此直线gh与mn异面 图 中 连接mg gm hn 因此gh与mn共面 图 中 g m n共面 但h 面gmn 因此gh与mn异面 所以在图 中gh与mn异面 答案 1 d 2 考点三求异面直线所成的角 例3 如图 在四棱锥p abcd中 底面是边长为2的菱形 dab 60 对角线ac与bd交于点o po 平面abcd pb与平面abcd所成角为60 1 求四棱锥的体积 2 若e是pb的中点 求异面直线de与pa所成角的余弦值 解 1 在四棱锥p abcd中 po 面abcd pbo是pb与面abcd所成的角 即 pbo 60 在rt abo中 ab 2 oab 30 bo ab sin30 1 po 面abcd ob 面abcd po ob 2 取ab的中点f 连接ef df e为pb中点 ef pa def为异面直线de与pa所成角 或其补角 规律方法求异面直线所成的角常用方法是平移法 平移方法一般有三种类型 利用图中已有的平行线平移 利用特殊点 线段的端点或中点 作平行线平移 补形平移 训练3 2014 潍坊一模 已知在三棱锥a bcd中 ab cd 且点m n分别是bc ad的中点 1 若直线ab与cd所成的角为60 则直线ab和mn所成的角为 2 若直线ab cd 则直线ab与mn所成的角为 所以 mpn 或其补角 为ab与cd所成的角 则 mpn 60 或 mpn 120 若 mpn 60 因为pm ab 所以 pmn 或其补角 是ab与mn所成的角 又因为ab cd 所以pm pn 则 pmn是等边三角形 所以 pmn 60 即ab与mn所成的角为60 若 mpn 120 则易知 pmn是等腰三角形 所以 pmn 30 即ab与mn所成的角为30 综上直线ab和mn所成的角为60 或30 法二由ab cd 可以把该三棱锥放在长方体aa1bb1 c1cd1d中进行考虑 如图 由m n分别是bc ad的中点 所以mn aa1 即 baa1 或其补角 为ab与mn所成的角 连接a1b1交ab于o 所以a1b1 cd 即 aoa1 或其补角 为ab与cd所成的角 所以 aoa1 60 或120 由矩形aa1bb1的性质可得 baa1 60 或30 所以直线ab和mn所成的角为60 或30 由于ab cd 所以 mpn 90 又ab cd 所以pm pn 从而 pmn 45 即ab与mn所成的角为45 答案 1 60 或30 2 45 思想方法 1 主要题型的解题方法 1 要证明 线共面 或 点共面 可先由部分直线或点确定一个平面 再证其余直线或点也在这个平面内 即 纳入法 2 要证明 点共线 可将线看作两个平面的交线 只要证明这些点都是这两个平面的公共点 根据公理3可知这些点在交线上或选择某两点确定一条直线 然后证明其他点都在这条直线上 2 判定空间两条直线是异面直线的方法 1 判定定理 平面外一点a与平面内一点b的连线和平面内不经过该点b的直线是异面直线 2 反证法 证明两线不可能平行 相交或证明两线不可能共面 从而可得两线异面 3 求两条异面直线所成角的大小 一般方法是通过平行移动