高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点突破+瞭望高考）第八章第8课时 立体几何中的向量方法课件.ppt

第8课时立体几何中的向量方法 基础梳理1 平面的法向量 1 所谓平面的法向量 就是指所在的直线与 的向量 显然一个平面的法向量有 多个 它们是 向量 平面垂直 无数 共线 2 在空间中 给定一个点a和一个向量a 那么以向量a为法向量且经过点a的平面是 的 2 利用向量求空间角 1 求两条异面直线所成的角设a b分别是两异面直线l1 l2的方向向量 则 唯一 2 求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a 平面 的法向量为n 直线l与平面 所成的角为 则sin cos a n 设n1 n2分别是二面角 l 的两个面 的法向量 则向量n1与n2的夹角或其补角的大小就是二面角的平面角的大小 如图 课前热身1 若直线l1 l2的方向向量分别为a 2 4 4 b 6 9 6 则 a l1 l2b l1 l2c l1与l2相交但不垂直d 以上均不正确答案 b 2 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成的二面角的大小为 a 45 b 135 c 45 或135 d 90 答案 c 答案 c 4 已知直线l的方向向量为v 平面 的法向量是 且v 0 则l与 的位置关系是 答案 l 或l 5 已知正方体abcd a1b1c1d1中平面ab1d1与平面a1bd所成的角为 0 90 则cos 如图 已知正方体abcd a1b1c1d1的棱长为2 点e是正方形bcc1b1的中心 点f g分别是棱c1d1 aa1的中点 设点e1 g1分别是点e g在平面dcc1d1内的正投影 1 证明 直线fg1 平面fee1 2 求异面直线e1g1与ea所成角的正弦值 名师点评 求异面直线所成角可通过平移构建平面角 然后通过解三角形来完成 由于平移的目的在于将角放置于一可解三角形中求解 所以出现了像中位线法 平行四边形法 补形法等 在解此类题目时 要注意积累和总结 必要时可采用一题多解 多中选优的手段以形成几类通法 有能力的同学可以用多种方法求解 互动探究在本例中 题目条件不变 求异面直线ae与cg所成角的余弦值 在利用空间向量求线面角时 应首先求出直线的方向向量与平面的法向量的夹角 再通过互余关系来得到相应的线面角的 但也要注意 若平面法向量与直线方向向量的夹角为 可为锐角或直角或钝角 则直线与平面所成的角 应满足sin cos 2010 高考课标全国卷 如图 已知四棱锥p abcd的底面为等腰梯形 ab cd ac bd 垂足为h ph是四棱锥的高 e为ad中点 1 证明 pe bc 2 若 apb adb 60 求直线pa与平面peh所成角的正弦值 思路分析 分别以ac bd ph所在直线为x y z轴建立空间坐标系求解 解 以h为原点 ha hb hp所在直线分别为x y z轴 线段ha的长为单位长度 建立空间直角坐标系 如图 则a 1 0 0 b 0 1 0 误区警示 在求直线和平面所成的角时 误认为直线的方向向量和平面的法向量的夹角就是直线和平面所成角 其错误原因一是概念不清 二是做题不认真 利用空间向量方法求二面角 可以有两种办法 一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小 二是通过平面的法向量来求 2010 高考湖北卷 如图 在四面体aboc中 oc oa oc ob aob 120 且oa ob oc 1 名师点评 利用向量法求二面角的步骤 1 利用图形性质建立坐标系 2 求两半平面的法向量 3 求法向量的夹角 4 结合图形转化二面角 1 空间中两点间的距离两点间的距离就是以这两点为端点的向量的模 因此 要求两点间的距离除了使用距离公式外 还可转化为向量的模去计算 如图 平面pad 平面abcd abcd为正方形 pad 90 且pa ad 2 e f g分别是线段pa pd cd的中点 1 求证 pb 平面efg 2 求异面直线eg与bd所成角的余弦值 思路分析 由题意可推得ab ad ap两两垂直 故可以a为原点建立空间直角坐标系解决问题 解 平面pad 平面abcd 而 pad 90 pa 平面abcd 而abcd是正方形 即ab ad 故可建立如图所示的空间直角坐标系 则a 0 0 0 b 2 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 e 0 0 1 f 0 1 1 g 1 2 0 2 空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题 它无需进行复杂繁难的作图 论证 推理 只需通过坐标运算进行判断 在解题过程中 往往把 是否存在 问题 转化为 点的坐标是否有解 是否有规定范围的解 等 所以使问题的解决更简单 有效 应善于运用这一方法解题 方法技巧1 用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路 一种是用向量表示几何量 利用向量的运算进行判断 另一种是用向量的坐标表示几何量 共分三步 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量 或坐标 表示问题中所涉及的点 线 面 把立体几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 研究点 线 面之间的位置关系 3 根据运算结果的几何意义来解释相关问题 2 空间向量在求空间角中的价值体现 1 求两异面直线a b的夹角 须求出它们的方向向量a b的夹角 即cos cos a b 2 求直线l与平面 所成的角 可先求出平面 的法向量n与直线l的方向向量a的夹角 则sin cos n a 3 求二面角 l 的大小 可先求出两个平面的法向量n1 n2所成的角 则 n1 n2 或 n1 n2 3 求点到平面的距离 若用向量知识 则离不开以该点为端点的平面的斜线段 失误防范1 用向量知识证明立体几何问题 仍然离不开立体几何中的定理 如要证明线面平行 只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行 即化归为证明线线平行 用向量方法证直线a b 只需证明它们的方向向量满足a b r 即可 若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行 仍需强调直线在平面外 2 利用向量求角 一定要注意将向量夹角转化为各空间角 因为向量夹角与各空间角的定义 范围不同 命题预测从近几年的高考试题来看 利用空间向量证明平行与垂直 以及求空间角是高考的热点 题型主要为解答题 难度属于中等偏高 主要考查向量的坐标运算 以及向量的平行与垂直的充要条件 如何用向量法解决空间角问题等 同时注重考查学生的空间想象能力 运算能力 预测2013年福建高考仍将以用向量证明平行与垂直 以及利用向量求空间角为主要考点 重点考查向量的数量积及学生的空间想象能力 运算能力等 规范解答 1 求证 平面pab 平面pad 2 设ab ap 若直线pb与平面pcd所成的角为30 求线段ab的长 在线段ad上是否存在一个点g 使得点g到点p b c d的距离都相等 说明理由 解 1 证明 因为pa 平面abcd ab 平面abcd 所以pa ab 又ab ad pa ad a 所以ab 平面pad 又ab 平面pab 所以平面pab 平面pad 6分 2 以a为坐标原点 建立空间直角坐标系a xyz 如图 在平面abcd内 作ce ab交ad于点e 则ce ad 由于方程 没有实数根 所以在线段ad上不存在