2008高考数学专题复习_解析几何题型与方法(文科).doc

高考数学专题复习 解析几何题型与方法（文科）一、 考点回顾1直线(1).直线的倾斜角和斜率(2) .直线的方程a.点斜式：； b.截距式：；c.两点式：； d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.(3).两直线的位置关系两条直线，有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交. (4).简单的线性规划存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x、y的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.都有一个目标要求，就是要求依赖于x、y的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x、y的一次解析式，就称为线性目标函数.求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.2. 圆(1).圆的定义(2).圆的方程a.圆的标准方程，b.圆的一般方程， c.圆的参数方程(3).直线与圆3.圆锥曲线(1).椭圆的性质 (2)双曲线的性质 (3).抛物线中的常用结论过抛物线y22px的焦点F的弦AB长的最小值为2p设A(x1，y)， 1B(x2，y2)是抛物线y22px上的两点， 则AB过F的充要条件是y1y2p2设A， B是抛物线y22px上的两点，O为原点， 则OAOB的充要条件是直线AB恒过定点(2p，0)(4).圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，当0e1时，是椭圆，当e1时，是双曲线，当e1时，是抛物线4. 直线与圆锥曲线的位置关系：（在这里我们把圆包括进来）(1).首先会判断直线与圆锥曲线是相交、相切、还是相离的 a.直线与圆：一般用点到直线的距离跟圆的半径相比(几何法)，也可以利用方程实根的个数来判断(解析法).b.直线与椭圆、双曲线、抛物线一般联立方程，判断相交、相切、相离c.直线与双曲线、抛物线有自己的特殊性(2).a.求弦所在的直线方程b.根据其它条件求圆锥曲线方程(3).已知一点A坐标，一直线与圆锥曲线交于两点P、Q，且中点为A，求P、Q所在的直线方程(4).已知一直线方程，某圆锥曲线上存在两点关于直线对称，求某个值的取值范围（或者是圆锥曲线上否存在两点关于直线对称）5.二次曲线在高考中的应用二次曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点。通过以二次曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强。本文关注近年部分省的高考二次曲线问题，给予较深入的剖析，这对形成高三复习的新的教学理念将有着积极的促进作用。(1).重视二次曲线的标准方程和几何性质与平面向量的巧妙结合。(2).重视二次曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。(3).重视二次曲线性质与数列的有机结合。(4).重视解析几何与立体几何的有机结合。二、 经典例题剖析考点一 曲线（轨迹）方程的求法常见的求轨迹方程的方法：（1）单动点的轨迹问题直接法（五步曲） 待定系数法（定义法）；（2）双动点的轨迹问题代入法；（3）多动点的轨迹问题参数法 交轨法。例题1. 已知M：轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.解析：（1）两点确定一条直线；（2）利用平面几何知识，找出关系。答案：（1）由，可得由射影定理，得 在RtMOQ中， ， 故， 所以直线AB方程是（2）连接MB，MQ，设由点M，P，Q在一直线上，得由射影定理得即1（*）把（*）及（*）消去a，并注意到，可得点评：合理应用平面几何知识，这是快速解答本题的关键所在。例题2. （湖北省十一校）在直角坐标平面中，ABC的两个顶点为 A（0，1），B（0， 1）平面内两点G、M同时满足： ， （1）求顶点C的轨迹E的方程（2）设P、Q、R、N都在曲线E上 ，定点F的坐标为（， 0） ，已知 ， 且 0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.分析：本例（1）要熟悉用向量的方式表达点特征；（2）要把握好直线与椭圆的位置关系，弦长公式，灵活的运算技巧是解决好本题的关键。解：（1）设C ( x ， y )， ，由知，G为 ABC的重心 ， G(，) 由知M是ABC的外心，M在x轴上 由知M（，0），由 得 化简整理得：（x0）。 （2）F（，0 ）恰为的右焦点 设PQ的斜率为k0且k，则直线PQ的方程为y k ( x )由设P(x1 ， y1) ，Q (x2 ，y2 ) 则x1 x2 ， x1x2 则| PQ | RNPQ，把k换成得 | RN | S | PQ | | RN | ) 2 ， 16 S 0，y0），.若PF2F1为直角，则P（），这时PF1，PF2，这时.若PF2F1为直角，则由，解得：.于是PF14，PF22，这时.点评：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功；在解法2中设出了P点坐标的前提下，还可利用PF1aex，PF2aex来求解.例题4（2006年湖北省高考题）设分别为椭圆的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且为它的右准线 （）、求椭圆的方程；（）、设为右准线上不同于点（4，0）的任意一点， 若直线分别与椭圆相交于异于的点，证明：点在以为直径的圆内 分析：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解：（）依题意得 a2c，4，解得a2，c1，从而b 故椭圆的方程为 （）解法1：由（）得A（2，0），B（2，0） 设M（x0，y0） M点在椭圆上，y0（4x02） 又点M异于顶点A、B，2x00，0，则MBP为锐角，从而MBN为钝角，故点B在以MN为直径的圆内 解法2：由（）得A（2，0），B（2，0） 设M（x1，y1），N（x2，y2），则2x12，2x23 （i） ， 故得对任意的 恒成立， 当m 1时，MPMQ. 当直线l的斜率不存在时，由知结论也成立， 综上，当m 1时，MPMQ. （ii）是双曲线的右准线， 由双曲线定义得：， 方法一： ， 注意到直线的斜率不存在时， 综上， 方法二：设直线PQ的倾斜角为，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点， ，过Q作QCPA，垂足为C，则 由 故： 点评：本题考查了双曲线的第二定义，垂直关系，韦达定理和求参数的范围（2）。圆锥曲线的标准方程和几何性质与导数的有机联系。例题9已知 （1）求点的轨迹C的方程； （2）若直线与曲线C交于A、B两点，并且A、B在y轴的同一侧，求实数k的取值范围. （3）设曲线C与x轴的交点为M，若直线与曲线C交于A、B两点，是否存在实数k，使得以AB为直径的圆恰好过点M？若有，求出k的值；若没有，写出理由.解：（1）由 又，故所求的轨迹方程是 （2）设、，把，得 A、B在y轴的同一侧，得到 综上，得. （3）由（2）得 曲线C与x轴交点、，若存在实数k，符合题意，则不妨取点将式代入上式，整理得到，解得舍去）根据曲线的对称性，知存在实数，使得以AB为直径的圆恰好过M点点评：本题是向量，轨迹，直线与圆锥曲线的位置关系的有机结合。考点六 求范围例题10设直线过点P（0，3），和椭圆顺次交于A、B两点，试求的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：，但从此后却一筹莫展， 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.解：当直线垂直于x轴时，可求得;当与x轴不垂直时，设，直线的方程为：，代入椭圆方程，消去得解之得 因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑的情形.当时，所以 .由 ， 解得 ，所以 ，综上 .点评：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.例题11已知动点与双曲线的两个焦点、的距离之和为定值，且的最小值为（）求动点的轨迹方程； （）若已知，、在动点的轨迹上且，求实数的取值范围分析：为了求参数的取值范围，只要列出关于参数的不等式，而建立不等式的方法有多种方法，诸如：判别式法、均值不等式法、有界性法等等解：()由题意设（），由余弦定理， 得 又， 当且仅当时， 取最大值，此时取最小值，令，解得，故所求的轨迹方程为. （）设，则由，可得，故. 、在动点的轨迹上，且，消去可得，解得，又，解得，故实数的取值范围是点评：新教材的高考已经进行了年，而解析几何解答试题和向量综合呈现了新高考的崭新亮点，体现了向量知识的工具性和广泛的应用性三、 方法总结与高考预测（一）方法总结1求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a，b，p等.要充分认识椭圆中参数a，b，c，e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关. 2涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.3直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.4对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等.5与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.（二）高考预测1求曲线（轨迹）方程的常用方法（直译法、定义法、待定系数法、动点转移法、参数法等）。2掌握综合运用直线的