高考数学一轮复习 4.3 平面向量的数量积课件 文 新人教A版.ppt

第三节平面向量的数量积 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 向量的夹角 aob 0 180 a b 90 2 平面向量的数量积 a b cos a cos b cos b cos 3 数量积的性质 设a b都是非零向量 e是单位向量 为a与b 或e 的夹角 则 e a a e cos a b a cos a b 4 数量积的运算律 交换律 a b b a 数乘结合律 a b 分配律 a b c a b a b a b a c 5 平面向量数量积的坐标表示 设向量a x1 y1 b x2 y2 向量a与b的夹角为 则 x1x2 y1y2 x1x2 y1y2 0 2 必备结论教材提炼记一记 1 a与b为两非零向量 则a b 2 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a 或者 a 0 a a b 0 a 2 0 3 平面向量数量积运算的常用公式 a b a b a2 b2 a b 2 a2 2a b b2 a b 2 a2 2a b b2 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 基底法 坐标法 2 常用思想 方程思想 数形结合思想 转化与化归思想 3 记忆口诀 乘积结果为数量 坐标运算是良方 横纵坐标分别乘 相加求和积充当 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 一个向量在另一个向量方向上的投影为数量 且有正有负 2 若a b 0 则必有a b 3 两个向量的数量积是一个实数 向量的加 减 数乘运算的运算结果是向量 4 若a b 0 则向量a b的夹角为钝角 解析 1 正确 由向量投影的定义可知 当两向量夹角为锐角时结果为正 为钝角时结果为负 2 错误 当a与b至少有一个为0时得不到a b 3 正确 由数量积与向量线性运算的意义可知 正确 4 错误 当a b a b 时 a与b的夹角为 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 必修4p104例1改编 已知 a 2 b 4 a b 4 则a与b的夹角 解析 因为a b a b cos 所以cos 又因为0 180 故 30 答案 30 2 必修4p105例4改编 已知a 1 2 b 3 4 若a kb与a kb互相垂直 则实数k 解析 由已知a 1 2 b 3 4 若互相垂直 则 a kb a kb 0 即a2 k2b2 0 即5 25k2 0 即k2 所以k 答案 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 新课标全国卷 设向量a b满足 a b a b 则a b a 1b 2c 3d 5 解题提示 将 a b a b 两边平方 联立方程求解a b 解析 选a 因为 a b a b 所以a2 b2 2a b 10 a2 b2 2a b 6 联立方程解得a b 1 故选a 2 2014 四川高考 平面向量a 1 2 b 4 2 c ma b m r 且c与a的夹角等于c与b的夹角 则m 解题提示 先求出c的坐标 再代入向量夹角公式 解方程即可求出m的值 解析 由于a 1 2 b 4 2 所以c ma b m 4 2m 2 又由于c与a的夹角等于c与b的夹角 即cos cos 也就是即得解得m 2 答案 2 3 2015 青岛模拟 已知 a 2 向量a与b的夹角是 则a在b上的投影是 解析 a在b上的投影是 a cos 答案 考点1平面向量数量积的运算 典例1 1 2015 湛江模拟 已知等边三角形abc的边长为1 设 a b c 则a b b c c a 2 2015 大庆模拟 已知正方形abcd的边长为1 点e是ab边上的动点 则的值为 的最大值为 解题提示 1 利用数量积的定义求解 要注意夹角的大小 2 结合已知条件建系 利用坐标求解 规范解答 1 如图 得a与b b与c c与a的夹角都是120 又 a b c 1 所以原式 1 1 cos120 1 1 cos120 1 1 cos120 答案 2 如图所示 以ab ad所在的直线分别为x y轴建立直角坐标系 设e t 0 0 t 1 则d 0 1 b 1 0 c 1 1 t 1 0 1 所以 1 又因为 1 0 所以 t 1 答案 11 一题多解 解答本题 你知道还有几种解法 方法一 选取 作为基底 设0 t 1 则 0 1 1 t 1 答案 11 方法二 利用几何意义可知 1 设则 t 1 答案 11 易错警示 解答本例题 1 易出现如下错误在解题过程中 只看到 abc是等边三角形 就误认为a与b b与c a与c的夹角均为60 从而错解 互动探究 本例 2 中 当e是ab的中点时 试求上的投影 解析 方法一 如图 过点e作ef dc 垂足为f 由投影的定义知 上的投影是 方法二 如图 向量的夹角是 edc 所以上的投影是 cos edc 规律方法 向量数量积的两种计算方法 1 当已知向量的模和夹角 时 可利用定义法求解 即a b a b cos 2 当已知向量的坐标时 可利用坐标法求解 即若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 变式训练 已知a 1 2 2a b 3 1 则a b a 2b 3c 4d 5 解析 选d 由已知得a 2a b 2a2 a b 2 a 2 a b 2 5 a b 3 2 故a b 10 5 5 加固训练 1 2013 新课标全国卷 已知两个单位向量a b的夹角为60 c ta 1 t b 若b c 0 则t 解析 由c ta 1 t b得 b c ta b 1 t b2 0 整理得t a b cos60 1 t b 2 0 化简得t 1 t 0 所以t 2 答案 2 2 2013 新课标全国卷 已知正方形abcd的边长为2 e为cd的中点 则 解析 以a为原点 以ab ad为x y轴建系 则a 0 0 b 2 0 d 0 2 e 1 2 故 1 2 2 2 故 1 2 2 2 2 答案 2 考点2平面向量的垂直与夹角问题 典例2 1 2014 山东高考 已知向量a 1 b 3 m 若向量a b的夹角为 则实数m 本题源于教材必修4p107例6 a 2b c 0d 2 已知向量与的夹角为120 且 3 2 若ap 且试求实数 的值 解题提示 1 由向量数量积的定义和坐标运算列出关于m的方程求解 2 利用作基底 利用已知垂直关系得到的方程求解 规范解答 1 选b a b 3 m a b a b cos 所以所以m 2 因为所以 0 即 故 1 3 2 4 9 0 解得 规律方法 平面向量数量积的两个应用 1 求夹角大小 若a b为非零向量 则由平面向量的数量积公式得cos 夹角公式 所以平面向量的数量积可以用来解决有关角度的问题 2 确定夹角的范围 数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角 数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角 数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角 变式训练 若 a 2 b 4且 a b a 则a与b的夹角是 解析 选a 根据题意 由于 a 2 b 4且 a b a 则有 a b a 0 a2 b a 0 4 b a 0 所以b a 4 那么可知a与b的夹角的余弦值为则a与b的夹角是 加固训练 1 2013 安徽高考 若非零向量a b满足 a 3 b a 2b 则a与b夹角的余弦值为 解析 由 a a 2b 设a与b的夹角为 等式两边平方得a2 4a b 4b2 a2 a b b2 所以cos 答案 2 设向量a x 1 1 b x 1 3 若a a b 则x 解析 由题知a b x 1 x 1 1 3 2x 2 2 又因为a a b 所以a a b 0 所以 x 1 2x 2 1 2 0 即x2 2x 0 所以x 0或x 2 答案 0或2 考点3平面向量数量积的应用知 考情利用平面向量数量积求模及范围 求参数的范围或值 是高考考查数量积的一个重要考向 常与三角 平面几何 解析几何等知识相联系 以选择题 填空题为主 是中低档题 明 角度命题角度1 根据向量数量积求模或模的范围 典例3 2014 湖南高考 在平面直角坐标系中 o为原点 a 1 0 b 0 c 3 0 动点d满足 1 则 的取值范围是 a 4 6 b c d 解题提示 把拆分为 再利用 a b a b a b 求解 规范解答 选d 命题角度2 利用平面向量数量积求参数的值 典例4 2014 天津高考 已知菱形abcd的边长为2 bad 120 点e f分别在边bc dc上 bc 3be dc df 若则 的值为 规范解答 如图 所以解得 2 答案 2 悟 技法根据数量积求模或参数的值 范围 的一般思路 1 利用数量积求模 通常利用已知找准基底或坐标 利用基底或坐标运算 有时需用化归思想 转化为其他问题求解 2 利用数量积求参数的值 范围 通常有两种运算法 一是基底法 二是坐标法 找准解题目标 利用已知条件列出方程或方程组求解即可 通 一类1 2015 六盘水模拟 已知平面向量a b满足 a 3 b 2 a与b的夹角为120 若 a mb a 则实数m的值为 a 1b c 2d 3 解析 选d 由题意得 a mb a a2 ma b 32 m 3 2 cos120 9 3m 0 解得m 3 2 2013 湖南高考 已知a b是单位向量 a b 0 若向量c满足 c a b 1 则 c 的最大值为 解析 方法一 选c 条件 c a b 1可以理解成如图的情况而 a b 向量c的终点在单位圆上 故 c 的最大值为 1 方法二 选c 由题意 得 a b 1 a b 0 所以 a b 因为 c a b 1 所以 c a b 2 c2 2c a b a b 2 1 设c与a b的夹角为 则 c 2 2 c cos 2 1 即 c 2 1 2 c cos 2 c c 2 2 c 1 0 解得 1 c 1 故 c 的最大值为 1 3 2013 浙江高考 设e1 e2为单位向量 非零向量b xe1 ye2 x y r 若e1 e2的夹角为 则的最大值等于 解析 当x 0时 0 当x 0时 令 t 则 4 所以的最大值为2 答案 2 创新体验4平面向量数量积中的创新问题 创新点拨 1 以向量为载体的创新问题是近几年高考命题的一个热点 此类问题通常以数量积运算为核心 通过数形结合 转化化归等途径 解决与几何有关的问题 或以向量自身为背景 解决有关模 夹角等问题 2 命题形式常见有新法则 新定义 新背景 新性质 新运算等 新题快递 1 2014 安徽高考 设a b为非零向量 b 2 a 两组向量x1 x2 x3 x4和y1 y2 y3 y4均由2个a和2个b排列而成 若x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4所有可能取值中的最小值为4 a 2 则a与b的夹角为 解题提示 对x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4的可能结果进行讨论 根据各选项分别判断 解析 选b 设a b夹角为 x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4有以下3种可能 1 2a2 2b2 2 a 2 2 b 2 10 a 2 2 4a b 4 a 2 a cos 8 a 2cos 3 a 2 2a b b 2 5 a 2 2 a b cos 易知 2 最小 则8 a 2cos 4 a 2 解得cos 2 2015 泉州模拟 对任意两个非零向量定义若平面向量a b满足 a b 0 a与b的夹角 0 且都在集合 n z 中 则 解析 选c 根据题中的向量的新运算及向量的数量积 可知因为 0 所以 cos 1 又因为 a b 0 所以0 1 所以0 cos 1 即 0 1 又 所以 由 得 cos2 1 所以 1 所以1 2 所以 3 2015 潍坊模拟 定义平面向量之间的一种运算 如下 对任意的a m n b p q 令a b mq np 下面说法错误的是 a 若a与b共线 则a b 0b a b b ac 对任意的 r 有 a b a b d a b 2 a b 2 a2b2 解析 选b 对于a 由a与b共线 得mq np 0 即a b 0 故a正确 对于b 由新定义知 a b mq np 而b a