高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2 空间向量的运算(二) 课件 北师大版选修21.ppt

第二章空间向量与立体几何 2空间向量的运算 二 1 掌握空间向量夹角的概念及表示方法 掌握两个向量的数量积的概念 性质和计算方法及运算规律 2 掌握两个向量的数量积的主要用途 会用它解决立体几何中一些简单的问题 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一空间向量的夹角 答案 a b 0 答案 知识点二空间向量的数量积 1 定义已知两个非零向量a b 则叫做a b的数量积 记作 2 数量积的运算律 a b a b cos a b 返回 3 数量积的性质 题型探究重点突破 题型一空间向量的数量积运算例1如图所示 已知空间四边形abcd的每条边和对角线长都等于1 点e f分别是ab ad的中点 计算 解析答案 解析答案 解析答案 反思与感悟由向量数量积的定义知 要求a与b的数量积 需已知 a b 和 a b a与b的夹角与方向有关 一定要根据方向正确判定夹角的大小 才能使a b计算准确 反思与感悟 解析答案 跟踪训练1已知空间向量a b c满足a b c 0 a 3 b 1 c 4 则a b b c c a的值为 解析 a b c 0 a b c 2 0 a2 b2 c2 2 a b b c c a 0 13 解析答案 题型二利用数量积求夹角例2如图 在空间四边形oabc中 oa 8 ab 6 ac 4 bc 5 oac 45 oab 60 求oa与bc所成角的余弦值 反思与感悟 反思与感悟 反思与感悟 利用向量的数量积 求异面直线所成的角的方法 1 根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量 2 将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题 3 利用向量的数量积求角的大小 4 证明两向量垂直可转化为数量积为零 解析答案 跟踪训练2如图所示 正四面体abcd的每条棱长都等于a 点m n分别是ab cd的中点 求证 mn ab mn cd 解析答案 题型三利用数量积求距离例3正三棱柱 底面是正三角形的直三棱柱 abca1b1c1的各棱长都为2 e f分别是ab a1c1的中点 求ef的长 反思与感悟 且 a b 60 a c b c 90 利用向量的数量积求两点间的距离 可以转化为求向量的模的问题 其基本思路是先选择以两点为端点的向量 将此向量表示为几个已知向量的和的形式 求出这几个已知向量两两之间的夹角以及它们的模 利用公式 a 求解即可 反思与感悟 解析答案 返回 跟踪训练3如图 已知一个60 的二面角的棱上有两点a b ac bd分别是在这两个面内且垂直于ab的线段 又知ab 4 ac 6 bd 8 求cd的长 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 若a b均为非零向量 则a b a b 是a与b共线的 a 充分非必要条件b 必要非充分条件c 充要条件d 既非充分也非必要条件解析a b a b cos a b a b cos a b 1 a b 0 当a与b反向时 不能成立 a 1 2 3 4 5 解析答案 2 已知a b均为单位向量 它们的夹角为60 那么 a 3b 等于 a 解析 a 3b 2 a 3b 2 a2 6a b 9b2 1 2 3 4 5 解析答案 3 对于向量a b c和实数 下列命题中的真命题是 a 若a b 0 则a 0或b 0b 若 a 0 则 0或a 0c 若a2 b2 则a b或a bd 若a b a c 则b c解析对于a 可举反例 当a b时 a b 0 对于c a2 b2 只能推得 a b 而不能推出a b 对于d a b a c可以移项整理得a b c 0 b 解析答案 1 2 3 4 5 a 1b 2c 3d 5解析 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 10 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 6 将上面两式左 右两边分别相减 得4a b 4 a b 1 a 1 2 3 4 5 解析答案 5 若向量a b满足 a 1 a b a 2a b b 则 b 等于 将 2 得 2a2 b2 0 b2 b 2 2a2 2 a 2 2 b 课堂小结 求空间向量的数量积要找到