专题圆锥曲线.doc

戴氏教育集团 开阳校区 戴氏中考高考 高中数学专用讲义 主讲：胡老师专题圆锥曲线1 基础知识第一部分 椭圆1. 椭圆方程的第一定义：2.椭圆方程.椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x轴上：.ii. 中心在原点，焦点在轴上：. 一般方程：.椭圆的标准参数方程：的参数方程为（一象限应是属于）.3.性质：顶点：或.轴：对称轴：x轴，轴；长轴长，短轴长. 焦点：或.焦距：.准线：或.离心率：.焦点半径：i. 设为椭圆上的一点，为左、右焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设为椭圆上的一点，为上、下焦点，则由椭圆方程的第二定义可以推出.通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通径. ；坐标：，和4.直线与椭圆位置关系-抓住代数与几何图形的紧密联系将直线方程与椭圆方程联立的方程组解的个数即为交点个数。故用判别式法判别相交等价于（2个交点）相切等价于（一个交点）相离等价于（无交点）5.共离心率的椭圆系的方程：椭圆的离心率是，方程是大于0的参数，的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.6.共焦点的椭圆系的方程：或6.若P是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.第二部分双曲线方程.1. 双曲线的第一定义：2. 双曲线方程双曲线标准方程：焦点在x轴上：. 焦点在轴上一般方程： .参数方程：焦点在x轴上 焦点在轴上 .3.性质i. 焦点在x轴上： 顶点： 焦点： 准线方程 渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：.焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. 离心率. 准线距（两准线的距离）；通径. 参数关系. 焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点） “长加短减”原则： 构成满足 （与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号） , 4.等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.5.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.6.共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为;如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.7. 共焦点的双曲线系方程 或 8.过定点的直线与双曲线的位置关系：抓住代数与几何图形的紧密联系；抓直线与渐近线的位置关系区域：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.相交等价于或直线与渐近线平行（1个或2个交点）相切等价于（一个交点）相离等价于（无交点）过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.2）若直线与双曲线一支有交点，交点为2个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.第三部分抛物线一、基础知识：图形焦点准线范围对称轴轴轴顶点（0，0）离心率焦半径焦点弦通径：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 通径：2.抛物线的参数方程：（t为参数）3.直线与抛物线的位置关系相交等价于或直线与对称轴平行（1个或2个交点）相切等价于（一个交点）相离等价于（无交点）4.过抛物线（）焦点的直线AB，设，弦AB所在直线的倾斜角为，则有下列性质：；， 以为直径的圆与准线相切F对A、B在准线上的射影点所形成的张角为 第四部分直线与圆锥曲线的位置关系 直线有圆锥曲线的位置关系问题是解析几何中的一类重要问题，它是我们解决解析几何其他问题的基础。我们必须熟悉直线与三种圆锥曲线的位置关系，熟练掌握直线和圆锥曲线相交所所产生的有关弦长、弦的中点以及垂直等基本问题的基本解法。特别要重视判别式的作用，力争准确地解决问题。在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线，通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“ 点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.一、几种常见的题型:直线与圆锥曲线的位置关系判断：从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点。从代数方法即解方程组角度。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的直线与曲线的交点问题弦的中点问题：中点坐标公式（点差法）-注意应用判别式。（点差法）焦点弦问题：弦长问题：|AB|=。 |AB|=焦点三角形问题（正弦定理、余弦定理、定比分点坐标公式、重要不等式、圆锥曲线定义）曲线上存在点关于直线对称的问题最值、范围问题二、常用相关办法代数法（判别式法）（斜率的存在性讨论）； 设而不求法（韦达定理）点差法；三、数学思想方法数形结合思想 转化化归思想 分类讨论思想 分析与综合能力良好的运算能力 逻辑思维能力与逻辑推理能力第五部分轨迹与轨迹方程问题【要求】：掌握常见的轨迹求解方法，了解曲线与方程的概念（纯粹性与完备性）【能力】：能根据所给条件合理选择求轨迹（轨迹方程）的方法 良好的运算能力与转化能力能根据所求得的方程讨论曲线的形状及特征.求曲线方程的一般步骤：建系设点 找关系 列方程 化简 证明（满足定义的纯粹性和完备性）.求轨迹方程的常用方法：定义法直接法待定系数法相关点代换法参数法交轨法点差法（设而不求）几何法.注意之处：求出方程后忽视或的范围（即在最后结果中忘记了挖掉或补上某些条件）确定依据有：已知条件确定 判别式确定 数形结合确定 参数本身的有界性要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念.合理建系；搭建代数和几何的直接桥梁，体现数与形的地位和作用（即点是如何产生的）第六部分圆锥曲线的综合问题知识点圆锥曲线中定点、定值问题、最值、范围问题是圆锥曲线的综合问题，他是解析法的应用，数形结合的数学思想，圆锥曲线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识与三角、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识的横向联系。【常见思维方法及注意点】1. 圆锥曲线中定点、定值问题有两种切入手法： 从特殊点入手，求出定点（定值），在证明它与变量无关 直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点（定值）2. 紧密结合曲线的几何特征，将几何特征化为数量关系（方程、函数等），再结合代数、三角知识解答，要重视函数与方程思想，等价化归思想的应用；3. 对与平面向量综合的问题，常常从向量的坐标关系（定比分点）构建根与系数关系从而建立方程组求解；如：可得即得4. 对于求曲线方程中的范围问题，应想办法构造不等式求解。 应根据题设条件中已知范围； 曲线的几何性质（曲线范围、对称性、位置关系、离心率范围、的大小关系等）及局限性 点在曲线外（内）产生不等式 构造三角形利用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边产生不等式 联立直线与曲线与方程由判别式法产生不等式 放缩法产生不等式； 重要不等式产生不等式5. 对于圆锥曲线中的最值问题，一般应线建立目标函数，然后转化为函数的最之问题6. 存在性、探索性问题（反证法或假设存在验证法）应注意以下几点： 存在性问题，先假设存在，推出满足条件的结论，若结论正确，则存在；否则，不存在； 当条件和结论不唯一时要分类讨论； 当给出结论而要推导出存在的条件时先假设成立，再推出条件； 当条件和结论都不知时，按常规方法解题很难时，思维开放，采用另外途径。7. 用圆锥曲线解实际问题的关键是把实际问题化为数学模型，然后利用圆锥曲线的相关知识求解2 重点点拨求圆锥曲线的方程例2：已知圆C1的方程为，椭圆C2的方程为:，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。解：由设椭圆方程为设 又 两式相减，得 又即将由得解得故所有椭圆方程例3：过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程.解法一：由e=,得,从而a2=2b2,c=b.设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上.则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12x22)+2(y12y22)=0,设AB中点为(x0,y0),则kAB=,又(x0,y0)在直线y=x上，y0=x0,于是=1,kAB=1,设l的方程为y=x+1.右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x,y),，由点(1,1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2,b2=.所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=x+1.解法二：由e=,从而a2=2b2,c=b.设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=.直线l：y=x过AB的中点(),则,解得k=0，或k=1.若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=1，直线l的方程为y=(x1),即y=x+1,以下同解法一.解法3：设椭圆方程为直线不平行于y轴，否则AB中点在x轴上与直线中点矛盾。故可设直线，则，所以所求的椭圆方程为：例4：如图，已知P1OP2的面积为，P为线段P1P2的一个三等分点，求以直线OP1、OP2为渐近线且过点P的离心率为的双曲线方程.:解：以O为原点，P1OP2的角平分线为x轴建立如图所示的直角坐标系.设双曲线方程为=1(a0,b0)由e2=，得.两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=x设点P1(x1, x1),P2(x2,x2)(x10,x20),则由点P分所成的比=2,得P点坐标为(),又点P在双曲线=1上，所以=1，即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2 即x1x2= 又由、得a2=4,b2=9故双曲线方程为=1.例5：过椭圆C：上一动点P引圆O：x2 +y2 =b2的两条切线PA、PB，A、B为切点，直线AB与x轴，y轴分别交于M、N两点。(1) 已知P点坐标为(x0，y0 )并且x0y00，试求直线AB方程；(2) 若椭圆的短轴长为8，并且，求椭圆C的方程；(3) 椭圆C上是否存在点P，由P向圆O所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。:解：(1)设A(x1，y1)，B(x2， y2)切线PA：，PB：P点在切线PA、PB上，直线AB的方程为(2)在直线AB方程中，令y=0，则M(，0)；令x=0，则N(0，) 2b=8 b=4 代入得a2 =25, b2 =16椭圆C方程： （注：不剔除xy0，可不扣分）(3) 假设存在点P(x0，y0)满足PAPB，连接OA、OB由|PA|=|PB|知，四边形PAOB为正方形，|OP|=|OA| 又P点在椭圆C上 由知xab0 a2 b20(1)当a22b20，即ab时，椭圆C上存在点，由P点向圆所引两切线互相垂直；(2)当a22b20，即ba0设x1,x2为方程*的两根，则 故AB中点M的坐标为(，)线段AB的垂直平分线方程为：将D(0，1)坐标代入，化简得：4m=3k21故m、k满足，消去k2得：m24m0解得：m4又4m=3k211 m 故m. 3 当堂检测【求圆锥曲线的方程练习】一、选择题1已知直线x+2y3=0与圆x2+y2+x6y+m=0相交于P、Q两点，O为坐标原点，若OPOQ，则m等于( )A.3B.3C.1D.12中心在原点，焦点在坐标为(0，5)的椭圆被直线3xy2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为( )二、填空题3直线l的方程为y=x+3,在l上任取一点P，若过点P且以双曲线12x24y2=3的焦点作椭圆的焦点，那么具有最短长轴的椭圆方程为_.4已知圆过点P(4，2)、Q(1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，则该圆的方程为_.三、解答题5已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1M2|=，试求椭圆的方程.6某抛物线形拱桥跨度是20米，拱高4米，在建桥时每隔4米需用一支柱支撑，求其中最长的支柱的长. 7已知圆C1的方程为(x2)2+(y1)2=,椭圆C2的方程为=1(ab0)，C2的离心率为，如果C1与C2相交于A、B两点，且线段AB恰为圆C1的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程.【直线与圆锥曲线练习】一、选择题1斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为( )A.2B. C.D. 2抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k0)交于A、B两点，且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是