高考数学总复习 （教材回扣夯实双基+考点突破+瞭望高考）第二章第3课时 函数的单调性与最值课件.ppt

第3课时函数的单调性与最值 基础梳理1 函数的单调性 1 单调函数的定义 f x1 f x2 f x1 f x2 2 单调性 单调区间的定义若函数f x 在区间d上是 或 则称函数f x 在这一区间上具有 严格的 单调性 叫做f x 的单调区间 增函数 减函数 区间d 思考探究1 函数f x 在区间 a b 上单调递增 与函数f x 的单调递增区间为 a b 含义相同吗 提示 不相同 f x 在区间 a b 上单调递增并不能排除f x 在其他区间单调递增 而f x 的单调递增区间为 a b 意味着f x 在其他区间不可能单调递增 2 函数的最值 f x m f x0 m f x m f x0 m 思考探究2 函数的最值与函数值域有何关系 提示 函数的最值与函数的值域是关联的 求出了闭区间上连续函数的值域也就有了函数的最值 但只有了函数的最大 小 值 未必能求出函数的值域 课前热身1 已知函数y f x 是定义在r上的增函数 则f x 0的根 a 有且只有一个b 有2个c 至多有一个d 以上均不对解析 选c 作出符合条件的函数f x 2x f x 2x 1的图象易知 解析 选b 画出4个函数图象 可知 正确 故选b 答案 1 1 答案 34 函数的单调性用以揭示随着自变量的增大 函数值的增大与减小的规律 在定义区间上任取x1 x2 且x1 x2 的条件下 判断并证明f x1 f x2 得出增减性的结论 这一过程就是实施不等式的变换过程 尤其重视这三者 由任二者推第三者的具体应用 思路分析 利用定义进行判断 主要判定f x2 f x1 的正负 名师点评 用定义证明函数单调性的一般步骤 1 取值 即设x1 x2是该区间内的任意两个值 且x1 x2 2 作差 即f x2 f x1 或f x1 f x2 并通过通分 配方 因式分解等方法 向有利于判断差的符号的方向变形 3 定号 根据给定的区间和x2 x1的符号 确定差f x2 f x1 或f x1 f x2 的符号 当符号不确定时 可以进行分类讨论 4 判断 根据定义得出结论 互动探究1 本例条件 x 0 改为 x 0 试判断f x 的单调性 并请画出函数f x 在r上的大致图象 在求函数的单调区间 即判断函数的单调性 时 一般可以应用以下方法 1 图象法 2 作差法 定义法 3 作商法 比值法 4 复合函数法 5 利用导数法等 求下列函数的单调区间 1 y x2 2 x 3 2 y 2 x2 4x 3 思路分析 1 利用图象法 2 利用复合函数法 2 由于t x2 4x 3的单调递增区间是 2 单调递减区间是 2 又底数大于1 所以此函数的单调递增区间是 2 单调递减区间是 2 误区警示 确定函数的单调区间时应注意 1 函数的单调区间是其定义域的子集 因此 讨论函数的单调性 必须先确定函数的定义域 2 对于同增 减 的不连续的单调区间不能写成并集 只能分开写 3 函数的单调区间 往往需要借助函数图象和有关结论 才能求解 函数的最值求法 1 若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数 常用配方法 2 利用函数的单调性求最值 先判断函数在给定区间上的单调性 然后利用函数的单调性求最值 3 基本不等式法 当函数是分式形式且分子 分母不同次时常用此法 4 导数法 当函数较复杂 如指数 对数函数与多项式结合 时 一般采用此法 5 数形结合法 画出函数图象 找出坐标的范围或分析条件的几何意义 在图上找其变化范围 名师点评 1 求一个函数的最值时 应首先考虑函数的定义域 2 函数的最值是函数值域中的一个取值 是自变量x取了某个值时的对应值 故函数取得最值时 一定有相应的x的值 抽象函数通常是指没有给出函数的具体解析式 只给出了其他一些条件 如函数的 定义域 单调性 奇偶性 解析递推式 的函数问题 它的单调性往往是根据定义去判断 利用函数的单调性解题时 容易犯的错误是忽略函数的定义域 定义在r上的函数y f x f 0 0 当x 0时 f x 1 且对任意的a b r 有f a b f a f b 1 求证 f 0 1 2 求证 对任意的x r 恒有f x 0 3 求证 f x 是r上的增函数 4 若f x f 2x x2 1 求x的取值范围 思路分析 抽象函数问题要充分利用 恒成立 进行 赋值 从关键等式和不等式的特点入手 3 证明 设x1 x2 则x2 x1 0 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 x2 x1 0 f x2 x1 1 又f x1 0 f x2 x1 f x1 f x1 f x2 f x1 f x 是r上的增函数 4 由f x f 2x x2 1 f 0 1 得f 3x x2 f 0 又f x 是r上的增函数 3x x2 0 0 x 3 名师点评 解本题的关键是灵活应用题目条件 尤其是 3 中 f x2 f x2 x1 x1 是证明单调性的关键 这里体现了向条件化归的策略 思路分析 欲求参数a的取值范围 应从x 1 f x 0恒成立的具体情况开始 名师点评 这里利用了分离参数的方法 将问题转化为求函数的最值 记住以下常见结论 a f x 恒成立 a f x max 即大于时大于函数f x 值域的上界 a f x 恒成立 a f x min 即小于时小于函数f x 值域的下界 方法技巧1 求函数的单调区间首先应注意函数的定义域 函数的增减区间都是其定义域的子集 其次掌握一次函数 二次函数等基本初等函数的单调区间 常用方法有 根据定义 利用图象和单调函数的性质 还可以利用导数的性质 2 复合函数的单调性对于复合函数y f g x 若t g x 在区间 a b 上是单调函数 且y f t 在区间 g a g b 或者 g b g a 上是单调函数 若t g x 与y f t 的单调性相同 同时为增或为减 则y f g x 为增函数 若t g x 与y f t 的单调性相反 则y f g x 为减函数 简称为 同增异减 失误防范1 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减 单调区间要分开写 即使在两个区间上的单调性相同 也不能用并集表示 命题预测从近几年的高考试题来看 函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点 题型既有选择题 填空题 出现在解答题的难度都属中等偏高 大都为压轴导函数题 客观题 主要考查函数的单调性 最值的灵活确定与简单应用 作为后续导函数的基础部分应充分重视并加以训练 主观题在考查基本概念 重要方法的基础上 又注重考查函数方程 等价转化 数形结合 分类讨论的思想方法 预测2013年福建高考仍将以利用导数求函数的单调区间 研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点 重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力 典例透析 2 若f x 为r上的单调函数 则f x 在r上不变号 结合 与条件a 0 知ax2 2ax 1 0在r上恒成立 因此 4a2 4a 4a a 1 0 由此并结合a 0 知0 a 1 所以a的取值范围为 a 0 a 1 12分 名师点评 本题考查导数