第四章 4.1.1.docx

41.1圆的标准方程学习目标1.掌握圆的定义及标准方程；2.能根据圆心、半径写出圆的标准方程，会用待定系数法求圆的标准方程知识点一圆的标准方程思考1确定一个圆的基本要素是什么？答案圆心和半径思考2在平面直角坐标系中，如图所示，以(1,2)为圆心，以2为半径的圆能否用方程(x1)2(y2)24来表示？答案能1以点(a，b)为圆心，r(r0)为半径的圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2.2以原点为圆心，r为半径的圆的标准方程为x2y2r2.知识点二点与圆的位置关系思考点A(1,1)，B(4,0)，C(，)同圆x2y24的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|同圆的半径r2是什么关系？答案|OA|2，|OC|2.点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2的位置关系及判断方法位置关系利用距离判断利用方程判断点M在圆上|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点M在圆外|CM|r(x0a)2(y0b)2r2点M在圆内|CM|r(x0a)2(y0b)20)，由题意知解得圆的标准方程为(x1)2(y1)24.方法二由几何关系知，圆心在AB的垂直平分线上，AB的中点为(0,0)，AB的斜率k1，则AB的垂直平分线为y0x0.解方程组得圆心坐标为(1,1)，半径r2.则所求圆的标准方程为(x1)2(y1)24.反思与感悟(1)直接法根据已知条件，直接求出圆心坐标和圆的半径，然后写出圆的方程(2)待定系数法根据题意，设出标准方程；根据条件，列关于a，b，r的方程组；解出a，b，r，代入标准方程(3)常见的几何条件与可以转化成的方程圆心在定直线上转化为圆心坐标满足直线方程圆过定点转化为定点坐标满足圆的方程，或圆心到定点的距离等于半径圆与定直线相切转化为圆心到定直线的距离等于圆的半径，或过切点垂直于切线的直线必过圆心弦的垂直平分线经过圆心跟踪训练1求下列圆的标准方程：(1)圆心在y轴上，半径长为5，且过点(3，4)；(2)已知圆和直线x6y100相切于点(4，1)，且经过点(9,6)；(3)圆过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上解(1)设圆心(0，b)，则5，得b0或8，所以圆的标准方程为x2y225或x2(y8)225.(2)因为圆C和直线x6y100相切于点(4，1)，所以过点(4，1)的直径所在直线的斜率为6.其方程为y16(x4)，即y6x23.又因为圆心在以(4，1)，(9,6)两点为端点的线段的中垂线y(x)，即5x7y500上，所以由解得圆心坐标为(3,5)，所以半径为，故所求圆的标准方程为(x3)2(y5)237.(3)线段AB的垂直平分线为y22(x3)，令y0，则x2，圆心坐标为(2,0)，半径r，圆的标准方程为(x2)2y210.类型二点与圆的位置关系例2(1)点P(m2,5)与圆x2y224的位置关系是()A在圆内 B在圆外C在圆上 D不确定(2)已知点M(51，)在圆(x1)2y226的内部，则a的取值范围是_答案(1)B(2)0,1)解析(1)由(m2)252m42524，点P在圆外(2)由题意知(511)2()226，即解得0a4，2a220，即a1，类型三与圆有关的最值问题例3已知实数x，y满足方程(x2)2y23.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值解(1)原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，设k，即ykx，当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时，解得k.故的最大值为，最小值为.(2)设yxb，即yxb，当yxb与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时.即b2.故yx的最大值为2，最小值为2.(3)x2y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2y2)max(2)274，(x2y2)min(2)274.反思与感悟与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如u形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题(2)形如laxby形式的最值问题，可转化为动直线yx截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题跟踪训练3已知x和y满足(x1)2y2，试求：(1)x2y2的最值；(2)xy的最值解(1)由题意知x2y2表示圆上的点到坐标原点距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点的距离取最大值和最小值时，其平方也相应取得最大值和最小值原点(0,0)到圆心(1,0)的距离为d1，故圆上的点到坐标原点的最大距离为1，最小距离为1，因此x2y2的最大值和最小值分别为和.(2)令yxz并将其变形为yxz，问题转化为斜率为1的直线在经过圆上的点时在y轴上的截距的最值当直线和圆相切时在y轴上的截距取得最大值和最小值，此时有，解得z1，即最大值为1，最小值为1.1圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22答案D解析圆的半径r，圆心坐标为(1,1)，所以圆的标准方程为(x1)2(y1)22.2若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是()A1a1 B0a1或a1 Da1答案A解析点(1,1)在圆的内部，(1a)2(1a)24，1a1.3若实数x，y满足(x5)2(y12)2142，则x2y2的最小值是_答案1解析x2y2表示圆上的点(x，y)与(0,0)间距离的平方，由几何意义可知，最小值为141.4圆心在直线x2上的圆C与y轴交于两点A(0，4)，B(0，2)，则圆C的方程为_答案(x2)2(y3)25解析由题意知圆心坐标为(2，3)，半径r.圆C的方程为(x2)2(y3)25.1判断点与圆位置关系的两种方法(1)几何法：主要利用点到圆心的距离与半径比较大小(2)代数法：主要是把点的坐标代入圆的标准方程来判断：点P(x0，y0)在圆C上(x0a)2(y0b)2r2；点P(x0，y0)在圆C内(x0a)2(y0b)2r2.2求圆的标准方程时常用的几何性质求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：(1)弦的垂直平分线必过圆心(2)圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心(3)圆心与切点的连线长是半径长(4)圆心与切点的连线必与切线垂直3求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r.(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径一、选择题1(x1)2(y2)24的圆心与半径分别为()A(1,2)，2 B(1，2)，2C(1,2)，4 D(1，2)，4答案A2已知一圆的圆心为点A(2，3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是()A(x2)2(y3)213B(x2)2(y3)213C(x2)2(y3)252D(x2)2(y3)252答案B解析如图，结合圆的性质可知原点在圆上，圆的半径r.故所求圆的方程为(x2)2(y3)213.3点(，)与圆x2y2的位置关系是()A在圆上 B在圆内C在圆外 D不能确定答案C解析因为()2()21，故点(，)在圆外4若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且与直线x2y0相切，则圆C的方程是()A(x)2y25B(x)2y25C(x5)2y25D(x5)2y25答案D解析设圆心坐标为(a,0)，由题意知，|a|5，圆C位于y轴左侧，a5，圆C的方程为(x5)2y25.5若圆C与圆(x2)2(y1)21关于原点对称，则圆C的方程是()A(x2)2(y1)21B(x2)2(y1)21C(x1)2(y2)21D(x1)2(y2)21答案A解析已知圆的圆心为(2,1)，关于原点的对称点的坐标为(2，1)，圆C的方程为(x2)2(y1)21.6若直线yaxb通过第一、二、四象限，则圆(xa)2(yb)21的圆心位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析(a，b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a0，即a0，b0，再由各象限内点的坐标的性质得解7方程y表示的曲线是()A一个圆 B两条射线C半个圆 D一条射线答案C解析由y两边平方可化为x2y236(y0)，故表示圆x2y236在x轴上面的半圆二、填空题8圆O的方程为(x3)2(y4)225，则点(2,3)到圆上的最大距离为_答案5解析点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离加上半径长5，即为5.9圆(x3)2(y1)21关于直线x2y30对称的圆的方程是_答案221解析设所求圆的方程为(xa)2(yb)21.由题意得解得所求圆的方程为221.10若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是_答案(x2)2(y1)21解析圆心在第一象限，而且与x轴相切，可设圆心坐标为(a,1)，圆心到直线4x3y0的距离为1，1，得a2或a(舍去)，该圆的标准方程为(x2)2(y1)21.11若实数x，y满足x2y21，则的最小值是_答案解析的几何意义是表示两点(x，y)与(1,2)连线的斜率，而点(x，y)在圆x2y21上，由图形可知，过点P(1,2)作圆的切线，由图知PA的斜率不存在，PB的斜率存在，则PB的斜率即为所求设PB的方程为y2k(x1)，得kxyk20，又PB和圆相切，1，得k.的最小值为.三、解答题12已知x，y满足(x1)2y21，求S的最小值解因为S，又点(x，y)在圆(x1)2y21上运动 ，即S表示圆上的动点到定点(