高考数学总复习 第2章 第12节 导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例课件 新人教A版.pptVIP

第十二节导数在研究函数中的应用与生活中的优化问题举例 1 了解函数单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数的单调区间 其中多项式函数一般不超过三次 2 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数一般不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小值 其中多项式函数一般不超过三次 3 会利用导数解决某些实际问题 一 函数的单调性与导数在某个区间内 若f x 0 则函数y f x 在这个区间内 若f x 0 则函数y f x 在这个区间内 单调递增 单调递减 1 f x 0是f x 在 a b 内单调递增的充要条件吗 提示 f x 0 或f x 0 仅是函数f x 在这个区间内为增函数 或减函数 的充分条件而非必要条件 如f x x3在 上为增函数 但f x 3x2 0 既必要性不成立 二 函数的极值与导数1 函数的极小值函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则点a叫做函数y f x 的 f a 叫做函数y f x 的 f x 0 f x 0 极小值点 极小值 2 函数的极大值函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 f b 0 而且在点x b附近的左侧 右侧 则点b叫做函数y f x 的 f b 叫做函数y f x 的 极小值点 极大值点统称为 极大值和极小值统称为 f x 0 f x 0 极大值点 极大值 极值点 极值 三 函数的最值与导数在闭区间 a b 上连续 在 a b 内可导 函数y f x 在 a b 上求最大值与最小值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2 极值点一定是最值点这句话对吗 提示 函数的极值表示函数在一点附近的情况 是在局部对函数值的比较 函数的最值是表示函数在一个区间上的情况 是对函数在整个区间上的函数值的比较 函数的极值不一定是最值 最值点也不一定是极值点 四 生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大 用料最省 效率最高等问题 这些问题通常称为 导数在这一类问题中有着重要的应用 它是求函数最大 小 值的强有力的工具 优化问题 答案 b 答案 d 3 函数y f x 的导函数y f x 在区间 a b 内的图象如图 则函数y f x 在区间 a b 内极大值的个数为 a 1b 2c 3d 4答案 b 答案 3 5 已知函数f x x3 12x 8在区间 3 3 上的最大值与最小值分别为m m 则m m 解析 由题意得f x 3x2 12 令f x 0得x 2 且f 3 17 f 2 24 f 2 8 f 3 1 所以m 24 m 8 m m 32 答案 32 1 导数法求函数单调区间的一般流程 2 导数法证明函数f x 在 a b 内的单调性的步骤 1 求f x 2 确认f x 在 a b 内的符号 3 作出结论 f x 0时为增函数 f x 0时为减函数 3 在 a b 内可导的函数f x 在 a b 上递增 或递减 的充要条件应是当x a b 时f x 0 或f x 0 恒成立 且f x 在 a b 的任意子区间内都不恒等于0 这一结论在由f x 在区间d上递增 或递减 求参数的范围时 可大胆使用 已知f x ex ax 1 1 求f x 的单调增区间 2 若f x 在定义域r内单调递增 求a的取值范围 3 是否存在a 使f x 在 0 上单调递减 在 0 上单调递增 若存在 求出a的值 若不存在 说明理由 思路点拨 1 由f x 0求得单调区间 注意对a的讨论 2 f x 0在r上恒成立求出a的取值范围 3 由f x 0在 0 上恒成立 同时f x 0在 0 上恒成立求出a的取值或由f 0 0求得 自主解答 f x ex a 1 若a 0 f x ex a 0恒成立 即f x 在r上递增 若a 0 ex a 0 ex a x lna f x 的单调递增区间为 lna 2 f x 在r内单调递增 f x 0在r上恒成立 ex a 0 即a ex在r上恒成立 a ex min 又 ex 0 a 0 3 解法一 由题意知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 ex在 0 上为增函数 x 0时ex最大为1 a 1 同理可知ex a 0在 0 上恒成立 a ex在 0 上恒成立 a 1 a 1 解法二 由题意知 x 0为f x 的极小值点 f 0 0 即e0 a 0 a 1 特别提醒 已知函数的单调性 求参数的取值范围 应用条件f x 0 或f x 0 x a b 转化为不等式恒成立求解 活学活用 1 已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在实数集r上单调递增 求实数a的取值范围 2 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上单调递减 若存在 求出a的取值范围 若不存在 说明理由 解 1 由已知f x 3x2 a f x 在 上是单调增函数 f x 3x2 a 0在 上恒成立 即a 3x2对x r恒成立 又 3x2 0 只需a 0 又 当a 0时 f x 3x2 0 即f x x3 1在r上是增函数 a 0 2 由f x 3x2 a 0在 1 1 上恒成立 得a 3x2 x 1 1 恒成立 1 x 1 3x2 3 只需证a 3 当a 3时 f x 3 x2 1 在x 1 1 上 f x 0 即f x 在 1 1 上为减函数 a 3 故存在实数a 3 使f x 在 1 1 上单调递减 1 求函数f x 极值的步骤 1 确定函数f x 的定义域 2 求导数f x 3 求方程f x 0的根 4 检查在方程的根的左右两侧的符号 确定极值点 最好通过列表法 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果f x 在点x0的左右两侧符号不变 则f x0 不是函数极值 2 可导函数极值存在的条件 1 可导函数的极值点x0一定满足f x0 0 但当f x1 0时 x1不一定是极值点 如f x x3 f 0 0 但x 0不是极值点 2 可导函数y f x 在点x0处取得极值的充要条件是f x0 0 且在x0左侧与右侧f x 的符号不同 已知函数f x x3 mx2 nx 2的图象过点 1 6 且函数g x f x 6x的图象关于y轴对称 1 求m n的值及函数y f x 的单调区间 2 若a 1 求函数y f x 在区间 a 1 a 1 内的极值 思路点拨 1 由f x 过点 1 6 及g x 图象关于y轴对称可求m n 由f x 0及f x 0可求单调递增和递减区间 2 先求出函数y f x 的极值点 再根据极值点是否在区间 a 1 a 1 内讨论 自主解答 1 由函数f x 图象过点 1 6 得m n 3 由f x x3 mx2 nx 2 得f x 3x2 2mx n 由f x 0 得x 2或x 0 故f x 的单调递增区间是 0 2 由f x 0 得0 x 2 故f x 的单调递减区间是 0 2 2 由 1 得f x 3x x 2 令f x 0 得x 0或x 2 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由此可得 当1 a 3时 f x 在 a 1 a 1 内有极小值f 2 6 无极大值 当a 3时 f x 在 a 1 a 1 内无极值 综上得 当1 a 3时 f x 有极小值 6 无极大值 当a 3时 f x 无极值 活学活用 2 已知函数f x x3 3ax 1 a 0 1 求f x 的单调区间 2 若f x 在x 1处取得极值 直线y m与y f x 的图象有三个不同的交点 求m的取值范围 1 设函数f x 在 a b 上连续 在 a b 内可导 求f x 在 a b 上的最大值和最小值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的极值 2 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 2 1 根据最值的定义 求在闭区间 a b 上连续 开区间 a b 内可导的函数的最值时 可将过程简化 即不用判断使f x 0成立的点是极大值点还是极小值点 直接将极值点与端点的函数值进行比较 就可判定最大 小 值 2 定义在开区间 a b 上的可导函数 如果只有一个极值点 该极值点必为最值点 思路点拨 利用导数解决生活中的优化问题时 1 既要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示 还要注意确定出函数关系式中自变量的定义区间 2 一定要注意求得结果的实际意义 不符合实际的值应舍去 3 如果目标函数在定义区间内只有一个极值点 那么根据实际意义该极值点就是最值点 1 求乙方的年利润q 元 关于年产量t 吨 的函数表达式 并求出当年利润q 元 最大时的年产量 2 甲方每年受乙方生产影响的经济损失为y 0 002t2 元 在乙方按照获得最大年利润的产量进行生产的前提下 甲方要在索赔中获得最大净收入 应向乙方要求的赔付价格s是多少 净收入 获赔金额 经济损失 纠错 求出导函数f x 0的零点 然后判断导函数在这些点两侧的符号 若符号相反 则是极值点 若符号相同 则不是极值点 正解 f x x3 bx2 2 a x 2a 由f 1 0 得b 1 a 当b 1 a时 f x x3 1 a x2 2 a x 2a x 1 x 2 x a 如果a 1 那么x 1就只是导函数值为0的点而非极值点 故b 1 a且a 1 g x x3 bx2 a 1 x a x3 1 a x2 a 1 x a x a x2 x 1 当x a时 g x 0 g x 在 a 上单调递减 a 6 2a 3 a a 6 2a 3 a 故所求a的范围为 3 a 3 综上可知 a的取值范围为 3 a 3且a 1 心得 f x0 0只是可导函数f x 在x0处取得极值的必要条件 即必须有这个条件 但只有这个条件还不够 还要考虑是否满足f x 在x0两侧异号 因此 可以从以下三