高考数学总复习 专题12导数课件 人教版.ppt

有极限 5 导数的几何意义函数y f x 在x x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 即k f x0 相应地 切线方程为 y y0 f x0 x x0 注意 1 关于导函数的概念 可以从以下几个方面理解 函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是导函数f x 在x x0处的函数值 即f x0 f x x x0 并不是所有的函数都有导数 导函数f x 与原来的函数f x 有相同的定义域 a b 区间一般指开区间 因为在其端点处不一定有增量 4 若函数在x x0处有导数 则图象在 x0 f x0 处一定有切线 但若函数在x x0处没有导数 则图象在 x0 f x0 处也可能有切线 5 应该指出 在通常情况下 我们不用定义求函数在某一点处的导数 而是先求导函数 进而求导数值 但必须正确掌握函数在某点处的导数的定义 学会运用定义解决相关问题 6 注意区分曲线在p点处的切线和曲线过p点的切线 前者p点为切点 后者p点不一定为切点 一般情况下 曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点 二 多项式函数的导数1 两个重要的导数公式c 0 c为常数 xm mxm 1 m n 2 导数的运算法则 f x g x 有导数 f x g x f x g x c f x cf x 两个函数和或差的导数等于这两个函数导数的和或差 常数与函数积的导数等于常数与函数导数的乘积 注意 1 用导数的定义求导是求导数的基本方法 但运算较繁琐 利用常用函数的导数公式以及导数的运算法则 可以大大简化求导过程 降低运算难度 2 求几个多项式乘积的导数时 应先将多项式乘积展开 然后再求导 三 函数的单调性一般地 设函数y f x 在某个区间内可导 如果f x 0 则函数f x 在这个区间内为增函数 如果f x 0 则函数f x 在这个区间内为减函数 注意 1 在利用导数研究函数的单调性时 我们往往应用以下的充分条件 设函数f x 在区间 a b 内可导 若f x 0 f x 0 则函数f x 在区间 a b 内为增函数 减函数 若函数f x 在闭区间 a b 上连续 则单调区间可扩大到闭区间 a b 上 2 在某区间内f x 0 f x 0 是函数f x 在此区间内为增 减 函数的充分条件 而不是必要条件 如果出现个别点使f x 0 不会影响函数f x 在包含该点的某个区间内的单调性 3 一般地 可导函数f x 在区间 a b 内是增 减 函数的充要条件是 对任意的x a b 都有f x 0 f x 0 且f x 在区间 a b 的任何子区间内都不恒等于零 特别是在已知函数的单调性求参数的取值范围时 要注意等号是否可以取到 四 函数的极值1 函数的极值一般地 设函数y f x 在x x0及其附近有定义 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都大 就说f x0 是函数y f x 的一个极大值 如果f x0 的值比x0附近所有各点的函数值都小 就说f x0 是函数y f x 的一个极小值 极大值与极小值统称极值 2 求可导函数极值的步骤 求导数f x 求方程f x 0的根 检验f x 在方程f x 0根的左右的值的符号 如果左正右负 那么函数y f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么函数y f x 在这个根处取得极小值 注意 1 函数极值的定义适用于任何一个函数 每个函数均可用定义判断极值 函数可以有极值 也可以没有极值 如有极值 可能有一个 也可能有多个 每个极值都是就该极值点附近而言的 但只有可导函数才能用导数知识判断函数的极值 2 由定义可知 若函数f x 在区间 a b 内有极值 那么f x 在区间 a b 内绝不是单调函数 即在区间 a b 内的单调函数没有极值 3 可导函数的极值点必须是导数为0的点 但导数为0的点不一定是极值点 即f x0 0是可导函数f x 在x x0处取得极值的必要不充分条件 也就是说x0是极值点的充分条件是在x0点两侧导数异号 而不是f x0 0 例如函数y x3在x 0处有y x 0 0 但x 0不是极值点 此外 函数不可导的点也可能是函数的极值点 4 极值是一个局部概念 极值的大小关系是不确定的 即极大值不一定比极小值大 极小值也不一定比极大值小 五 函数的最值求可导函数f x 在区间 a b 上的最大值与最小值的步骤 求y f x 在 a b 内的极值 极大值或极小值 将y f x 在各极值点的极值与f a f b 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 注意 注意区分极值与最值的概念 函数的极值表示函数在某一点附近的情况 是在局部上对函数值的比较 函数的最值表示函数在一个区间上的情况 是对函数在整个区间上的函数值的比较 函数的极值不一定是最值 最值也不一定是极值 2 若函数f x ax4 bx2 c满足f 1 2 则f 1 a 1b 2c 2d 0解析 f x 4ax3 2bx f x 4ax3 2bx f x f 1 f 1 2 故选b 答案 b 3 2012衡水调研 若函数f x 的导函数f x x2 4x 3 则使得函数f x 1 单调递减的一个充分不必要条件是x a 0 1 b 0 2 c 2 3 d 2 4 解析 令f x x2 4x 3 0 1 x 3 故f x 在 1 3 上单调递减 f x 的图象向右平移1个单位长度得到f x 1 的图象 f x 1 在 2 4 上单调递减 2 3 2 4 故选c 答案 c 答案 2 1 已知某运动物体的位移y 米 与其运动时间t 秒 的函数关系为 y t3 t 1 设y f t 利用导数的定义求f t 2 求该物体在t 2秒时的瞬时速度 2 t 2秒时的瞬时速度即f 2 瞬间速度为f 2 3 4 1 13 米 秒 题后总结 用导数的定义求函数的导数时 依据步骤求之 若直线y kx与曲线y x3 3x2 2x相切 试求k的值 题后总结 1 曲线的切线方程的求法 已知切点 x0 f x0 a 求出函数f x 的导数f x b 将x0代入f x 求出f x0 即得切线的斜率 c 写出切线方程y f x0 f x0 x x0 并化简 如果已知点 x1 y1 不是切点 则设出切点 x0 f x0 表示出切线方程 再将 x1 y1 代入切线方程 求出x0 从而确定切线方程 2 已知直线与曲线相切时 若切点不明确 则可设出切点p x0 y0 利用曲线对应的方程求得曲线在p x0 y0 处切线的斜率 再利用切线方程 求得直线的斜率 最后利用两斜率相等建立方程求解 12分 已知函数f x x3 3ax2 3x 1 1 设a 2 求f x 的单调区间 2 设f x 在区间 2 3 中至少有一个极值点 求a的取值范围 题后总结 1 求可导函数单调区间的一般步骤 确定函数f x 的定义域 求导数f x 由f x 0 或f x 0时 f x 在相应的区间上是增函数 当f x 0时 f x 在相应的区间上是减函数 2 函数的极 最 值与单调性密不可分 研究极 最 值 一般先研究f x 的符号 确定函数的单调性 进而确定其极 最 值 易错点 导数与单调性关系不清致误已知f x x3 ax2 3x 1 若f x 在 2 上是增函数 求实数a的取值范围 2 若x 3是f x 的极值点 求f x 在 1 a 上的最小值和最大值 错因分析 求函数的单调增区间就是解导数大于零的不等式 受此影响 容易认为函数f x 的导数在区间 2 上大于零 忽视了函数的导数在 2 上个别的点处可以等于零 这样的点不影响函数的单调性 状元笔记 函数的导函数与其单调性之间的关系从如下三个方面理解函数的导数与其单调性之间的