高考数学总复习 9.2直线和平面平行、平面和平面平行课件 人教版.ppt

第二讲直线和平面平行 平面和平面平行 一 直线和平面 平面和平面的位置关系1 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种 直线在平面内 有无数个公共点 直线和平面相交 有且只有一个公共点 直线和平面平行 没有公共点 若直线与平面平行 则平面内有无数条直线与该直线平行 且这无数条直线相互平行 2 两个平面的位置关系只有两种 平行 没有公共点 相交 有一条公共直线 两个平面平行时 两个平面没有公共点 当然其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面也没有公共点 即两个平面平行时 其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行 这也是两个平面平行的一个性质 也可以作为直线与平面平行的一个判定 注意 1 要正确区别 任意 所有 与 无数 等量词的意义 2 两平面平行时 一个平面内的任何直线都平行于另一个平面 而分布在两个平行平面内的两条直线 它们可能平行 也可能异面 二 直线和平面平行的有关定理1 定义若一条直线和一个平面没有公共点 则这条直线与这个平面平行 这一定义可以看作一个否定性结论 是利用反证法证明直线和平面平行的重要依据 2 直线和平面平行的判定定理如果平面和这个平面内的一条直线 那么这条直线和这个平面平行 外一条直线 平行 直线和平面平行的判定定理可以简述为 若线线平行 则线面平行 利用该定理证明直线a和平面 平行时 必须具备三个条件 直线a在平面 外 即a 直线b在平面 内 即b 直线a与b平行 即a b 三个条件缺一不可 3 直线和平面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行 经过这条直线的平面和这个平面相交 那么这条直线和平行 直线和平面平行的性质定理可以简述为 若线面平行 则线线平行 利用这一定理证明直线a b时 也必须具备缺一不可的三个条件 直线a和平面 平行 即a 直线a在平面 内 即a 平面 相交 即 b 交线 注意 1 如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面 那么这条直线和这个平面平行 即若 l l 则l 2 在一个平面同侧的两个点 如果它们与这个平面的距离相等 那么过这两个点的直线与这个平面平行 即若a b a b在 同侧 且a b到 的距离相等 则ab 3 如果一条直线与一个平面垂直 则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行 即若a b b a 则b 4 如果两条平行直线中的一条平行于一个平面 那么另一条也平行于这个平面或在这个平面内 即若a b a 则b 或b 三 平面与平面平行的有关定理1 定义如果两个平面没有公共点 那么这两个平面平行 即 无公共点 2 平面与平面平行的判定定理如果一个平面内有两条直线都平行于另一个平面 那么这两个平面平行 即若a b a b p a b 则 相交 在平面与平面平行的判定定理中 两条相交直线 中的 相交 两个字不能忽略 否则结论不一定成立 推论 如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行 那么这两个平面平行 即若a b c d a b p c d q a c b d 则 注意 1 垂直于同一直线的两平面平行 即若 a a 则 2 平行于同一平面的两平面平行 即若 则 3 平面与平面平行的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交 那么它们的交线 若由两个平面平行来推证两条直线平行 则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线 有时候第三个平面需要作出来 平行 1 已知直线a b 平面 满足a 则使b 的条件为 a b ab b a且b c a与b异面d a与b不相交解析 由线面平行的判定定理可知 答案选b 答案 b 2 平面 平面 的一个充分条件是 a 存在一条直线a a a b 存在一条直线a a a c 存在两条平行直线a b a b a b d 存在两条异面直线a b a b a b 解析 a b c中都可以推出 与 相交 答案 d 3 如果直线a平行于平面 给出以下结论 平面 内有且只有一条直线与a平行 平面 内有无数条直线与a平行 平面 内不存在与a相交的直线 平面 内任意一条直线与a都平行 其中正确结论的序号是 a b c d 解析 根据直线和平面平行的定义可知 是正确的 若直线和平面有交点 与线面平行的定义相矛盾 而直线a和平面 平行 过直线a可作无数个平面与平面 相交 得无数条交线 这些交线都与直线a平行 故 正确 选b 答案 b 4 过三棱柱abc a1b1c1任意两条棱的中点作直线 其中与平面abb1a1平行的直线共有 条 解析 各中点连线如图 只有面efgh与面abb1a1平行 在四边形efgh中有6条符合题意 答案 6 5 已知平面 p 且p 过点p的直线m与 分别交于a c 过点p的直线n与 分别交于b d 且pa 6 ac 9 pd 8 则bd的长为 解析 如图1 ac bd p 经过直线ac与bd可确定平面pcd 平面pcd ab 平面pcd cd ab cd 如图 两个全等的正方形abcd和abef所在平面相交于ab m ac n fb且am fn 求证 mn 平面bce 自主解答 证明 证法一 过m作mp bc nq be p q为垂足 连结pq 则mp ab nq ab mp nq 题后总结 判定线面平行的常用方法 1 用线面平行的判定定理 即由线线平行 线面平行 2 用面面平行的性质 即由面面平行 线面平行 如图所示 三棱柱abc a1b1c1 d是bc上一点 且a1b 平面ac1d d1是b1c1的中点 求证 平面a1bd1 平面ac1d 证明 连结a1c交ac1于点e 四边形a1acc1是平行四边形 e是a1c的中点 连结ed a1b 平面ac1d a1b 平面a1bc 平面a1bc 平面ac1d ed a1b ed e是a1c的中点 d是bc的中点 又 d1是b1c1的中点 bd1 c1d而bd1 面adc1 c1d 面adc1 bd1 平面adc1 又a1b bd1 b则平面a1bd1 平面ac1d 题后总结 平面平行的判定定理 是利用了线面平行来推证的 即需要找到或证出两条相交直线平行另一平面 本题的证明就是运用了这一判定定理 活学活用 1 点p是 abc所在平面外一点 a b c 分别是 pbc pca pab的重心 1 求证 平面a b c 平面abc 2 求a b ab的值 自主解答 证明 1 如图所示 取ab bc ca的中点m n q 连结pm pn pq mn nq qm 12分 如图 正三棱柱abc a1b1c1的底面边长为2 点e f分别是棱cc1 bb1上的点 点m是线段ac上的动点 ec 2fb 2 问 1 当点m在何位置时 mb 平面aef 2 当mb 平面aef时 判断mb与ef的位置关系 说明理由 并求mb与ef所成角的余弦值 规范解答 1 若mb 平面aef 过f b m作平面fbm交ae于n 连结mn nf 如图 1分 bb1 平面a1acc1 bf mn 2分又bm 平面aef bm fn 四边形bfnm为平行四边形 3分 故m n为 ace的中位线 以上过程可逆 4分 m为ac的中点时 mb 平面aef 5分 2 mb与ef是两条异面直线 6分 ef 平面bc1 b 平面bc1 b ef m 平面bc1 mb与ef是异面直线 7分由 1 知 mb nf efn就是异面直线mb与ef所成的角或其补角 8分 题后总结 条件不完备或结论不确定是探索性问题的基本特征 解决这类问题 较少现成的套路和常规程序 常常需要我们先研究特例如几何的特殊图形或特殊位置 或者逆推分析 或者猜想结论 发现目标 再给出证明或举出反例 解 如图 在平面pcd内作eg pd于g 连结ag pa 平面abcd cd ad cd pd cd eg 又ab cd eg ab 若有ef 平面pad 则ef ag 四边形afeg为平行四边形 eg af 易错点 平面几何到立体几何的迁移失真已知直线a 直线b b 平面 且a 求证 a 错解 如图 在平面 内任取一点p 在平面 内过点p作b c a b a c 又a c a 错因分析 出现错解中错误的原因有二 1 没有利用已知作件b 2 在 内过点p作直线c 使c b没有依据 想当然地把平面几何的有关知识迁移到立体几何中 得到直线与直线平行 若题设中有线面平行 则使用性质定理通过作辅助平面得线线平行 规范解答 在 内任取一点p b p b 故直线b与点p可确定一个平面 设 c 则b c a b a c 又a c a 状