高考数学总复习 9.6棱柱、棱锥的概念和性质课件 人教版.ppt

第六讲棱柱 棱锥的概念和性质 一 棱柱1 棱柱有两个面互相 其余各面都是 并且每相邻两个四边形的都互相平行 这些面围成的几何体叫做棱柱 平行 四边形 公共边 2 棱柱的分类 1 按底面边数分类 可以把棱柱分为三棱柱 四棱柱 五棱柱 n棱柱 n 3 2 按侧棱与底面垂直与否分类 可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱 侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱 3 棱柱的性质 1 侧棱都相等 侧面是平行四边形 2 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形 3 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形 4 棱柱的侧面积与体积 1 棱柱的侧面积 定理 如果直棱柱的底面周长是c 高是h 那么它的侧面积是s直棱柱侧 ch 斜棱柱的侧面积等于它的直截面 垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面 的周长与侧棱长的乘积 2 棱柱的体积棱柱的体积等于它的底面积s乘以高h 即v棱柱 sh 一般地 v柱体 sh 其中s是底面积 h是高 v长方体 abc 其中a b c是长方体的长 宽 高 v正方体 a3 其中a为棱长 注意 1 棱柱是多面体中最简单的一种 棱柱的概念有两个本质属性 有两个面 底面 互相平行 其余各面 侧面 每相邻两个面的公共边 侧棱 都互相平行 因此 棱柱有两个面互相平行 这两个面可以是三角形或其他多边形 其余各面都是平行四边形 但要注意 有两个面互相平行 其余各面都是平行四边形的几何体 不一定是棱柱 2 棱柱的性质 可以由棱柱的定义出发 利用空间直线和平面相应位置关系的有关知识推出 3 特殊的四棱柱 4 长方体的对角线性质定理 长方体的一条体对角线长的平方等于的平方和 由该定理可以推出下面两组重要的关系式 若体对角线与一个顶点上的三条棱所成的角分别为 则cos2 cos2 cos2 1 sin2 sin2 sin2 2 若体对角线与相交于一点的三个面所成的角分别为 则cos2 cos2 cos2 2 sin2 sin2 sin2 1 一个 顶点上三条棱长 5 由于长方体本身的特点 较容易建立空间直角坐标系 因此 利用空间向量求解与长方体有关的问题较为简单 二 棱锥1 棱锥有一个面是 其余各面是有一个公共顶点的 这些面围成的几何体叫做棱锥 2 棱锥的分类一般棱锥 按棱锥的底面多边形的边数分类 棱锥可分为三棱锥 四棱锥 五棱锥 n棱锥 n 3 其中三棱锥又称为四面体 正棱锥 如果一个棱锥的底面是正多边形 并且顶点在底面内的射影是底面的中心 这样的棱锥叫做正棱锥 多边形 三角形 3 棱锥的性质 1 一般棱锥 底面是多边形 各侧面是有一个公共顶点的三角形 如果棱锥被平行于底面的平面所截 那么截面和底面相似 并且它们面积的比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的平方比 2 正棱锥 各侧棱相等 各侧面都是全等的等腰三角形 各等腰三角形底边上的高相等 它叫做正棱锥的斜高 正棱锥的高 斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形 正棱锥的高 侧棱和侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形 注意 1 棱锥是一种简单的多面体 它有两个主要特征 有一个形状是多边形的底面 其他各面是有一个公共顶点的三角形 这些三角形是棱锥的侧面 2 棱锥的性质反映了平行于棱锥底面的截面与底面的相似关系 利用这个定理还可以得到下面两个重要结论 如果棱锥被平行于底面的平面所截 那么截得的棱锥的侧面积与已知棱锥的侧面积的比等于它们的高的平方比 如果棱锥被平行于底面的平面所截 那么截得的棱锥的体积与已知棱锥的体积的比等于它们的高的立方比 3 正棱锥是一种特殊的棱锥 它满足以下两个条件 底面是正多边形 顶点在底面的射影是底面的中心 这时 侧棱在底面内的射影是底面正多边形的外接圆的半径 又称为底面半径 斜高在底面内的射影是底面正多边形的内切圆的半径 又称为边心距 4 正三棱锥中有一种特殊的情形 所有棱长都相等的三棱锥 我们把这样的三棱锥称为正四面体 正四面体有以下重要性质 1 设有五个命题 底面是矩形的平行六面体是长方体 棱长相等的直四棱柱是正方体 有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体 对角线相等的平行六面体是直平行六面体 底面是正方形的长方体是正四棱柱 其中真命题的个数是 a 1b 2c 3d 4解析 命题 不正确 因为侧棱不一定垂直于底面 不正确 因为底面有可能是菱形 不正确 因为有两条侧棱垂直于底面一边 可以得到相对的两侧面是矩形 不能得出侧棱与底面垂直 正确 由对角线相等 可得出平行六面体的对角面是矩形 从而推得侧棱与底面垂直 所以是直平行六面体 正确 长方体是直四棱柱 再加上底面是正方形 所以是正四棱柱 答案 b 2 下面有四个命题 各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥 三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥 底面是正三角形的棱锥是正三棱锥 顶点在底面上的射影是底面多边形的内心 又是外心的棱锥必是正棱锥 其中正确命题的个数是 a 1b 2c 3d 4 解析 不正确 正棱锥必须具备两点 一是 底面为正多边形 二是 顶点在底面内的射影是底面的中心 缺少第一个条件 缺少第二个条件 而 可推出以上两个条件都具备 答案 a 解析 设长方体同一顶点上三条棱长分别为a b c 则2 ab bc ca 8 对角线l2 a2 b2 c2 ab bc ca 4 l 2 选c 答案 c 答案 6 5 如图 四棱柱abcd a1b1c1d1的底面abcd为正方形 侧棱与底面边长均为2a 且 a1ad a1ab 60 则侧棱aa1与截面b1d1db的距离是 答案 a 已知正四棱锥s abcd的底面边长为a 相邻侧面所成二面角为120 求 1 棱锥的高 斜高 侧棱长 2 侧面与底面所成的角的正弦值 3 棱锥的侧面积与体积 自主解答 1 过s点作so 底面ac于o sg bc于g ae sb于e 连结ce og sab scb ce sb aec为侧面sab与侧面sbc所成二面角的平面角 aec 120 连结oe ao co ae ce aeo 60 2 如图 由 1 知 sco为侧棱与底面所成的角 sgo为侧面与底面所成的角 题后总结 本题充分利用了正四棱锥的性质去解决问题 正棱锥的有关计算通常在四个直角三角形中进行 自主解答 1 证明 acb 90 bc ac 三棱柱abc a1b1c1为直三棱柱 bc cc1 ac cc1 c 所以bc 平面acc1a1 a1c 平面acc1a1 所以bc a1c a1c ac1 b1c1 ac1 c1 a1c 平面ab1c1 2 存在 当点e为棱ab的中点时 de 平面ab1c1 如图所示 取bb1的中点f 连结ef fd de e f分别为ab bb1的中点 ef ab1 ab1 平面ab1c1 ef 平面ab1c1 ef 平面ab1c1 同理可证fd 平面ab1c1 ef fd f 平面efd 平面ab1c1 de 平面fed de 平面ab1c1 题后总结 1 对平行和垂直关系的考查 多以简单几何体尤其是棱柱 棱锥为依托 借助其丰富的线面关系 或直接考查平行和垂直关系的证明 或通过求角和距离间接考查 试题灵活多样 2 在棱锥 棱柱中进行线线 线面 面面的平行与垂直的证明 除了要正确使用判定定理与性质定理外 对几何体本身所具有的性质也要正确把握 其次还要注意各种平行与垂直之间的相互转化 如将线线平行转化为线面平行或面面平行来解决 1 求三棱锥e pad的体积 2 当点e为bc的中点时 试判断ef与平面pac的位置关系 并说明理由 3 证明 无论点e在边bc的何处 都有af pe 3 证明 pa 平面abcd be 平面abcd eb pa 又eb ab ab ap a ab ap 平面pab eb 平面pab 又af 平面pab af eb 又pa ab 1 点f是pb的中点 af pb 又 pb be b pb be 平面pbe af 平面pbe pe 平面pbe af pe 12分 如图 在三棱柱abc a1b1c1中 底面是边长为a的正三角形 且aa1与ac ab所成的角均为60 且a1a ab 求该三棱柱的侧面积和体积 规范解答 作a1o 底面abc于o 因aa1与ac ab所成的角均为60 且a1a ab 所以o是 abc的中心 2分 题后总结 对于求侧面积和体积问题要注意以下两点 1 要熟练地掌握棱柱 棱锥的定义 性质 以及侧面积和体积公式 2 求侧面积 体积时要抓好以下三个环节 准确 熟练地记忆 应用各种面积 体积公式 求出公式所需要的量及对相关量进行推理论证 进行正确简明的运算 发现并应用a1 abc为正三棱锥是解题的关键 对特殊几何体结构的认识越充分 就越能找到本质的解法 活学活用 2 在正三棱柱abc a1b1c1中 ab a a1b b1c d为bc的中点 d1为b1c1的中点 1 求证 bd1是a1b在平面bcc1b1内的射影 2 求证 b1c bd1 3 求此三棱柱的侧面积 4 求三棱锥d a1bc1的体积 解 1 证明 连接a1d1 则a1d1 b1c1 平面bcc1b1 平面a1b1c1 b1c1为交线 a1d1 平面bcc1b1 bd1是a1b在平面bcc1b1内的射影 2 证明 由 1 知a1d1 平面b1c1cb 又 b1c 平面b1c1cb a1d1 b1c 又 a1b b1c b1c 平面a1bd1 b1c bd1 易错点 空间几何体面积计算错误斜棱柱的底面是等腰三角形abc ab ac 10 bc 12 棱柱顶点a1到a b c三点的距离相等 侧棱长为13 求它的侧面积 错解 如图 取bc中点d 则bc ad