高考数学总复习 第三章第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例课件 理.ppt

第八节正弦定理 余弦定理的应用举例 1 仰角和俯角在视线和水平线所成的角中 视线在水平线 的角叫仰角 在水平线 的角叫俯角 如图3 8 1 上方 下方 2 方位角和方向角 1 方位角 从指北方向 转到目标方向线的水平角 如b点的方位角为 如图3 8 1 2 方向角 相对于某正方向的水平角 如南偏东30 等 3 坡度与坡比坡度 坡面与水平面所成的二面角的度数 坡比 坡面的铅直高度与水平长度之比 顺时针 如何用方位角 方向角确定一点的位置 提示 利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置 答案 b 2 某班设计了一个八边形的班徽 如图3 8 3 它由腰长为1 顶角为 的四个等腰三角形 及其底边构成的正方形所组成 该八边形的面积为 答案 2sin 2cos 2 3 2011 上海高考 在相距2千米的a b两点处测量目标点c 若 cab 75 cba 60 则a c两点之间的距离为 千米 4 2010年10月21日超强风暴 鲇鱼 导致台湾 苏花高速 坍塌 在灾区的搜救现场 如图3 8 4所示 一条搜救狗从a处沿正北方向行进xm到达b处发现一个生命迹象 然后向右转105 行进10m到达o处发现另一生命迹象 这时它向右转135 后继续前进可回到出发点 那么x 如图3 8 5所示 acd是等边三角形 abc是等腰直角三角形 acb 90 bd交ac于e ab 2 1 求cos cbe的值 2 求ae 三角形中的几何计算问题 思路点拨 1 在 bcd中 利用等腰三角形的性质求 cbe 2 在abe中 利用正弦定理求ae 1 已知量与未知量集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 已知量与未知量涉及到两个 或两个以上 三角形时 先解够条件的三角形 然后逐步求出其它三角形中的解 当每个三角形都不能直接解时 可设置一个辅助元素 把分散的已知条件联系起来 列出方程求解 2012 韶关质检 如图3 8 6所示 测量河对岸的塔高ab时 可选取与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d 现测得 bcd 75 bdc 60 cd s 并在点c处测得塔顶a的仰角为30 求塔高ab 思路点拨 在 bcd中 求cb 在 acb中 求ab 测量高度问题 1 测量高度时 要准确理解仰 俯角的概念 这是实际问题数学化的关键 2 分清已知和待求 分析 画出 示意图 明确在哪个三角形内应用正 余弦定理 应特别注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形的应用 某人在c点测得某塔在南偏西80 塔顶a仰角为45 此人沿南偏东40 方向前进10米到d 测得塔顶a的仰角为30 求该塔的高度 测量距离问题 1 求解该类问题时 一定要准确地画出图形 演算过程中 要算法简练 算式工整 计算正确 并作答 2 借助方位角 画出表示实际问题的图形 并在图中标注有关的角与距离 构建三角形的模型 然后合理选用正 余 弦定理求解 某海轮以30海里 时的速度航行 在a点测得海面上油井p在南偏东60 向北航行40分钟后到达b点 测得油井p在南偏东30 海轮改为北偏东60 的航向再行驶80分钟到达c点 求p c间的距离 思路点拨 如题图所示 注意到最快追上走私船且两船所用时间相等 若在d处相遇 则可先在 abc中求出bc 再在 bcd中求 bcd 测量角度问题 1 求解本例的难点在于确定已知角和所求角之间的关系 破解此类问题的关键在于结合图形正确理解 北偏西 北偏东 等概念 把条件转化为三角形的内角和边长 2 解决此类实际问题 要注意正 余弦定理 三角变换 几何性质的综合应用 体会正 余弦定理 联袂 使用的优越性 如图3 8 9所示 位于a处的信息中心获悉 在其正东方向相距40海里的b处有一艘渔船遇险 在原地等待营救 信息中心立即把消息告知在其南偏西30 相距20海里的c处的乙船 现乙船朝北偏东 的方向沿直线cb前往b处救援 求cos 的值 从近两年的高考试题来看 利用正弦定理 余弦定理解决测量 几何计算有关的实际问题是高考的热点 一般以解答题的形式考查 主要考查计算能力和分析问题 解决实际问题的能力 预计2013年高考仍会延续这一命题方向 规范解答之七构建三角形模型解决实际应用问题 13分 2010 福建高考 某港口o要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港口o北偏西30 且与该港口相距20海里的a处 并正以30海里 小时的航行速度沿正东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以v海里 小时的航行速度匀速行驶 经过t小时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 2 假设小艇的最高航行速度只能达到30海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向和航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 规范解答 1 设小艇与轮船在b处相遇 相遇时小艇航行的距离为s海里 如图所示 解题程序 第一步 审题 构建三角形模型 第二步 利用余弦定理 求smin及速度v 第三步 用余弦定理转化为v与t的函数关系式进行求解 第四步 根据计算结果 设计航行方案 第五步 反思查看关键点 规范结论 易错提示 1 理解能力差 方向角概念不清 不能根据题设条件做出示意图 导致无法入手 2 主要是不会构建v与t的函数关系式 难以利用条件解不等式 防范措施 1 理清方向角的概念 准确画出相关示意图 2 在 aob中 根据题设条件 恰当选择正弦 余弦 定理求解 1 2011 课标全国卷 在 abc中 ad是其中线 已知ab 6 ad 5 ac 8 则 bac等于 a 45 b 60 c 90 d 120 解析 设bc 2x 则bd dc x 在 abd中 由余弦定理 36 x2 25 10 xcos adb 在 acd中 由余弦定理 64 x2 25 10 xcos adc 得100 2x2 50