高三数学总复习 （回顾+突破+巩固+提升作业） 第三章 第六节 倍角公式和半角公式课件 文.ppt

第六节倍角公式和半角公式 1 二倍角的正弦 余弦 正切公式 2sin cos cos2 sin2 2cos2 1 1 2sin2 2 半角公式 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 当 是第一象限角时 2 对任意角 都成立 3 半角的正 余弦公式实质就是将倍角的余弦公式逆求而得来的 4 用sin cos 可将表示为 5 当时 解析 1 错误 在第一象限时 在第一或第三象限 当在第一象限时 当在第三象限时 2 错误 此式子必须使有意义 即即 2k 1 k z 3 正确 由半角公式推导过程可知正确 4 正确 5 正确 又故原式 cos 答案 1 2 3 4 5 1 已知则等于 解析 选b 2 已知则等于 a 3 b 6 c 12 d 解析 选a 2 2tan 3 3 下列各式的值为的是 b 1 2sin275 d sin15 cos15 解析 选d a项 b项 c项 d项 4 已知则sin2 解析 即即答案 5 计算 解析 原式答案 考向1三角函数式的化简问题 典例1 1 化简 2 2 2013 新余模拟 计算 3 证明 思路点拨 1 分子 分母中分别利用倍角公式 整理化简即可 2 逆用正弦 余弦 正切的倍角公式即可得解 3 利用诱导公式 切化弦 逆用倍角公式降幂可解 规范解答 1 原式又 原式答案 cos 2 原式答案 3 左边右边 原式成立 拓展提升 三角函数式化简的原则 要求及方法 1 化简原则 统一角 统一函数名 能求值的则求值 2 化简结果的要求 尽量使三角函数种数最少 尽量使项数最少 尽量使分母不含三角函数 尽量使被开方数不含三角函数 3 化简方法 主要是弦切互化 异名化同名 异角化同角 提醒 同角三角函数关系式和诱导公式在化简中经常用到 另外 1 的代换也经常用到 变式训练 1 化简的结果是 a cos1 b cos1 c d 2 化简 解析 1 选c 2 原式故 考向2三角函数的求值 典例2 1 2013 吉安模拟 已知则sin2x的值为 2 若则 3 已知且则的值为 思路点拨 1 由得到cosx sinx 然后两边平方后求解 2 将所求式子 切化弦 应用倍角公式展开 再 弦化切 可解 3 将已知条件变形 求得sin cos 与sin cos 将所求式子应用公式展开代入即可求解 规范解答 1 两边平方得答案 2 故所求式子 2013 答案 2013 3 即即又答案 互动探究 本题 2 中若将改为如何求解呢 解析 由已知得所以 拓展提升 1 三角函数式求值的类型和思路 1 三角函数式求值问题的类型 直接求值 即直接根据所给的三角函数式选择恰当的公式化简变形求得三角函数式的值 条件求值 即根据条件选择合适的公式进行三角恒等变换求得所需要的值 同时注意所给角的范围 2 条件求值题的一般解法 先化简所求式子或已知条件 观察已知条件与所求式子之间的联系 从三角函数名及角入手 将已知条件代入所求式子 化简求值 2 三角函数式给值求角的注意点一是找出已知角和未知角之间的关系 用已知角构造未知角 二是涉及的角的范围要确定准 变式备选 1 已知则cos 2 解析 选b 2 已知 为第三象限的角 则 解析 4k 2 2 4k 3 k z 而得答案 考向3三角函数的综合问题 典例3 1 2013 上饶模拟 关于函数以下结论正确的是 a f x 的最小正周期是 在区间上是增加的 b f x 的最小正周期是2 最大值是2 c f x 的最小正周期是 最大值是 d f x 的最小正周期是 在区间上是增加的 2 2013 商洛模拟 将函数y f x sinx的图像向右平移个单位后 再作关于x轴对称变换 得到函数y 1 2sin2x的图像 则f x 可以是 a sinx b cosx c 2sinx d 2cosx 3 设满足 求f x 的解析式 求函数f x 在区间上的最大值和最小值 思路点拨 1 运用倍角公式及辅助角公式将函数化为f x asin x 的形式后再判断 2 运用逆变换的思想解题 3 将f x 的关系式展开合并再利用可求a 并利用辅助角公式化为一个角的三角函数 从而得f x 的解析式 利用x的范围及函数单调性求最值 规范解答 1 选d 故该函数的最小正周期为 最大值为2 故选项b c错误 对于a 当时 故函数不单调 错误 对于选项d 当时 故函数是增加的 即d正确 2 选d 运用逆变换方法 作y 1 2sin2x cos2x的图像关于x轴的对称图像得的图像 再向左平移个单位得的图像 f x 2cosx 3 f x asinxcosx cos2x sin2x由得解得因此当时 f x 是增加的 当时 f x 是减少的 所以f x 在上的最大值为又因为故f x 在上的最小值为 拓展提升 解三角函数综合应用问题的注意点 1 两角和与差的正弦 余弦 正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中 需要利用这些公式 先把函数解析式化为y asin x 的形式 再进一步探讨定义域 值域 最值 单调性 奇偶性 周期性 对称性等性质 2 注意特殊角三角函数值 诱导公式等基础知识的应用 主要考查基本运算能力 变式训练 已知函数的最小正周期为 1 求 的值 2 求函数f x 在区间上的取值范围 解析 因为函数f x 的最小正周期为 且 0 所以解得 1 2 由 1 得因为所以所以所以所以f x 在区间上的取值范围为 满分指导 解答三角函数综合题的规范 典例 12分 2012 北京高考 已知函数 1 求f x 的定义域及最小正周期 2 求f x 的递减区间 思路点拨 规范解答 1 由sinx 0得 x k k z 所以定义域为 x x k k z 3分 5分所以f x 的最小正周期8分 2 令 得其中10分所以递减区间为 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2012 江西高考 若则tan2 解析 选b 因为所以解方程得tan 3 根据倍角公式得故选b 2 2012 辽宁高考 已知则sin2 a 1 b c d 1 解析 选a 将等式两边平方 得sin2 cos2 2sin cos 2 2sin cos 1 sin2 1 3 2013 宝鸡模拟 已知且则等于 解析 选a 由得又所以故 4 2012 江苏高考 设 为锐角 若则的值为 解析 因为且 为锐角 所以所以所以所以答案 5 2012 湖北高考 设函数 cos2 x x r 的图像关于直线x 对称 其中 为常数 且 1 求函数f x 的最小正周期 2 若y f x 的图像经过点求函数f x 的值域 解析 1 且直线x 是f x 的图像的一条对称轴 即又的最小正周期为 2 由y f x 的图像过点得即则 函数f x 的值域为 1 已知函数其最大值为m 最小值为m 则m m等于 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选b