高三数学总复习 （回顾+突破+巩固+提升作业） 第四章 第三节 平面向量的数量积课件 文.ppt

第三节平面向量的数量积 1 两个向量的夹角 非零 0 180 0 或180 90 2 平面向量的数量积 1 平面向量数量积的定义已知两个向量a和b 它们的夹角为 把 叫作a与b的数量积 或内积 记作 2 数量积的几何意义a与b的数量积等于a的长度 a 与b在a方向上射影 b cos 的乘积 或b的长度 b 与a在b方向上射影 a cos 的乘积 a b cos a b 3 平面向量数量积的性质设a b都是非零向量 e是单位向量 为a与b 或e 的夹角 则 1 e a a e a cos 2 a b 3 当a与b同向时 a b a b 当a与b反向时 a b a b 特别地 a a 或者 a 4 cos 5 a b a b 0 a 2 a b 4 数量积的运算律 1 交换律 a b b a 2 数乘结合律 a b 3 分配律 a b c a b a b a b a c 5 平面向量数量积的坐标表示设向量a x1 y1 b x2 y2 向量a与b的夹角为 则 x1x2 y1y2 x1x2 y1y2 0 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 向量在另一个向量方向上的射影为数量 而不是向量 2 两个向量的数量积是一个实数 向量的加 减 数乘运算的运算结果是向量 3 由a b 0可得a 0或b 0 4 由a b a c及a 0不能推出b c 5 已知 abc中 bc为最长边 且a b 0 则 abc为钝角三角形 6 在四边形abcd中 且则四边形abcd为矩形 解析 1 正确 由向量的射影的定义可知正确 2 正确 由数量积及向量线性运算的定义易得正确 3 不正确 因为当a b时也有a b 0 而不必a 0或b 0 4 正确 向量的数量积不满足消去律 5 不正确 由a b 0得 a为锐角 又 a为最大的角 故三角形为锐角三角形 6 不正确 由可得四边形为平行四边形 由得四边形的对角线垂直 此四边形一定是菱形 不能判定为矩形 答案 1 2 3 4 5 6 1 若非零向量a b c满足a b 且a c 则c a 2b a 4 b 3 c 2 d 0 解析 选d 由a b及a c 得b c 则c a 2b c a 2c b 0 2 已知向量a 1 2 向量b x 2 且a a b 则实数x等于 a 9 b 4 c 0 d 4 解析 选a a b 1 x 4 由a a b 得1 x 8 0 x 9 3 已知向量a 1 2 b 2 3 若向量c满足 c a b c a b 则c a b c d 解析 选d 设c m n 则a c 1 m 2 n a b 3 1 对于 c a b 则有 3 1 m 2 2 n 又c a b 则有3m n 0 则有 4 已知向量a b满足 b 2 a与b的夹角 为60 则b在a上的射影是 解析 b在a上的射影是 b cos 2cos60 1 答案 1 5 已知 a b 2 a 2b a b 2 则a与b的夹角 为 解析 由 a b 2 a 2b a b 2 得a b 2 又 0 所以答案 考向1平面向量数量积的概念及运算 典例1 1 已知a 1 sin2x b 2 sin2x 其中x 0 若 a b a b 则tanx的值等于 a 1 b 1 c d 2 2012 天津高考 在 abc中 a 90 ab 1 ac 2 设点p q满足 r 若则 a b c d 2 3 2012 北京高考 已知正方形abcd的边长为1 点e是ab边上的动点 则的值为 的最大值为 思路点拨 规范解答 1 选a 由 a b a b 知 a b 所以sin2x 2sin2x 即2sinxcosx 2sin2x 而x 0 所以sinx cosx 即故tanx 1 2 选b 由题意可得由且得又ab 1 ac 2 4 1 2 解得 3 方法一 如图所示 以ab ad所在的直线分别为x y轴建立直角坐标系 设e t 0 0 t 1 则d 0 1 b 1 0 c 1 1 又 方法二 选取作为基底 设则答案 11 拓展提升 向量数量积的两种运算方法 1 当已知向量的模和夹角 时 可利用定义法求解 即a b a b cos 2 当已知向量的坐标时 可利用坐标法运算 即若a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 运用两向量的数量积可解决长度 夹角 垂直等问题 解题时应灵活选择相应公式求解 变式训练 1 若向量a 1 1 b 2 5 c 3 x 满足条件 8a b c 30 则x a 6 b 5 c 4 d 3 解析 选c 8a b 8 1 1 2 5 6 3 所以 8a b c 6 3 3 x 30 即18 3x 30 解得 x 4 故选c 2 已知两个单位向量e1 e2的夹角 为若向量b1 e1 2e2 b2 3e1 4e2 则b1 b2 解析 b1 b2 e1 2e2 3e1 4e2 3 e1 2 2e1 e2 8 e2 2 又 e1 1 e2 1 答案 6 考向2平面向量的垂直与夹角 典例2 1 已知a与b为两个不共线的单位向量 k为实数 若向量a b与向量ka b垂直 则k 2 设两个向量a b 满足 a 2 b 1 a与b的夹角为若向量2ta 7b与a tb的夹角为钝角 求实数t的范围 思路点拨 1 向量a b与向量ka b垂直等价于 a b ka b 0 展开用数量积公式求得k的值 2 利用向量的夹角为钝角与两向量的数量积小于0且两向量不共线反向解题 规范解答 1 a b ka b a b ka b 0 即ka2 k 1 a b b2 0 又 a b为两个不共线的单位向量 式可化为k 1 1 k a b 若1 k 0 则a b 1 这与a b不共线矛盾 若1 k 0 则k 1 1 k a b恒成立 综上可知 k 1时符合题意 答案 1 2 由向量2ta 7b与a tb的夹角为钝角 得即 2ta 7b a tb 0 化简得2t2 15t 7 0 解得 7 t 当夹角为 时 也有 2ta 7b a tb 0 但此时夹角不是钝角 设2ta 7b a tb 0 可求得 所求实数t的范围是 互动探究 本例 2 中若条件 向量2ta 7b与a tb的夹角为钝角 换为 向量2ta 7b与a tb的夹角为锐角 其他条件不变 其结论又如何呢 解析 向量2ta 7b与a tb的夹角为锐角 2ta 7b a tb 0 即2t2 15t 7 0 当夹角为0时 即2ta 7b a tb 0 则 所求实数t的范围是 拓展提升 1 两向量垂直的判断方法及应用 1 若a b为非零向量 则a b a b 0 若非零向量a x1 y1 b x2 y2 则a b x1x2 y1y2 0 2 一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的 向量的线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径 2 利用数量积求向量夹角的方法 1 利用向量数量积的定义得其中两向量夹角的范围为0 180 求解时应求出三个量 a b a b 或者找出这三个量之间的关系 2 利用坐标形式 若a x1 y1 b x2 y2 则 提醒 a b 0 0 0 0 是 为锐角 钝角 的必要而不充分条件 变式备选 已知 a 4 b 3 2a 3b 2a b 61 1 求a与b的夹角 2 求 a b 和 a b 3 若作 abc 求 abc的面积 解析 1 由 2a 3b 2a b 61 得4 a 2 4a b 3 b 2 61 a 4 b 3 代入上式求得a b 6 又 0 2 可先平方转化为向量的数量积 同理 3 由 1 知 考向3平面向量的模及应用 典例3 1 2013 合肥模拟 已知向量a cos sin 向量则 2a b 的最大值 最小值分别是 a b c 16 0 d 4 0 2 2013 赣州模拟 已知向量a b满足a b 0 a 1 b 2 则 2a b 3 在平面直角坐标系xoy中 已知点a 1 2 b 2 3 c 2 1 求以线段ab ac为邻边的平行四边形两条对角线的长 设实数t满足求t的值 思路点拨 1 运用三角函数的知识解决 2 可先求 2a b 2 然后再开方求 2a b 的值 3 将平行四边形两条对角线的长转化为向量的模长或两点间的距离问题解决 利用向量的坐标运算解决 规范解答 1 选d 由于 2a b 2 4a2 b2 4a b易知故 2a b 的最大值和最小值分别为4和0 2 2a b 2 4a2 4a b b2 4 a 2 b 2 8 答案 3 方法一 由题设知则 2 6 所以故所求的两条对角线的长分别为方法二 设该平行四边形的第四个顶点为d 两条对角线的交点为e 则e为bc的中点 e 0 1 又e 0 1 为ad的中点 所以d 1 4 故所求的两条对角线的长分别为 由题设知 由得 3 2t 5 t 2 1 0 从而5t 11 所以 拓展提升 解决向量模问题的方法 1 几何法 利用向量的几何意义 即利用向量的加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量 再利用余弦定理等方法求解 2 代数法 即利用公式或 a 2 a a把长度问题转化为数量积的运算来解决 变式训练 1 若a b c均为单位向量 且a b 0 a c b c 0 则 a b c 的最大值为 a b 1 c d 2 解析 选b 由向量a b c都是单位向量 可得a2 1 b2 1 c2 1 由a b 0及 a c b c 0 可知 a b c c2 1 因为 a b c 2 a2 b2 c2 2a b 2a c 2b c 所以有 a b c 2 3 2 a c b c 3 2 a b c 故 a b c 1 2 设在平面上有两个向量a cos sin 0 360 求证 向量a b与a b垂直 当向量a b与a b的模相等时 求 的大小 解析 因为 a b a b a 2 b 2故a b与a b垂直 由两边平方得所以而 a b 所以a b 0 则即cos 120 0 120 k 180 90 k z 即 k 180 210 k z 又0 360 则 30 或 210 满分指导 规范解答平面向量与三角函数的综合题 典例 12分 2013 西安模拟 已知向量其中x r 1 当时 求x值的集合 2 设函数f x a c 2 求f x 的最小正周期及其单调增区间 思路点拨 规范解答 1 2分 所求x值的集合为 4分 2 8分 最小正周期为 10分由 得 11分 单调增区间是 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 宜春模拟 在边长为1的正三角形abc中 e是ca的中点 则 a b c d 解析 选a 建立如图所示的直角坐标系 则依题意设d x1 0 e x2 y2 e是ca的中点 又故选a 2 2013 合肥模拟 已知三个向量a b c两两所夹的角都为120 且 a 1 b 2 c 3 则向量a b与向量c的夹角 的值为 a 30 b 60 c 120 d 150 解析 选d a b c a c b c 1 3 cos120 2 3 cos120 3 2012 广东高考 对任意两个非零的平面向量定义若两个非零的平面向量a b 满足a与b的夹角且和都在集合中 则 a b c 1 d 解析 选d 又结合选项a b c d分析可知 只有d符合 4 2013 陕西师大附中模拟 已知a m 1 b 1 n 1 其中m n为正数 若a b 0 则的最小值是 a 2 b c 4 d 解析 选c 因为a b 0 所以m 1 1 n 1 0 即m n 1 又m n为正数 所以当且仅当即时等号成立 故的最小值是4 5 2013 常德模拟 已知 a 2 b 0 且关于x的方程x2 a x a b 0有实根 则a与b的夹角的取值范围是 解析 由关于x的方程x2 a x a b 0有实根 得 a 2 4a b 0 设向量a b的夹角为 则又 a 2 b 0 答案 1 已知向量m n的夹角为且在 abc中 d为bc边的中点 则 a 1 b 2 c 3 d 4 解析 选a 由题意知 2 已知向量p 2 x 1 q x 3 且