高三数学总复习 （回顾+突破+巩固+提升作业） 第六章 第六节 直接证明与间接证明课件 文.ppt

第六节直接证明与间接证明 1 直接证明 定义 公理 定理 运算法则 充分条件 条 件 定义 公理 定理 2 间接证明 1 反证法的定义先假定命题结论的 成立 在这个前提下 若推出的结论与 相矛盾 或与命题中的 相矛盾 或与 相矛盾 从而说明命题结论的反面 成立 由此断定命题的结论 这种证明方法叫做反证法 反面 定义 公理 定理 已知条件 假定 不可能 成立 2 利用反证法证题的步骤 作出否定结论的假设 进行推理 导出矛盾 否定假设 肯定结论 简言之 否定 归谬 断言 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 综合法是直接证明 分析法是间接证明 2 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充要条件 3 用反证法证明结论 a b 时 应假设 a b 4 反证法是指将结论和条件同时否定 推出矛盾 5 在解决问题时 常常用分析法寻找解题的思路与方法 再用综合法展现解决问题的过程 6 证明不等式最合适的方法是分析法 解析 1 错误 综合法和分析法都是直接证明的方法 2 错误 分析法是从要证明的结论出发 逐步寻找使结论成立的充分条件 不必是充要条件 3 错误 应假设 a b 4 错误 反证法只是将结论进行否定 然后将这个反设作为条件 推出矛盾 5 正确 用分析法可以发现解决问题的思路 然后用综合法写出证明的步骤 6 正确 欲证的不等式两边都含有根号 且都大于0 因此可用分析法 通过平方等逐步寻求使其成立的条件 答案 1 2 3 4 5 6 1 若a b 0 则下列不等式中成立的是 b d 解析 选c a b 0 又b a 2 用分析法证明 欲使 a b 只需 c d 这里 是 的 a 充分条件 b 必要条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选b 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立 即 所以 是 的必要条件 3 用反证法证明命题时对结论 自然数a b c中至少有一个偶数 正确的反设是 a 自然数a b c中至少有两个偶数 b 自然数a b c都是奇数 c 自然数a b c中至少有两个偶数或都是奇数 d 自然数a b c都是偶数 解析 选b 原结论的反设应为 自然数a b c都是奇数 故选b 4 已知a b x均为正数 且a b 则的大小关系是 解析 答案 5 设a b是两个实数 给出下列条件 1 a b 2 2 a2 b2 2 其中能推出 a b中至少有一个大于1 的条件的是 填上序号 解析 取a 2 b 1 则a2 b2 2 从而 2 推不出结论 1 能够推出结论 即若a b 2 则a b中至少有一个大于1 可用反证法证明如下 假设a 1 且b 1 则a b 2与a b 2矛盾 因此假设不成立 即a b中至少有一个大于1 答案 1 考向1综合法的应用 典例1 2013 南昌模拟 对于定义域为 0 1 的函数f x 如果同时满足以下三条 对任意的x 0 1 总有f x 0 f 1 1 若x1 0 x2 0 x1 x2 1都有f x1 x2 f x1 f x2 成立 则称函数f x 为理想函数 试判断g x 2x 1 x 0 1 是否为理想函数 如果是 请予证明 如果不是 请说明理由 思路点拨 根据理想函数的定义 分析判断g x 是否满足理想函数的三个条件即可 规范解答 g x 2x 1 x 0 1 是理想函数 证明如下 因为x 0 1 所以2x 1 2x 1 0 即对任意x 0 1 总有g x 0 满足条件 g 1 21 1 2 1 1 满足条件 当x1 0 x2 0 x1 x2 1时 于是g x1 x2 g x1 g x2 由于x1 0 x2 0 所以于是g x1 x2 g x1 g x2 0 因此g x1 x2 g x1 g x2 满足条件 故函数g x 2x 1 x 0 1 是理想函数 互动探究 本例中条件不变 问题变为 若函数f x 是理想函数 证明f 0 0 如何求解 证明 令x1 x2 0 则满足x1 0 x2 0 x1 x2 1 于是有f 0 0 f 0 f 0 得f 0 0 又由条件 知f 0 0 故必有f 0 0 拓展提升 综合法证题的思路 变式备选 设a 0 b 0 a b 1 求证 证明 方法一 a 0 b 0 a b 1 方法二 a b 1 考向2分析法的应用 典例2 2013 合肥模拟 1 比较下面两组数的大小 直接写出结果 2 从 1 中结论中 你能否得出更一般的结论 证明你的结论 思路点拨 用分析法证明 从要证明的不等式出发 将其逐步简化 直至得出明显成立的不等式 规范解答 1 2 一般结论 若n n 则要证只要证只要证即只要证n2 3n 2 n2 3n 2 0 显然成立 拓展提升 分析法证题的技巧 1 逆向思考是用分析法证题的主要思想 通过反推 逐步寻找使结论成立的充分条件 正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键 2 证明较复杂的问题时 可以采用两头凑的办法 即通过分析法找出与左右两侧等价的中间结论 然后通过综合法由条件证明这个中间结论 从而使原命题得证 提醒 用分析法证明时 必须有文字说明 否则证法是错误的 变式训练 已知a 0 求证 证明 要证只要证 a 0 故只要证即从而只要证只要证即而该不等式显然成立 故原不等式成立 考向3反证法的应用 典例3 已知数列 an 满足a1 n n 其中 为实数 求证 数列 an 不是等比数列 思路点拨 先假设数列 an 是等比数列 则其前3项构成等比数列 由此推出矛盾 规范解答 由已知可得假设存在实数 使 an 是等比数列 则必有即于是可得9 0 矛盾 所以假设错误 即数列 an 不是等比数列 互动探究 本题条件不变 问是否存在实数 使得 an 是等差数列 解析 假设存在实数 使得 an 是等差数列 由已知得所以解得 18 于是an 18 3 n 1 3n 21 因此an 1 3n 18 代入中检验 成立 所以存在实数 18 使得 an 是等差数列 拓展提升 适合用反证法证明的六类问题适合用反证法证明的题型有 1 易导出与已知矛盾的命题 2 否定性命题 3 唯一性命题 4 至多 至少型命题 5 一些基本定理 6 必然性命题等 变式备选 已知非零实数a b c构成公差不为0的等差数列 求证 不能构成等差数列 证明 假设能构成等差数列 则由于是得bc ab 2ac 而由于a b c构成等差数列 即2b a c 所以 a c 2 4ac 即 a c 2 0 于是得a b c 这与a b c构成公差不为0的等差数列矛盾 故假设不成立 因此不能构成等差数列 满分指导 分析法与综合法的综合应用 典例 12分 2013 长沙模拟 已知函f x ln x 2 a b c是两两不相等的正实数 且a b c成等比数列 试判断f a f c 与2f b 的大小关系 并证明你的结论 思路点拨 规范解答 f a f c 2f b 2分证明如下 因为a b c是两两不相等的正实数 所以由基本不等式可得a c 4分又因为a b c成等比数列 所以b2 ac 于是a c 2b 6分而f a f c ln a 2 c 2 ln ac 2 a c 4 2f b 2ln b 2 ln b2 4b 4 8分 由于ac 2 a c 4 b2 2 a c 4 b2 4b 4 且函数f x ln x 2 是单调递增函数 10分因此ln ac 2 a c 4 ln b2 4b 4 故f a f c 2f b 12分 失分警示 下文 见规范解答过程 1 2013 西安模拟 设a b r 则 a b 1 是 4ab 1 的 a 充分不必要条件 b 必要不充分条件 c 充要条件 d 既不充分也不必要条件 解析 选a 若a b 1 则当且仅当取等号 若4ab 1 取a 4 b 1 这时4ab 16 1 但a b 3 1 即a b 1不成立 所以 a b 1 是 4ab 1 的充分不必要条件 2 2013 九江模拟 用反证法证明 圆内不是直径的两弦 不能互相平分 应假设 解析 应否定结论 故应假设 圆内不是直径的两弦 能互相平分 答案 圆内不是直径的两弦 能互相平分 3 2013 宝鸡模拟 已知a 0 b 0 且2a b 4 则的最小值为 解析 ab 2 当且仅当2a b 2时取等号 答案 4 2013 太原模拟 设数列 an 满足a1 0且 1 求 an 的通项公式 2 设证明 sn 1 解析 1 由题设得是公差为1的等差数列 2 由 1 得 1 已知集合p 1 4 9 16 25 若当a p b p时 有a b p 那么运算 可能是实数四则运算中的 a 加法 b 减法 c