高考数学总复习 第3节 三个重要的不等式课件 新人教A版选修45.ppt_第1页
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第三节三个重要的不等式 1 理解柯西不等式 排序不等式和贝努利不等式 2 会用柯西不等式证明不等式和求最值 一 柯西不等式1 二维形式 若a b c d都是实数 则 a2 b2 c2 d2 当且仅当时 等号成立 2 向量形式 设 是两个向量 则 当且仅当 是 或存在实数k 使时 等号成立 ac bd 2 ad bc 零向量 k a1b1 a2b2 anbn 2 ai kbi 三角不等式的几何意义是什么 提示 记o 0 0 a x1 y1 b x2 y2 则不等式的几何意义是在 oab中两边之和大于第三边 当且仅当o a b三点共线 并且点a b在原点o两旁时等号成立 三 排序不等式1 乱序和 反序和与顺序和 设a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn r 且a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn 设c1 c2 c3 cn是数列b1 b2 b3 bn的任意一个排列 则分别将s a1c1 a2c2 a3c3 ancn s1 a1bn a2bn 1 a3bn 2 anb1 s2 a1b1 a2b2 a3b3 anbn称为数组 a1 a2 a3 an 和数组 b1 b2 b3 bn 的 与 乱序和 反序和 顺序和 2 排序不等式 又称 设a1 a2 an b1 b2 b3 bn为两组实数 c1 c2 cn是b1 b2 bn的任一排列 则a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn 当且仅当a1 a2 an或b1 b2 bn时 反序和等于顺序和 排序原理 四 贝努利不等式1 如果x是实数 且 n为大于1的自然数 那么有 1 x n 2 设 为实数 x 1 如果 则 1 x 1 x 如果 则 1 x 1 x 当且仅当时等号成立 x 1 x 0 1 nx 0 1 0或 1 x 0 答案 a 4 如图所示 矩形opaq中 a1 a2 b1 b2 则阴影部分的矩形的面积之和 空白部分的矩形的面积之和 填 或 解析 这可沿题图中线段mn向上翻折比较即知 当然由题图我们可知 阴影面积 a1b1 a2b2 而空白面积 a1b2 a2b1 根据顺序和 反序和可知答案为 答案 等腰直角三角形aob的直角边长为1 如图 在此三角形中任取点p 过p分别引三边的平行线 与各边围成以p为顶点的三个三角形 图中阴影部分 求这三个三角形的面积和的最小值 以及取到最小值时p的位置 思路点拨 解答本题时用一个自变量无法表示三个三角形面积之和 因此先设点p坐标为 xp yp 并确定直线ab的方程 然后结合图形用xp yp表示出三个三角形面积之和 最后用柯西不等式求最值 特别提醒 本题易忽视等号成立的条件使解题思路受阻 贝努利不等式可把二项
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