数学解题中的三种_引入_.pdf

学习指导 数学解题中的三种 引入 陈玉生 福建省上杭二中 364200 解数学题时 若能恰到好处地引入一些 有效的数学工具或方法 往往能简捷快速获 解 收到事半功倍的效果 下面举例说明 一 引入直角坐标系 直角坐标系实现了数与形之间的沟通 引入直角坐标系 可使我们的解题左右逢源 例 1当实数 x y 满足约束条件 x 0 y x 2x y k 0 k 为常数 时 能使 z x 3y 的最大值为12 的 k 的值为 A 12 B 9 C 12 D 9 x O y y x 2x y k 0 P k 3 k 3 图1 解在平面直角坐标系中 作出x y所满 足的平面区域 如图 1 易知 当直线 z x 3y 经过直线 y x 与 2x y k 0 的交点 k 3 k 3 时 z 取得最 大值 12 所以 由 k 3 3 k 3 12 求得 k 9 故选 B 例 2某人在山坡 P 处观看对面山崖顶 上的一座铁塔 如图 2 所示 塔 高 BC 80 米 塔所在的山高 OB 220 米 OA 200 米 图 2 中所示的山坡可视为直线 l 且 点 P 在直线 l 上 l 与水平地面的夹角为 tan 1 2 试问 此人距水平地面多远时 观 看塔的视角 BPC 最大 不计此人的身高 A P O C B l 图2 A y x O P C B l 图3 解以 O 为原点建立平面直角坐标系 如 图 3 则 A 200 0 B 0 220 C 0 300 直线 l 的方程为 y 1 2 x 200 设点 P x y 则 P x 1 2 x 200 x 200 由 经过两点的直线的斜率公式得 kPC 1 2 x 200 300 x x 800 2x kPB 1 2 x 200 220 x x 640 2x 又 tan BPC kPB kPC 1 kPB kPC 7 第 2 期高中数学教与学 160 2x 1 x 800 2x x 640 2x 64x x2 288x 160 640 64 x 160 640 x 288 x 200 要使 tan BPC 达 到 最 大 只 须 x 160 640 x 288 达到最小 由均值不等式得 x 160 640 x 288 2160 槡 640 288 当 且仅当 x 160 640 x 时 上式取得等号 故当 x 320 时 tan BPC 最大 这时 点 P 的纵坐 标 y 为 y 320 200 2 60 由此实际问题知 0 BPC 2 所以 tan BPC 最大时 BPC 最大 故当此人距水平地面 60 米高时 观看铁 塔的视角 BPC 最大 评注本题引入了平面直角坐标系及函 数 使解题过程一气呵成 二 引入函数 函数是联系运动与静止 变化与定值的 有力工具 解题时 若能恰到好处地引入函 数 会对解题工作带来很大的帮助 例 3若 a ln 2 2 b ln 3 3 c ln 5 5 则 A a b c B c b a C c a b D b a 0 则 f x 1 ln x x2 当 0 x 0 f x 为增函 数 当 e x 时 f x 0 f x 为减函数 于 是 c b 排除选项 A D 又 a b ln 2 2 ln 3 3 3ln 2 2ln 3 6 ln 8 9 6 0 知 a 1 求证 f x 2g x 1 x 1 2 是否存在实数 k 使方程 1 2 g x2 f 1 x2 k有4 个不同的实根 若存在 求出 k 的取值范围 若不存在 说明理由 解 1 令 F x f x 2g x 1 x 1 即F x ln x 2 x 1 x 1 则F x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 1 x 1 2 x x 1 2 由 x 1 时 F x 0 知 F x 在 1 上为增函数 又 F x 在 x 1 处连续 得 F x 在 1 上为增函数 而 x 1 得 F x F 1 0 故 f x 2g x 1 x 1 2 原方程即为 1 2 x2 ln 1 x2 k 令 t x2 并变形得 1 2 t k ln 1 t 要使方程 有 4 个不同实根 则要方程 有两个不同正根 令 y1 1 2 t k y2 ln 1 t 它们的图象如图 4 所示 当直线与曲线 在点 t t0处相切时 由 y2 1 1 t 得 1 2 1 1 t0 于是 t0 1 得切点为 1 ln 2 这时切 线方程为 y2 ln 2 1 2 t 1 即 y2 1 2 t 8 高中数学教与学2010 年 ln 2 1 2 该 直 线 与 y 轴 的 交 点 为 0 ln 2 1 2 要使直线与曲线在 y 轴右边 有两个不同交点 则须0 k ln 2 1 2 即 1 2 ln 2 k 0 所以当 1 2 ln 2 k 0 所以所求 ABC 为非等腰锐角三角形 选 D 评注利用余弦定理的向量形式解决本 题时 要注意引入公比 k 同时要注意确定三 角形最大角的余弦值的正负 从而确定其形 状 例 2 ABC 中 b2 ac cos B 3 4 BA BC 3 2 求 a c 的值 解由余弦定理的向量形式可得 BA BC a2 c2 b2 2 3 2 即a 2 c2 b2 3 櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷 评析体积问题有时主要是求高 本题 通过引入向量的坐标表示 用向量法巧妙求 出点面距 从而简洁 明快地得到解决 运用 空间向量 特别是法向