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初中数学竞赛辅导资料（八）（含答案）连续正整数的性质甲内容提要一.两个连续正整数1.两个连续正整数一 定是互质的，其商是既约分数。2.两个连续正整数的积是偶数，且个位数只能是0，2，6。3.两个连续正整数的和是奇数，差是1。4.大于1的奇数都能写成两个连续正整数的和。例如312，793940，1115556。二.计算连续正整数的个数例如：不同的五位数有几个？这是计算连续正整数从10000到99999的个数，它是9999910000190000（个）1. n位数的个数一般可表示为910n-1(n为正整数，1001)例如一位正整数从1到9共9个（9100），二位数从10到99共90个（9101）三位数从100到999共900个（9102）2.连续正整数从n 到m的个 数是mn+1 把它推广到连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的连续数的个数的计算，举例如下：3.从13到49的连续奇数的个数是119从13到49的连续偶数的个数是1184. 从13到49能被3整除的正整数的个数是112从13到49的正整数中除以3余1的个数是113你能从中找到计算规律吗？三.计算连续正整数的和1. 123n（1n）（n是正整数）连续正整数从a到b的和记作(a+b) 把它推广到计算连续奇数、连续偶数、除以模m有同余数的和，举例如下：2. 11131555（1155）759（从11到55有奇数123个）3. 11141753（1153）480（从11到53正整数中除以3余2的数的个数共115）四. 计算由连续正整数连写的整数，各数位上的数字和1. 123456789各数位上的数字和是（09）（18）（45）95452. 123499100计算各数位上的数字和可分组为：（0，99），（1，98），（2，97）（48，51），（49，50）共有50个18，加上100中的1各数位上的数字和是18501901五. 连续正整数的积从1开始的n个正整数的积123n记作n！，读作n的阶乘1. n个连续正整数的积能被n！整除，如111213能被123整除；979899100能被4！整除；a（a+1）(a+2)(a+n)能被（n+1）！整除。2. n！含某因质数的个数。举例如下： 12310的积中含质因数2的个数共8个其中2，4，6，8，10都含质因数2暂各计1个，共5个其中422含两个质因数2增加了1个其中823含三个质因数2再增加2个 123130的积中含质因数5的个数的计算法5，10，15，125，130均含质因数5暂各计1个，共26个其中25，50，75，100均含52有两个5各加1个，共4个其中12553含三个5再增加2个积中含质因数5的个数是32乙例题例1. 写出和等于100的连续正整数解：1002504255201010其中2个50和10个10都不能写成连续正整数而4个25：1213，1114，1015，916得第一组连续正整数9，10，11，12，13，14，15，16。5个20可由20，1921，1822得第二组连续正整数18，19，20，21，22。例2. 一本书共1990页用0到9十个数码给每一页编号共要多少个数码？解：页数编码中，一位数1到9共9个两位数1099，共90个，用数码902180个三位数100999，共900个，用数码90032700个四位数10001990，共991个，用数码99143964个共用数码9180270039646853例3. 用连续正整数1到100这100个数顺次连接成的正整数：123499100。问：它是一个几位数？它的各位上的数字和是多少？ 如果从这个数中划去100个数字，使剩下的数尽可能地大，那么剩下的数的前十位数是多少？解： 这个数的位数=91+902+3=192各位上的数字和=1850+1=901(见上页第四点)划去100个数，从最高位开始并留下所有的9：包括18，1018，19中的1，2028，29中的2，50到56这里共有8191919191498个，再划去57，58中的两个5，剩下的数的前十位是9999978596。例4. 算术平方根的整数部分等于11的连续正整数共有几个？解：11，12算术平方根的整数部分等于11的正整数x是112x122;符合条件的连续正整数是121，122，123，143。共23个。例5. 已知两个连续正整数的积等于由同一个数码组成的三位数的2倍， 求这两个连续正整数。解：设连续正整数为x,x+1,相同数码的三位数为100a+10a+a根据题意，得x(x+1)=2(100a+10a+a) 即x(x+1)=222a （1）把222分解质因数得x(x+1)=2337a（2）连续正整数的积的个位数只能是0，2，6且0a9由（1）可知a可能是1，3，5，6，8分别代入（2）只有6适合x(x+1)=3637答所求的连续正整数是36和37丙练习241. 除以3余2的两位数共有_个，三位数有_个，n位数有_个。2. 从50到1000的正整数中有奇数_个，3的倍数_个。3. 由连续正整数连写的正整数1239991000是_位数，它的各位上的数字和是_。4. 把由1开始的正整数 依次写下去，直写到第198位为止， 那么这个数的末三位数是_，这个数的各位上的数字和是_这个数除以9的余数是_(1989年全国初中数学联赛题)5. 已知a=, b= 那么ab=_ ab的各位上的数字和是_(可用经验归纳法)6. 计算连续正整数的平方和的个位数： 12+22+32+92和的个位数是_ 12+22+32+192和的个位数是_ 12+22+32+292和的个位数是_ 12+22+32+392和的个位数是_ 12+22+32+1234567892和的个位数是（1990全国初中数学联赛题)7. 写出所有和能等于120的连续正整数(仿例1)它们共有三组：_，_，_。8. 连续正整数的积1234100这积中含质因数5的个数有_，积的末尾的零连续_个。9. 恰有35个连续正整数的算术平方根的整数部分相同这个相同的整数 是多少？ (1990年全国初中数学联赛题)10. .设a,b,c是三个连续正整数且a2=14884,c2=15376,那么b2是( ) (A)15116 (B)15129 (C)15144 (D)1537611. 计算： 2+4+6+100= 1+4+7+10+100= +10+15+100=12. 有11个正整数都是小于20，那么其中必有两个是互质数，这是为什么？如果有(n+1)个正整数，它们都小于2n，那么必有两个是互质数，试说明理由。13. 一串数1，4，7，10，697，700的规律是第一个数是1，以后的每一个数等于它前面的一个数加，直到700为止。将这些数相乘，试求所得的积的尾部的零的个数。(1988年全国初中数学联赛题) 提 示：先求积中含质因数5的个数答案：1.30，300，310 n-1 2. 475个，317个3.2893，135014.102，906，65.19909 6. 5，0，5，0，57. 39，40，41；22，23，24，25，26；1，2，3158. 24，249.1710.（B）11.2550，1717，105012.小于20的正整数中有10个奇数，与奇数连续的正偶数，它们必互质，把互质数放在同一个抽屉，设有10抽屉，11个正整数放入其中，至少有一个抽屉里放有两个。这一串数是除以3余1的正整数，我们来计算含质因数5的个数：