高考数学一轮复习 8.5 椭圆课件 文 新人教A版.ppt

第五节椭圆 知识梳理 1 必会知识教材回扣填一填 1 椭圆的定义 f1 f2 f1f2 2 椭圆的标准方程和几何性质 b b a a 坐标轴 原点 a a b b a 0 a 0 0 b 0 b 0 a 0 a b 0 b 0 2a 2b 2c 0 1 b2 c2 2 必备结论教材提炼记一记 1 设椭圆 1 a b 0 上任意一点p x y 则当x 0时 op 有最小值 这时 p在短轴端点处 当x a时 op 有最大值 这时 p在长轴端点处 2 椭圆的一个焦点 中心和短轴的一个端点构成直角三角形 其中a是斜边长 a2 b2 c2 3 已知过焦点f1的弦ab 则 abf2的周长为 4 若p为椭圆上任一点 f为其焦点 则a c pf a c b a 4a 3 必用技法核心总结看一看 1 常用方法 待定系数法 定义法 点差法 2 数学思想 数形结合思想 分类讨论思想与方程思想 小题快练 1 思考辨析静心思考判一判 1 平面内与两个定点f1 f2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆 2 椭圆上一点p与两焦点f1 f2构成 pf1f2的周长为2a 2c 其中a为椭圆的长半轴长 c为椭圆的半焦距 3 椭圆的离心率e越大 椭圆就越圆 4 椭圆既是轴对称图形 又是中心对称图形 解析 1 错误 由椭圆的定义知 当该常数大于 f1f2 时 其轨迹才是椭圆 而常数等于 f1f2 时 其轨迹为线段f1f2 常数小于 f1f2 时 不存在图形 2 正确 由椭圆的定义得 pf1 pf2 2a 又 f1f2 2c 所以 pf1 pf2 f1f2 2a 2c 3 错误 因为所以e越大 则越小 椭圆就越扁 4 正确 由椭圆的对称性知 其关于原点中心对称 也关于两坐标轴对称 答案 1 2 3 4 2 教材改编链接教材练一练 1 选修1 1p42t2 1 改编 已知椭圆 1的焦点在x轴上 焦距为4 则m等于 a 8b 7c 6d 5 解析 选a 因为椭圆 1的焦点在x轴上 所以解得6 m 10 因为焦距为4 所以c2 m 2 10 m 4 解得m 8 2 选修1 1p42t5 3 改编 已知椭圆的一个焦点为f 1 0 离心率为则椭圆的标准方程为 解析 设椭圆的标准方程为 1 a b 0 因为椭圆的一个焦点为f 1 0 离心率所以故椭圆的标准方程为答案 3 真题小试感悟考题试一试 1 2014 大纲版全国卷 已知椭圆c a b 0 的左 右焦点为f1 f2 离心率为过f2的直线l交c于a b两点 若 af1b的周长为则c的方程为 解析 选a 由椭圆的定义可知 af1 af2 2a bf1 bf2 2a 又因为 af1 af2 bf1 bf2 即4a 解得又则c 1 b2 a2 c2 2 所以椭圆的方程为 2 2014 辽宁高考 已知椭圆c 点m与c的焦点不重合 若m关于c的焦点的对称点分别为a b 线段mn的中点在c上 则 an bn 解析 根据题意 椭圆的左右焦点分别为f1 0 f2 0 由于点m的不确定性 不妨令其为椭圆的左顶点m 3 0 线段mn的中点为椭圆的上顶点h 0 2 则m关于c的焦点的对称点分别为a 2 3 0 b 2 3 0 而点n 3 4 据两点间的距离公式得 an bn 答案 12 3 2014 江西高考 设椭圆c 的左右焦点为f1 f2 过f2作x轴的垂线与c相交于a b两点 f1b与y轴相交于点d 若ad f1b 则椭圆c的离心率等于 解析 不妨令所以直线f1b的方程为令x 0可得即因为ad f1b 所以整理得故即解得e 负值舍去 答案 考点1椭圆的定义及应用 典例1 1 2015 本溪模拟 椭圆的左 右焦点分别为f1 f2 弦ab过f1 若 abf2的内切圆周长为 a b两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则 y1 y2 的值为 2 已知f1 f2是椭圆c a b 0 的两个焦点 p为椭圆c上的一点 且若 pf1f2的面积为9 则b 解题提示 1 由椭圆的定义可知 abf2的周长为4a 20 然后利用面积相等即 a b c r f1f2 y1 y2 其中r为内切圆半径 解决 2 注意到点p为椭圆上的一点 则有 pf1 pf2 2a 再利用求出 pf1 pf2 进而可求得b值 规范解答 1 abf2的内切圆周长为 所以 abf2的内切圆的半径为 又 abf2的周长为4a 20 所以 abf2的面积为 20 5 另一方面 abf2的面积为 f1f2 y1 y2 则 y1 y2 答案 2 由题意知 pf1 pf2 2a 所以 pf1 2 pf2 2 f1f2 2 4c2 所以 pf1 pf2 2 2 pf1 pf2 4c2 所以2 pf1 pf2 4a2 4c2 4b2 所以 pf1 pf2 2b2 所以 pf1 pf2 2b2 b2 9 所以b 3 答案 3 互动探究 将本例 2 中条件 pf1f2的面积为9 分别改为 f1pf2 60 则结果如何 解析 由题意得 pf1 pf2 2a 又 f1pf2 60 所以 pf1 2 pf2 2 2 pf1 pf2 cos60 f1f2 2 所以 pf1 pf2 2 3 pf1 pf2 4c2 所以3 pf1 pf2 4a2 4c2 4b2 所以 pf1 pf2 b2 所以所以b 3 规律方法 1 椭圆定义的应用范围 1 确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆 2 解决与焦点有关的距离问题 2 焦点三角形的应用椭圆上一点p与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为 焦点三角形 利用定义可求其周长 利用定义和余弦定理可求 pf1 pf2 通过整体代入可求其面积等 变式训练 2015 成都模拟 椭圆的左焦点为f 直线x m与椭圆相交于点a b 当 fab的周长最大时 fab的面积是 解析 设a 2cos sin fab的周长为2 af sin 2 2 cos sin 4 4sin 当 即a 1 时 fab的周长最大 此时 fab的面积为s 2 3 3 答案 3 加固训练 1 已知椭圆 y2 1 f1 f2为其两焦点 p为椭圆上任一点 则 pf1 pf2 的最大值为 a 6b 4c 2d 8 解析 选b 设 pf1 m pf2 n 则m n 2a 4 pf1 pf2 mn 4 当且仅当m n 2时 等号成立 2 椭圆 y2 1的左 右焦点分别为f1 f2 过f1作垂直于x轴的直线与椭圆相交 一个交点为p 则 pf2 解析 选a a2 4 b2 1 所以a 2 b 1 不妨设p在x轴上方 则f1 0 设p m m 0 则解得m 所以 pf1 根据椭圆定义 pf1 pf2 2a 所以 pf2 2a pf1 考点2椭圆的标准方程与几何性质 典例2 1 已知点p在以坐标轴为对称轴的椭圆上 点p到两焦点的距离分别为过点p作长轴的垂线恰好经过椭圆的一个焦点 则椭圆的标准方程为 2 2014 安徽高考 设f1 f2分别是椭圆e a b 0 的左 右焦点 过点f1的直线交椭圆e于a b两点 af1 3 f1b 若 ab 4 abf2的周长为16 求 af2 若cos af2b 求椭圆e的离心率 解题提示 1 考虑设出椭圆的标准方程 然后求参数 注意由已知条件不能确定焦点所在坐标轴 因此椭圆的标准方程有两种形式 2 根据椭圆的定义及三角形的周长求解 由已知条件及椭圆定义结合余弦定理 离心率的定义求解 规范解答 1 设椭圆的标准方程是 a b 0 或 a b 0 两个焦点分别为f1 f2 则由题意 知2a pf1 pf2 2 所以a 答案 一题多解 解答本例 1 还有如下方法 设椭圆的两个焦点分别为f1 f2 不妨令 pf1 pf2 由椭圆的定义 知2a pf1 pf2 2 即a 由 pf1 pf2 知 pf2垂直于长轴 故在rt pf2f1中 4c2 pf1 2 pf2 2 所以c2 于是b2 a2 c2 又所求椭圆的焦点可以在x轴上 也可以在y轴上 故所求椭圆的方程为答案 2 由 af1 3 bf1 ab 4 得 af1 3 bf1 1 因为 abf2的周长为16 所以由椭圆定义可得4a 16 af1 af2 2a 8 故 af2 2a af1 8 3 5 设 bf1 k 则k 0 且 af1 3k ab 4k 由椭圆定义可得 af2 2a 3k bf2 2a k 在 abf2中 由余弦定理可得 ab 2 af2 2 bf2 2 2 af2 bf2 cos af2b 即 4k 2 2a 3k 2 2a k 2 2a 3k 2a k 化简可得 a k a 3k 0 而a k 0 故a 3k 于是有 af2 3k af1 bf2 5k 因此 bf2 2 af2 2 ab 2 f1a f2a 故 af1f2为等腰直角三角形 从而 易错警示 本例 1 中易得出的错误结论 其原因是没有注意到题目中没有指明椭圆焦点的位置 误认为焦点在x轴上 在解决与椭圆方程有关问题时 如果题目中没有明确焦点位置 要注意分析题意或分类讨论 规律方法 1 用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤 1 作判断 根据条件判断椭圆的焦点在x轴上 还是在y轴上 还是两个坐标轴都有可能 2 设方程 根据上述判断设出方程 3 找关系 根据已知条件 建立关于a b c的方程组 4 得方程 解方程组 将解代入所设方程 即为所求 2 求椭圆离心率的方法 1 直接求出a c的值 利用离心率公式直接求解 2 列出含有a b c的齐次方程 或不等式 借助于b2 a2 c2消去b 转化为含有e的方程 或不等式 求解 提醒 当椭圆焦点位置不明确时 可设为 m 0 n 0 m n 也可设为ax2 by2 1 a 0 b 0 且a b 变式训练 如图 椭圆c a b 0 的左焦点为f1 上顶点为b2 右顶点为a2 过点a2作x轴的垂线交直线f1b2于点p 若 pa2 3b 则椭圆c的离心率为 解析 由题意知答案 加固训练 已知椭圆 a b 0 的左 右焦点分别为f1 c 0 f2 c 0 若椭圆上存在点p使则该椭圆的离心率的取值范围为 解析 依题意及正弦定理 得 注意到p不与f1f2共线 答案 1 1 考点3直线与椭圆的位置关系知 考情直线与椭圆的综合问题是高考命题的一个热点问题 主要以解答题的形式出现 考查椭圆的定义 几何性质 直线与椭圆的位置关系 考查学生分析问题 解决问题的能力 明 角度命题角度1 由直线与椭圆的位置关系研究椭圆的性质 典例3 2014 新课标全国卷 设f1 f2分别是椭圆c a b 0 的左 右焦点 m是c上一点且mf2与x轴垂直 直线mf1与c的另一个交点为n 1 若直线mn的斜率为 求c的离心率 2 若直线mn在y轴上的截距为2 且 mn 5 f1n 求a b 解题提示 1 将m f1的坐标都用椭圆的基本量a b c表示 由斜率条件可得到a b c的关系式 然后由b2 a2 c2消去b2 再 两边同除以a2 即得到离心率e的二次方程 由此解出离心率 2 利用 mf2 y轴 及 截距为2 可得ym 4 然后利用 mn 5 f1n 及焦半径公式即可求出a b的值 规范解答 1 因为由题知 又a2 b2 c2 联立整理得 2e2 3e 2 0 解得e 所以c的离心率为 2 由三角形中位线知识可知 mf2 2 2 即 4 设 f1n m 由题可知 mf1 4m 由两直角三角形相似 可得m n两点横坐标分别为c c 由焦半径公式可得 mf1 a ec nf1 a e c 且 mf1 nf1 4 1 命题角度2 由直线与椭圆的位置关系研究直线的性质 典例4 2014 天津高考 设椭圆 1 a b 0 的左 右焦点为f1 f2 右顶点为a 上顶点为b 已知 ab f1f2 1 求椭圆的离心率 2 设p为椭圆上异于其顶点的一点 以线段pb为直径的圆经过点f1 经过原点o的直线l与该圆相切 求直线l的斜率 解题提示 1 根据 ab f1f2 及a2 b2 c2求离心率 2 以pb为直径的圆经过点f1等价于 规范解答 1 设椭圆的右焦点f2的坐标为 c 0 由 ab f1f2 可得a2 b2 3c2 又b2 a2 c2 则所以 椭圆的离心率 2 由 1 知a2 2c2 b2 c2 故椭圆方程为设p x0 y0 由f1 c 0 b 0 c 有 x0 c y0 c c 由已知 有即 x0 c c y0c 0 又c 0 故有x0 y0 c 0 又因为点p在椭圆上 故 由 和 可得3x02 4cx0 0 而点p不是椭圆的顶点 故代入 得y0 即点p的坐标为设圆的圆心为t x1 y1 则进而圆的半径设直线l的斜率为k 依题意 直线l的方程为y kx 由l与圆相切 可得即整理得k2 8k 1 0 解得k 4 所以 直线l的斜率为4 或4 悟 技法1 直线与椭圆位置关系判断的步骤 1 联立直线方程与椭圆方程 2 消元得出关于x 或y 的一元二次方程 3 当 0时 直线与椭圆相交 当 0时 直线与椭圆相切 当 0时 直线与椭圆相离 2 直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法 通 一类1 2015 咸阳模拟 已知椭圆c a b 0 的离心率为e 直线l y x 2和圆o x2 y2 b2相切 1 求椭圆c的方程 2 过椭圆c的左顶点作直线m 与o相交于两点r s 已知 ors的面积为 求直线m的方程 解析 1 由直线l y x 2和圆o x2 y2 b2相切得解得b 又即得a2 3 故椭圆c的方程为 2 方法一 由 1 知 左顶点a 0 依题意知 直线m的斜率存在且不为0 设直线m的方程为 y k x k 0 所以圆心o 0 0 到直线m的距离因为直线m与圆o相交 所以d r 即解得k2 2且k 0 直线m与圆o相交所得的弦长 所以解得k2 1或k2 均适合k2 2且k 0 所以k 1或k 故直线m的方程为y x 或y x 方法二 由直线m过椭圆左顶点a 0 设直线m x ty 即x ty 0 原点o到直线m的距离为又 rs 其中于是 依题意得解得t2 1或t2 5 于是直线m x y 或m x y 即直线m的方程为x y 0 x y 0 2 2014 北京高考 已知椭圆c x2 2y2 4 1 求椭圆c的离心率 2 设o为原点 若点a在椭圆c上 点b在直线y 2上 且oa ob 试判断直线ab与圆x2 y2 2的位置关系 并证明你的结论 解析 1 由题意知 椭圆c的标准方程为 1 所以a2 4 b2 2 从而c2 a2 b2 2 因此a 2 c 故椭圆c的离心率 2 直线ab与圆x2 y2 2相切 证明如下 设点a b的坐标分别为 x0 y0 t 2 其中x0 0 因为oa ob 所以 0 即tx0 2y0 0 解得t 当x0 t时 y0 代入椭圆c的方程 得t 故直线ab的方程为x 圆心o到直线ab的距离d 此时直线ab与圆x2 y2 2相切 当x0 t时 直线ab的方程为y 2 x t 即 y0 2 x x0 t y 2x0 ty0 0 此时直线ab与圆x2 y2 2相切 综上所述 直线ab与圆x2 y2 2相切 规范解答12与椭圆有关的综合问题 典例 12分 2014 辽宁高考 圆x2 y2 4的切线与x轴正半轴 y轴正半轴围成一个三角形 当该三角形面积最