高考数学一轮复习 第六章 不等式、推理与证明（回扣主干知识+突破热点题型+提升学科素养）课件 文 苏教版.ppt

第六章不等式 推理与证明第一节不等关系及一元二次不等式的解法第二节二元一次不等式 组 与简单线性规划问题第三节基本不等式第四节合情推理与演绎推理第五节直接证明与间接证明专家讲坛 备考方向要明了 考什么 怎么考 1 了解现实世界和日常生活中的不等关系 了解不等式 组 的实际背景 掌握不等式的性质及应用 2 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型 3 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数 一元二次方程的关系 4 会解一元二次不等式 对给定的一元二次不等式 会设计求解的流程图 1 以不等式的大小关系比较和一元二次不等式的解法为主 2 已知二次函数的零点的分布 求一元二次方程中未知参数的取值范围2012年高考t13 3 与函数等知识综合考查一元二次不等式的相关知识 归纳知识整合 一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表 x xx2 x x1 x x2 r 探究 1 ax2 bx c 0 ax2 bx c 0 a 0 对一切x r都成立的条件是什么 自测牛刀小试 1 教材习题改编 已知集合a x x2 160 则a b 解析 由x2 160 得x 3或x3或x 1 故a b x 4 x 1或3 x 4 答案 x 4 x 1或3 x 4 答案 x 1 x 3 答案 6 4 教材习题改编 若关于x的一元二次方程x2 m 1 x m 0有两个不相等的实数根 则m的取值范围为 5 不等式x2 ax 40 即a2 16 a 4或a 4 答案 4 4 用不等式 组 表示不等关系 例1 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售 每天可销售100件 现在他采用提高售价 减少进货量的办法增加利润 已知这种商品的售价每提高1元 销售量就可能相应减少10件 若把提价后商品的售价设为x元 怎样用不等式表示每天的利润不低于300元 文字语言 大于 高于 超过 小于 低于 少于 大于等于 至少 不低于 小于等于 至多 不超过 符号语言 实际应用中不等关系与数学语言间的关系将实际问题中的不等关系写成相应的不等式 组 时 应注意关键性的文字语言与对应数学符号之间的正确转换 常见的文字语言及其转换关系如下表 1 某厂拟生产甲 乙两种适销产品 甲 乙产品都需要在a b两种设备上加工 在每台a b设备上加工一件甲产品所需工时分别为1小时和2小时 加工一件乙产品所需工时分别为2小时和1小时 a b两种设备每月有效使用台时数分别为400和500 写出满足上述所有不等关系的不等式 一元二次不等式的解法 若将本例 2 改为 x2 4x 5 0 呢 解 42 4 5 16 20 4 0 不等式x2 4x 5 0的解集为 一元二次不等式的解法 1 对于常系数一元二次不等式 可以用因式分解法或判别式法求解 2 对于含参数的不等式 首先需将二次项系数化为正数 若二次项系数不能确定 则需讨论它的符号 然后判断相应的方程有无实根 最后讨论根的大小 即可求出不等式的解集 1 解下列不等式 1 8x 1 16x2 2 x2 2ax 3a2 0 a 0 解 1 原不等式转化为16x2 8x 1 0 即 4x 1 2 0 故原不等式的解集为r 2 原不等式转化为 x a x 3a 0 a 0 3a a 原不等式的解集为 x 3a x a 例3 已知不等式mx2 2x m 1 0 1 若对所有的实数x不等式恒成立 求m的取值范围 2 设不等式对于满足 m 2的一切m的值都成立 求x的取值范围 自主解答 1 不等式mx2 2x m 1 0恒成立 即函数f x mx2 2x m 1的图象全部在x轴下方 当m 0时 1 2x 0 不符合题意 当m 0时 函数f x mx2 2x m 1为二次函数 需满足开口向下且方程mx2 2x m 1 0无解 一元二次不等式的恒成立问题 2 从形式上看 这是一个关于x的一元二次不等式 可以换个角度 把它看成关于m的一元一次不等式 并且已知它的解集为 2 2 求参数x的范围 设f m x2 1 m 1 2x 则其为一个以m为自变量的一次函数 其图象是直线 由题意知该直线当 2 m 2时线段在x轴下方 恒成立问题及二次不等式恒成立的条件 1 解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元 谁是参数 一般地 知道谁的范围 就选谁当主元 求谁的范围 谁就是参数 2 对于二次不等式恒成立问题 恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方 恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方 3 一元二次不等式恒成立的条件 ax2 bx c 0 a 0 恒成立的充要条件是 a 0且b2 4ac 0 x r ax2 bx c 0 a 0 恒成立的充要条件是 a 0且b2 4ac 0 x r 2 已知f x x2 2ax 2 a r 当x 1 时 f x a恒成立 求a的取值范围 解 法一 f x x a 2 2 a2 此二次函数图象的对称轴为x a 当a 1 时 f x 在 1 上单调递增 f x min f 1 2a 3 要使f x a恒成立 只需f x min a 即2a 3 a 解得 3 a 1 当a 1 时 f x min f a 2 a2 由2 a2 a 解得 1 a 1 综上所述 所求a的取值范围为 3 1 例4 某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元 辆 出厂价为12万元 辆 年销售量为10000辆 本年度为适应市场需求 计划提高产品质量 适度增加投入成本 若每辆车投入成本增加的比例为x 0 x 1 则出厂价相应地提高比例为0 75x 同时预计年销售量增加的比例为0 6x 已知年利润 出厂价 投入成本 年销售量 1 写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式 2 为使本年度的年利润比上年度有所增加 则投入成本增加的比例x应在什么范围内 一元二次不等式的应用 自主解答 1 由题意得y 12 1 0 75x 10 1 x 10000 1 0 6x 0 x 1 整理得y 6000 x2 2000 x 20000 0 x 1 解不等式应用题的步骤 4 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元 预测六月份销售额为500万元 七月份销售额比六月份递增x 八月份销售额比七月份递增x 九 十月份销售总额与七 八月份销售总额相等 若一月份至十月份销售总额至少达7000万元 则x的最小值是 解析 七月份的销售额为500 1 x 万元 八月份的销售额为500 1 x 2万元 则一月份到十月份的销售总额是3860 500 2 500 1 x 500 1 x 2 万元 根据题意有3860 500 2 500 1 x 500 1 x 2 7000 答案 20 不等关系强调的是关系 可用符号 b a b a b a b a b 等式子表示 就像相等关系可以用等式体现一样 不等关系可以用不等式体现 二次项系数中含有参数时 参数的符号影响不等式的解集 不要忘了二次项系数是否为零的情况 1 分类讨论的思想 含有参数的一元二次不等式一般需要分类讨论 在判断方程根的情况时 判别式是分类的标准 需要表示不等式的解集时 根的大小是分类的标准 2 转化思想 不等式在指定范围的恒成立问题 一般转化为求函数的最值或值域问题 创新交汇 一元二次不等式与函数交汇问题1 一元二次不等式的解法常与函数的零点 函数的值域 方程的根及指数函数 对数函数 抽象函数等交汇综合考查 2 解决此类问题可以根据一次 二次不等式 分式不等式 简单的指数 对数不等式的解法进行适当的变形求解 也可以利用函数的单调性把抽象不等式进行转化求解 例 2012 浙江高考 设a r 若x 0时均有 a 1 x 1 x2 ax 1 0 则a 解析 x 0 当a 1时 a 1 x 11 对于x2 ax 1 0 设其两根为x2 x3 且x20 又当x 0时 原不等式恒成立 通过y a 1 x 1与y x2 ax 1图象可知 1 本题具有以下创新点 1 本题是考查三次不等的恒成立问题 可转化为含参数的一元一次不等式及一元二次不等式的恒成立问题 2 本题将分类讨论思想 整体思想有机结合在一起 考查了学生灵活处理恒成立问题的方法和水平 2 解决本题的关键 1 将三次不等式转化为一元一次不等式和一元二次不等式问题 1 偶函数f x x r 满足 f 4 f 1 0 且在区间 0 3 与 3 上分别递减和递增 则不等式x3f x 0的解集为 解析 由图知 f x 0的解集为 4 1 1 4 不等式x3f x 0的解集为 4 1 0 1 4 答案 4 1 0 1 4 2 已知函数f x 的定义域为 f x 为f x 的导函数 函数y f x 的图象如图所示 且f 2 1 f 3 1 则不等式f x2 6 1的解集为 解析 由导函数图象知当x0 即f x 在 0 上为增函数 当x 0时 f x 1等价于f x2 6 f 2 或f x2 6 f 3 即 2 x2 6 0或0 x2 6 3 解得 2 3 3 2 答案 2 3 3 2 1 不等式2x2 x 1 0的解集是 答案 1 3 3 若关于x的不等式ax2 x 2a 0的解集为 则实数a的取值范围是 解析 依题意可知 问题等价于ax2 x 2a 0恒成立 当a 0时 x 0不恒成立 故a 0不合题意 当a 0时 要使ax2 x 2a 0恒成立 即f x ax2 x 2a的图象不在x轴的下方 4 汽车在行驶中 由于惯性作用 刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住 我们称这段距离为 刹车距离 刹车距离是分析交通事故的一个重要因素 在一个限速40km h的弯道上 甲 乙两辆汽车相向而行 发现情况不对 同时刹车 但还是相碰了 事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m 乙车的刹车距离略超过10m 又知甲 乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km h 之间有如下关系 s甲 0 1x 0 01x2 s乙 0 05x 0 005x2 问 是超速行驶应负主要责任 解 由题意列出不等式对甲车型 0 1x 0 01x2 12 解得x 30 x10 解得x 40 x30km h x乙 40km h 经比较知乙车超过限速 应负主要责任 备考方向要明了 考什么 怎么考 1 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组 2 了解二元一次不等式的几何意义 能用平面区域表示二元一次不等式组 3 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题 并能加以解决 1 考查形式 多以填空题形式出现 2 命题角度 1 求目标函数的最大值或最小值 或以最值为载体求其参数的值 范围 2 利用线性规划方法求解实际问题中的最优方案 3 将线性规划问题与其他知识相结合 如向量 不等式 导数等相结合命题 如2012年高考t14 归纳知识整合 1 二元一次不等式表示的平面区域 1 一般地 在平面直角坐标系中 二元一次不等式ax by c 0表示直线ax by c 0某一侧的所有点组成的平面区域 半平面 边界直线 不等式ax by c 0所表示的平面区域 半平面 边界直线 2 对于直线ax by c 0同一侧的所有点 x y 使得ax by c的值符号相同 也就是位于同一半平面的点 其坐标适合ax by c 0 而位于另一个半平面内的点 其坐标适合 不包括 包括 ax by c 0 3 可在直线ax by c 0的某一侧任取一点 一般取特殊点 x0 y0 从ax0 by0 c的来判断ax by c 0 或ax by c 0 所表示的区域 4 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域 是各个不等式所表示的平面区域的 符号 公共部分 探究 1 点p1 x1 y1 和p2 x2 y2 位于直线ax by c 0的两侧的充要条件是什么 提示 ax1 by1 c ax2 by2 c 0 不等式 一次 解析式 一次 2 线性规划中的基本概念 x y 集合 最大值 最小值 最大 值 最小值 探究 2 可行解与最优解有何关系 最优解是否唯一 提示 最优解必定是可行解 但可行解不一定是最优解 最优解不一定唯一 自测牛刀小试 1 教材习题改编 不等式 x 2y 1 x y 3 0在直角坐标平面内表示的区域 用阴影部分表示 应是下列图形中的 填序号 答案 2 如图所示 阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示的是 3 下列各点中 与点 1 2 位于直线x y 1 0的同一侧的是 填序号 2 1 1 1 1 3 2 3 解析 当x 1 y 2时 x y 1 1 2 1 2 0 当x 1 y 3时 x y 1 1 3 1 1 0 故 1 3 与 1 2 位于直线x y 1 0的同侧 答案 答案 5 答案 11 二元一次不等式 组 表示的平面区域 答案 1 二元一次不等式表示的平面区域的画法在平面直角坐标系中 设有直线ax by c 0 b不为0 及点p x0 y0 则 1 若b 0 ax0 by0 c 0 则点p在直线的上方 此时不等式 ax by c 0表示直线ax by c 0的上方的区域 2 若b 0 ax0 by0 c 0 则点p在直线的下方 此时不等式ax by c 0表示直线ax by c 0的下方的区域 注 若b为负 则可先将其变为正 3 若是二元一次不等式组 则其平面区域是所有平面区域的公共部分 解析 其中平面区域kx y 2 0是含有坐标原点的半平面 直线kx y 2 0又过定点 0 2 这样就可以根据平面区域的面积为4 确定一个封闭的区域 作出平面区域即可求解 平面区域如图所示 根据区域面积为4 得a 2 4 代入直线方程 得k 1 答案 1 利用线性规划求最值 保持例题条件不变 如何解决下列问题 2 设z x2 y2 求z的取值范围 目标函数最值问题分析 1 线性目标函数的最大 小 值一般在可行域的顶点处取得 也可能在边界处取得 2 求线性目标函数的最优解 要注意分析线性目标函数所表示的几何意义 在y轴上的截距或其相反数 解析 作出x y满足的可行域 如图中阴影部分所示 则z在点a处取得最大值 在点c处取得最小值 又kbc 1 kab 1 1 a 1 即 1 a 1 答案 1 1 线性规划的实际应用 例3 2012 江西高考 某农户计划种植黄瓜和韭菜 种植面积不超过50亩 投入资金不超过54万元 假设种植黄瓜和韭菜的产量 成本和售价如下表 为使一年的种植总利润 总利润 总销售收入 总种植成本 最大 那么黄瓜和韭菜的种植面积 单位 亩 分别为 答案 3020 解答线性规划实际问题的步骤如下 1 根据题意设出变量 找出约束条件和目标函数 2 准确作出可行域 求出最优解 3 将求解出来的结论反馈到实际问题当中 设计最佳方案 3 a b两种规格的产品需要在甲 乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品 已知a产品需要在甲机器上加工3小时 在乙机器上加工1小时 b产品需要在甲机器上加工1小时 在乙机器上加工3小时 在一个工作日内 甲机器至多只能使用11小时 乙机器至多只能使用9小时 a产品每件利润300元 b产品每件利润400元 则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是 元 答案 1700 1 直线定界 即若不等式不含等号 则应把直线画成虚线 若不等式含有等号 把直线画成实线 2 特殊点定域 即在直线ax by c 0的某一侧取一个特殊点 x0 y0 作为测试点代入不等式检验 若满足不等式 则表示的就是包括该点的这一侧 否则就表示直线的另一侧 特别地 当c 0时 常把原点作为测试点 当c 0时 常选点 1 0 或者 0 1 作为测试点 1 在平面直角坐标系内作出可行域 2 考虑目标函数的几何意义 将目标函数进行变形 3 在可行域内平行移动目标函数变形后的直线 从而确定最优解 4 将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 创新交汇 与线性规划有关的交汇问题1 线性规划问题常与指数函数 对数函数 向量以及解析几何的相关知识交汇命题 2 解决此类问题的思维精髓是 数形结合 作图要精确 图上操作要规范 例 2012 江苏高考 已知正数a b c满足 5c 3a b 4c a clnb a clnc 则的取值范围是 答案 e 7 1 本题具有以下创新点 1 命题角度新颖 本题不是直接给出线性约束条件和目标函数求最值 因而需要将所给不等式组进行合理转化后 约束条件才明朗 2 考查知识点新颖 本题将不等式 对数 指数函数 导数以及曲线的切线问题相交汇 运算求解能力 运用数形结合 分类讨论的思想方法分析与解决问题的能力要求较高 答案 4 解析 平面区域d如图所示 要使指数函数y ax的图象上存在区域d上的点 所以1 a 3 答案 1 3 答案 2 答案 1 答案 3 备考方向要明了 考什么 怎么考 1 了解基本不等式的证明过程 2 会用基本不等式解决简单的最大 小 值问题 1 以填空题的形式考查基本不等式的应用 如比较大小 求最值等 2011年高考t8 2 在实际问题中和函数建模综合起来 考查基本不等式在求函数最值中的应用 如2012年江苏t17等 归纳知识整合 1 基本不等式成立的条件 2 等号成立的条件 当且仅当时取等号 a 0 b 0 a b 探究 1 如何理解基本不等式中 当且仅当 的含义 2 几个重要的不等式 2ab 2 两个正实数的算术 平均数不小于它的几何平均数 4 利用基本不等式求最值问题已知x 0 y 0 则 x y x y 探究 2 当利用基本不等式求最大 小 值时 等号取不到时 如何处理 自测牛刀小试 答案 18 1 已知m 0 n 0 且mn 81 则m n的最小值为 答案 3 答案 2 答案 2 2 答案 4 利用基本不等式证明不等式 利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况 要从整体上把握运用基本不等式 对不满足使用基本不等式条件的可通过 变形 来转换 常见的变形技巧有 拆项 并项 也可乘上一个数或加上一个数 1 的代换法等 利用基本不等式求最值 例2 1 2012 浙江高考 若正数x y满足x 3y 5xy 则3x 4y的最小值是 利用基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值时 要注意其必须满足的三个条件 一正 二定 三相等 1 一正 就是各项必须为正数 2 二定 就是要求和的最小值 必须把构成和的二项之积转化成定值 要求积的最大值 则必须把构成积的因式的和转化成定值 3 三相等 是利用基本不等式求最值时 必须验证等号成立的条件 若不能取等号则这个定值就不是所求的最值 这也是最容易发生错误的地方 2 若正数a b满足ab a b 3 求ab的取值范围 利用基本不等式解决实际问题 1 将该厂家2014年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数 2 该厂家2014年的年促销费用投入多少万元时 厂家利润最大 解实际应用题时应注意的问题 1 设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数 2 根据实际问题抽象出函数的解析式后 只需再利用基本不等式求得函数的最值 3 在求函数的最值时 一定要在定义域 使实际问题有意义的自变量的取值范围 内求 4 有些实际问题中 要求最值的量需要用几个变量表示 同时这几个变量满足某个关系式 这时问题就变成了一个条件最值 可用求条件最值的方法求最值 1 使用基本不等式求最值 其失误的真正原因是对其存在前提 一正 二定 三相等 的忽视 要利用基本不等式求最值 这三个条件缺一不可 2 在运用基本不等式时 要特别注意 拆 拼 凑 等技巧 使其满足基本不等式中 正 定 等 的条件 3 连续使用公式时取等号的条件很严格 要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致 创新交汇 基本不等式在其他数学知识中的应用 1 考题多以函数 方程 立体几何 解析几何 数列等知识为载体考查基本不等式求最值问题 2 解决此类问题的关键是正确利用条件转换成能利用基本不等式求解的形式 同时要注意基本不等式的使用条件 1 本题具有以下创新点 1 本题是对数函数的图象问题 通过分析 转化为基本不等式求最值问题 2 本题将指数 对数函数的性质与基本不等式相结合 考查了考生分析问题 解决问题的能力 2 解决本题的关键有以下几点 1 正确求出a b c d四点的坐标 2 正确理解a b的几何意义 并能正确用a c b d的坐标表示 答案 4 答案 18 备考方向要明了 考什么 怎么考 1 了解合情推理的含义 能利用归纳和类比等进行简单的推理 了解合情推理在数学发现中的作用 2 了解演绎推理的重要性 掌握演绎推理的基本模式 并能运用它们进行一些简单推理 3 了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异 1 合情推理的考查常单独命题 以填空题的形式考查 如2011年高考t14等 2 对演绎推理的考查则渗透在解答题中 侧重于对推理形式的考查 归纳知识整合 1 合情合理 1 归纳推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 特点 是由到 由到的推理 全部对象 部分 整体 个别 一般 2 类比推理 定义 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有的推理 特点 类比推理是由到的推理 探究 1 归纳推理的结论一定正确吗 提示 不一定 结论是否真实 还需要经过严格的逻辑证明和实践检验 这些特征 特殊 特殊 2 演绎推理 1 模式 三段论 大前提 已知的 小前提 所研究的 结论 根据一般原理 对做出的判断 2 特点 演绎推理是由到的推理 探究 2 演绎推理所获得的结论一定可靠吗 提示 不一定 只有前提是正确的 推理形式是正确的 结论才一定是真实的 错误的前提则可能导致错误的结论 一般原理 特殊情况 特殊情况 一般 特殊 自测牛刀小试 1 下面几种推理 由圆的性质类比出球的有关性质 由直角三角形 等腰三角形 等边三角形的内角和是180 归纳出所有三角形的内角和都是180 某次考试张军成绩是100分 由此推出全班同学成绩都是100分 三角形的内角和是180 四边形的内角和是360 五边形的内角和是540 由此得出凸多边形的内角和是 n 2 180 其中是合情推理的是 填序号 解析 是类比推理 是归纳推理 是非合情推理 答案 2 观察下列各式 55 3125 56 15625 57 78125 则52013的末四位数字为 解析 55 3125 56 15625 57 78125 58 390625 59 1953125 可得59与55的后四位数字相同 由此可归纳出5m 4k与5m k n m 5 6 7 8 的后四位数字相同 又2013 4 502 5 所以52013与55后四位数字相同为3125 答案 3125 3 给出下列三个类比结论 ab n anbn与 a b n类比 则有 a b n an bn loga xy logax logay与sin 类比 则有sin sin sin a b 2 a2 2ab b2与 a b 2类比 则有 a b 2 a2 2a b b2 其中结论正确是 填序号 解析 不正确 正确 答案 4 教材习题改编 有一段演绎推理是这样的 直线平行于平面 则直线平行于平面内所有直线 已知直线b 平面 直线a 平面 直线b 平面 则直线b 直线a 结论显然是错误的 这是因为 解析 大前提是错误的 直线平行于平面 则不一定平行于平面内所有直线 还有异面直线的情况 答案 大前提错误 归纳推理 例1 1 2012 江西高考 观察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 则a10 b10 2 设f x 先分别求f 0 f 1 f 1 f 2 f 2 f 3 然后归纳猜想一般性结论 并给出证明 自主解答 1 记an bn f n 则f 3 f 1 f 2 1 3 4 f 4 f 2 f 3 3 4 7 f 5 f 3 f 4 11 通过观察不难发现f n f n 1 f n 2 n n n 3 则f 6 f 4 f 5 18 f 7 f 5 f 6 29 f 8 f 6 f 7 47 f 9 f 7 f 8 76 f 10 f 8 f 9 123 所以a10 b10 123 答案 1 123 利用本例 2 的结论计算f 2014 f 2013 f 1 f 0 f 1 f 2015 的值 归纳推理的分类常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类 1 数的归纳包括数字归纳和式子归纳 解决此类问题时 需要细心观察 寻求相邻项及项与序号之间的关系 同时还要联系相关的知识 如等差数列 等比数列等 2 形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳 1 观察下列等式 可以推测 13 23 33 n3 n n 用含n的代数式表示 类比推理 类比推理的分类 1 类比定义 在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时 可以借助原定义来求解 2 类比性质 从一个特殊式子的性质 一个特殊图形的性质入手 提出类比推理型问题 求解时要认真分析两者之间的联系与区别 深入思考两者的转化过程是求解的关键 3 类比方法 有一些处理问题的方法具有类比性 我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中 注意知识的迁移 证明 如图所示 ab ac ad bc abd cad abc dba 演绎推理 2 求f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 的值 2 由 1 可知 1 f x f 1 x 即f x f 1 x 1 则f 2 f 3 1 f 1 f 2 1 f 0 f 1 1 则f 2 f 1 f 0 f 1 f 2 f 3 3 演绎推理的结构特点 1 演绎推理是由一般到特殊的推理 其最常见的形式是三段论 它是由大前提 小前提 结论三部分组成的 三段论推理中包含三个判断 第一个判断称为大前提 它提供了一个一般的原理 第二个判断叫小前提 它指出了一个特殊情况 这两个判断联合起来 提示了一般原理和特殊情况的内在联系 从而产生了第三个判断 结论 2 演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系 解题时要找准正确的大前提 一般地 若大前提不明确时 一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提 1 归纳推理的一般步骤 通过观察个别情况发现某些相同性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题 猜想 检验猜想 2 类比推理的一般步骤 找出两类事物之间的相似性或一致性 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的命题 猜想 检验猜想 1 归纳是由特殊到一般的推理 2 类比是由特殊到特殊的推理 3 演绎推理是由一般到特殊的推理 4 从推理的结论来看 合情推理的结论不一定正确 有待证明 若大前提和小前提正确 则演绎推理得到的结论一定正确 创新交汇 推理与证明的交汇问题1 归纳推理主要有数与式的归纳推理 图形中的归纳推理 数列中的归纳推理 类比推理主要有运算的类比 性质的类比 平面与空间的类比 题型多为客观题 而2012年福建高考三角恒等式的推理与证明相结合出现在解答题中 是高考命题的一个创新 2 解决此类问题首先要通过观察特例发现某些相似性 特例的共性或一般规律 然后把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题 猜想 最后对所得的一般性命题进行检验 例 2012 福建高考 某同学在一次研究性学习中发现 以下五个式子的值都等于同一个常数 1 sin213 cos217 sin13 cos17 2 sin215 cos215 sin15 cos15 3 sin218 cos212 sin18 cos12 4 sin2 18 cos248 sin 18 cos48 5 sin2 25 cos255 sin 25 cos55 1 试从上述五个式子中选择一个 求出这个常数 2 根据 1 的计算结果 将该同学的发现推广为三角恒等式 并证明你的结论 1 本题的创新点 1 本题给出一个等于同一个常数的5个代数式 但没有给出具体的值 需要学生求出这个常数 这打破以往给出具体关系式的模式 2 本题没有给出具体的三角恒等式 需要考生归纳并给出证明 打破了以往只归纳不证明的方式 2 解决本题的关键 1 正确应用三角恒等变换 用一个式子把常数求出来 2 通过观察各个等式的特点 找出共性 利用归纳推理正确得出一个三角恒等式 并给出正确的证明 2 若 abc的三个内角a b c满足cos2a cos2b 1 cos2c 试判断 abc的形状 提示 如果需要 也可以直接利用阅读材料及 1 中的结论 2 由二倍角公式 cos2a cos2b 1 cos2c可化为1 2sin2a 1 2sin2b 1 1 2sin2c 所以sin2a sin2c sin2b 设 abc的三个内角a b c所对的边分别为a b c 由正弦定理可得a2 c2 b2 根据勾股定理的逆定理知 abc为直角三角形 1 观察下列等式 cos2 2cos2 1 cos4 8cos4 8cos2 1 cos6 32cos6 48cos4 18cos2 1 cos8 128cos8 256cos6 160cos4 32cos2 1 cos10 mcos10 1280cos8 1120cos6 ncos4 pcos2 1 可以推测 m n p 答案 962 3 正方形abcd的边长是a 依次连结正方形abcd各边中点得到一个新的正方形 再依次连结新正方形各边中点又得到一个新的正方形 依此得到一系列的正方形 如图所示 现有一只小虫从a点出发 沿正方形的边逆时针方向爬行 每遇到新正方形的顶点时 沿这个正方形的边逆时针方向爬行 如此下去 爬行了10条线段 则这10条线段的长度的平方和是 4 已知 在梯形abcd中 如图 ab dc da ac和bd是梯形的对角线 求证 ac平分 bcd db平分 cba 解 等腰三角形两底角相等 大前提 adc是等腰三角形 1和 2是两个底角 小前提 1 2 结论 两条平行线被第三条直线截得的内错角相等 大前提 1和 3是平行线ad bc被ac截得的内错角 小前提 1 3 结论 等于同一个角的两个角相等 大前提 2 1 3 1 小前提 2 3 即ac平分 bcd 结论 同理可证db平分 cba 备考方向要明了 考什么 怎么考 1 了解直接证明的两种基本方法 分析法和综合法 了解分析法和综合法的思考过程 特点 2 了解间接证明的一种基本方法 反证法 了解反证法的思考过程 特点 1 用综合法 反证法证明问题是高考的热点 题型多为解答题 2 主要以不等式 立体几何 解析几何 函数与方程 数列等知识为载体考查 题目具有一定的综合性 属于高档题 如2012高考t16 归纳知识整合 1 直接证明 1 综合法 定义 利用已知条件和某些数学定义 公理 定理等 经过一系列的 最后推导出所要证明的结论 这种证明方法叫做综合法 推理论证 成立 2 分析法 定义 从要证明的出发 逐步寻求使它成立的 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 已知条件 定理 定义 公理等 为止 这种证明方法叫做分析法 结论 充分条件 探究 1 综合法与分析法有什么联系与差异 提示 综合法与分析法是直接证明的两种基本方法 综合法的特点是从已知看可知 逐步推出未知 在使用综合法证明时 易出现的错误是因果关系不明确 逻辑表达混乱 分析法是从未知看需知 逐步靠拢已知 当命题的条件与结论之间的联系不够明显 直接 证明中需要用哪些知识不太明确具体时 往往采用从结论出发 结合已知条件 逐步反推 寻求使当前命题成立的充分条件 把证明转化为判定这些条件是否具备的问题 2 间接证明反证法 假设原命题 经过正确的推理 最后得出 因此说明假设错误 从而证明了原命题成立 这样的证明方法叫做反证法 探究 2 在什么情况下可考虑利用反证法证明问题 提示 反证法是间接证明的一种方法 它适用于以下两种情形 1 要证的结论与条件之间的联系不明显 直接由条件推出结论的线索不够清晰 2 若从正面证明 需要分成多种情形进行讨论 而从反面证明 只需研究一种或很少的几种情形 不成立 矛盾 自测牛刀小试 1 下列表述 综合法是由因导果法 综合法是顺推法 分析法是执果索因法 分析法是逆推法 反证法是间接证法 其中正确的有 填序号 解析 由综合法 分析法和反证法的推理过程可知 都正确 答案 答案 4 在不等边三角形中 a为最大边 要想得到 a为钝角的结论 三边a b c应满足 答案 a2 b2 c2 答案 3 综合法的应用 利用综合法证明问题的步骤 证明 a b c 0 a2 b2 2ab a2 b2 a b 2ab a b a3 b3 a2b ab2 2ab a b 2a2b 2ab2 a3 b3 a2b ab2 同理 b3 c3 b2c bc2 a3 c3 a2c ac2 将三式相加得 分析法的应用 分析法的适用条件当所证命题不知从何入手时 有时可以运用分析法得到解决 特别是对于条件简单而结论复杂的题目 往往行之有效 对含有根式的证明问题要注意分析法的使用 反证法的应用 例3 设 an 是公比为q的等比数列 sn是它的前n项和 1 求证 数列 sn 不是等比数列 2 数列 sn 是等差数列吗 为什么 自主解答 1 证明 若 sn 是等比数列 则s s1 s3 即a 1 q 2 a1 a1 1 q q2 a1 0 1 q 2 1 q q2 解得q 0 这与q 0相矛盾 故数列 sn 不是等比数列 2 当q 1时 sn 是等差数列 当q 1时 sn 不是等差数列 假设q 1时 s1 s2 s3成等差数列 即2s2 s1 s3 2a1 1 q a1 a1 1 q q2 由于a1 0 2 1 q 2 q q2 即q q2 q 1 q 0 这与q 0相矛盾 综上可知 当q 1时 sn 是等差数列 当q 1时 sn 不是等差数列 1 反证法证明问题的步骤 1 反设 假设命题的结论不成立 即假定原结论的反而为真 2 归谬 从反设和已知条件出发 经过一系列正确的逻辑推理 得出矛盾结果 3 存真 由矛盾结果 断定反设不真 从而肯定原结论成立 2 反证法的解题原则反证法的原理是 正难则反 即如果正面证明有困难时 或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时 可以考虑用反证法 3 反证法中常见词语的否定形式 3 求证 a b c为正实数的充要条件是a b c 0 且ab bc ca 0和abc 0 证明 必要性 直接证法 a b c为正实数 a b c 0 ab bc ca 0 abc 0 因此必要性成立 充分性 反证法 假设a b c是不全为正的实数 由于abc 0 则它们只能是两负一正 不妨设a0 又 ab bc ca 0 a b c bc 0 且bc0 又a0 a b c 0 a 0 这与a0 即a b c 0 又a0 则a b c 0 与 式矛盾 故假设不成立 原结论成立 即a b c均为正实数 1 综合法证题的一般规律用综合法证明命题时 必须首先找到正确的出发点 也就是能想到从哪里起步 我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质 逐层推进 从而由已知逐步推出结论 2 分析法证题的一般规律分析法的思路是逆向思维 用分析法证题必须从结论出发 倒着分析 寻找结论成立的充分条件 应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达 下一步是上一步的充分条件 3 反证法证题的一般规律反证法证题的实质是证明它的逆否命题成立 反证法的主要依据是逻辑中的排中律 排中律的一般形式是 或者是a 或者是非a 即在同一讨论过程中 a和非a有且仅有一个是正确的 不能有第三种情况出现 1 必须先否定结论 即肯定结论的反面 当结论的反面呈现多样性时 必须罗列出各种可能结论 缺少任何一种可能 反证都是不完全的 2 反证法必须从否定结论进行推理 即应把结论的反面作为条件 且必须根据这一条件进行推证 否则 仅否定结论 不从结论的反面出发进行推理 就不是反证法 3 推导出的矛盾可能多种多样 有的与已知矛盾 有的与假设矛盾 有的与已知事实相矛盾等 推导出的矛盾必须是明显的 易误警示 不等式证明中的易误点 2 设1 a b c 证明logab logbc logca logba logcb logac 1 证明第 1 题有两处易误点 不能利用分析法将其正确转化 从而无法找到证明问题的切入口 不能灵活运用综合法将作差后的代数式变形 即分解因式 从而导致无法证明不等式成立 2 证明第 2 题时常因忽视条件 1 a b c 而不能挖掘出其隐含条件 即x logab y logbc 从而无法证明不等式 3 在选择证明方法时 一定要有 综合性选取 的意识 明确数学证明方法不是孤立的 在实际解题时 常常把分析法和综合法结合起来运用 先以分析法为主寻求解题思路 再用综合法表述解答或证明过程 设函数f x xn bx c n n b c r 2 设n为偶数 f 1 1 f 1 1 求b 3c的最小值和最大值 由图象知 b 3c在点 0 2 处取到最小值 6 在点 0 0 处取到最大值0 故b 3c的最小值为 6 最大值为0 2 如图 已知be cf分别为 abc的边ac ab上的高 g为ef的中点 h为bc的中点 求证 hg ef 3 已知a1 a2 a3 a4 100 求证 a1 a2 a3 a4中至少有一个数大于25 证明 假设a1 a2 a3 a4均不大于25 即a1 25 a2 25 a3 25 a4 25 则a1 a2 a3 a4 25 25 25 25 100 这与已知a1 a2 a3 a4 100矛盾 故假设错误 所以a1 a2 a3 a4中至少有一个数大于25 4 如图 已知两个正方形abcd和dcef不在同一平面内 m n分别为ab df的中点 1 若cd 2 平面ab