高考数学一轮复习 133 数学归纳法及其应用课件 新人教A版.ppt

最新考纲1 了解数学归纳法的原理 2 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 第3讲数学归纳法及其应用 1 数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题 可按下列步骤进行 1 归纳奠基 证明当n取 时命题成立 2 归纳递推 假设n k k n0 k n 时命题成立 证明当 时命题也成立 只要完成这两个步骤 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立 知识梳理 第一个值n0 n0 n n k 1 2 数学归纳法的框图表示 1 判断正误 请在括号中打 或 精彩ppt展示 1 用数学归纳法证明问题时 第一步是验证当n 1时结论成立 2 所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 3 用数学归纳法证明问题时 归纳假设可以不用 4 不论是等式还是不等式 用数学归纳法证明时 由n k到n k 1时 项数都增加了一项 诊断自测 a 1b 1 ac 1 a a2d 1 a a2 a3答案c 解析n k时 等式左边 1 2 3 k2 n k 1时 等式左边 1 2 3 k2 k2 1 k2 2 k 1 2 比较上述两个式子 n k 1时 等式的左边是在假设n k时等式成立的基础上 等式的左边加上了 k2 1 k2 2 k 1 2 答案d 4 用数学归纳法证明 当n为正奇数时 xn yn能被x y整除 当第二步假设n 2k 1 k n 命题为真时 进而需证n 时 命题亦真 解析因为n为正奇数 所以与2k 1相邻的下一个奇数是2k 1 答案2k 1 答案345n 1 考点一用数学归纳法证明等式 例1 用数学归纳法证明 所以当n k 1时 等式也成立 由 1 2 可知 对于一切n n 等式都成立 规律方法用数学归纳法证明与正整数有关的一些等式时 关键在于 先看项 弄清等式两边的构成规律 等式的两边各有多少项 项的多少与n的取值是否有关 由n k到n k 1时等式的两边变化的项 然后正确写出归纳证明的步骤 使问题得以证明 训练1 求证 n 1 n 2 n n 2n 1 3 5 2n 1 n n 证明 1 当n 1时 等式左边 2 右边 21 1 2 等式成立 2 假设当n k k n 时 等式成立 即 k 1 k 2 k k 2k 1 3 5 2k 1 当n k 1时 左边 k 2 k 3 2k 2k 1 2k 2 2 k 1 k 2 k 3 k k 2k 1 2 2k 1 3 5 2k 1 2k 1 2k 1 1 3 5 2k 1 2k 1 这就是说当n k 1时 等式成立 根据 1 2 知 对n n 原等式成立 考点二用数学归纳法证明不等式 例2 等比数列 an 的前n项和为sn 已知对任意的n n 点 n sn 均在函数y bx r b 0 且b 1 b r均为常数 的图象上 1 求r的值 2 当b 2时 记bn 2 log2an 1 n n 规律方法用数学归纳法证明不等式的关键是由n k时命题成立证n k 1时命题也成立 在归纳假设使用后可运用比较法 综合法 分析法 放缩法等来加以证明 充分应用基本不等式 不等式的性质等放缩技巧 使问题得以简化 考点三归纳 猜想 证明 1 求a1 a2 a3 并猜想 an 的通项公式 2 证明通项公式的正确性 规律方法 归纳 猜想 证明 的模式 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式 这种方法在解决探索性问题 存在性问题时起着重要作用 它的模式是先由合情推理发现结论 然后经逻辑推理证明结论的正确性 训练3 设数列 an 的前n项和为sn 且方程x2 anx an 0有一根为sn 1 n n 1 求a1 a2 2 猜想数列 sn 的通项公式 并给出证明 思想方法 1 数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想 第一步是递推的基础 第二步是递推的依据 两个步骤缺一不可 否则就会导致错误 有一无二 是不完全归纳法 结论不一定可靠 有二无一 第二步就失去了递推的基础 2 归纳假设的作用在用数学归纳法证明问题时 对于归纳假设要注意以下两点 1 归纳假设就是已知条件 2 在推证n k 1时 必须用上归纳假设 3 利用归纳假设的技巧在推证n k 1时 可以通过凑 拆 配项等方法用上归纳假设 此时既要看准目标 又要掌握n k与n k 1之间的关系 在推证时 分析法 综合法 反证法等方法都可以应用 易错防范 1 数学归纳法证题时初