高考数学一轮复习 第四章 第8讲 正弦定理和余弦定理的应用举例配套课件 理 新人教A版 .ppt

第8讲正弦定理和余弦定理的应用举例 考点梳理 测量距离问题 高度问题 角度问题 计算面积问题 航海问题 物理问题等 1 仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 目标视线在水平视线 的角叫仰角 目标视线在水平视线 的角叫俯角 如图 1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 2 实际问题中的常用角 上方 下方 2 方向角 相对于某正方向的水平角 如南偏东30 北偏西45 西偏北60 等 3 方位角指从正北方向 转到目标方向线的水平角 如b点的方位角为 如图 4 坡度 坡面与水平面所成的二面角的度数 顺时针 解三角形应用题的一般步骤 1 阅读理解题意 弄清问题的实际背景 明确已知与未知 理清量与量之间的关系 侧重考查从实际问题中提炼数学问题的能力 2 根据题意画出示意图 将实际问题抽象成解三角形问题的模型 3 根据题意选择正弦定理或余弦定理求解 4 将三角形问题还原为实际问题 注意实际问题中的有关单位问题 近似计算的要求等 助学 微博 解三角形应用题常有以下两种情形 1 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦定理求解 2 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形 这时需作出这些三角形 先解够条件的三角形 然后逐步求解其他三角形 有时需设出未知量 从几个三角形中列出方程 组 解方程 组 得出所要求的解 1 2012 江苏金陵中学 已知 abc的一个内角为120 并且三边长构成公差为4的等差数列 则三角形的面积等于 考点自测 2 若海上有a b c三个小岛 测得a b两岛相距10海里 bac 60 abc 75 则b c间的距离是 海里 3 2013 日照调研 如图 一船自西向东匀速航行 上午10时到达一座灯塔p的南偏西75 距塔68海里的m处 下午 2时到达这座灯塔的东南方向的n处 则这只船的航行速度为 海里 时 答案等边三角形 答案4 例1 如图所示 a b c d都在同一个与水平面垂直的平面内 b d为两岛上的两座灯塔的塔顶 测量船于水面a处测得b点和d点的仰角分别为75 30 于水面c处测得b点和d点的仰角均为60 ac 0 1km 考向一测量距离问题 1 求证 ab bd 2 求bd 1 证明在 acd中 dac 30 adc 60 dac 30 所以cd ac 0 1 又 bcd 180 60 60 60 故cb是 cad底边ad的中垂线 所以bd ba 方法总结 1 利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中 建立一个解三角形的模型 2 利用正 余弦定理解出所需要的边和角 求得该数学模型的解 3 应用题要注意作答 adb 45 a b c d在同一平面内 求两目标a b之间的距离 例2 2010 江苏 某兴趣小组要测量电视塔ae的高度h 单位 m 如图所示 垂直放置的标杆bc的高度h 4m 仰角 abe ade 考向二测量高度问题 1 该小组已测得一组 的值 算出了tan 1 24 tan 1 20 请据此算出h的值 2 该小组分析若干测得的数据后 认为适当调整标杆到电视塔的距离d 单位 m 使 与 之差较大 可以提高测量精度 若电视塔的实际高度为125m 试问d为多少时 最大 因此 算出的电视塔的高度h是124m 方法总结 1 测量高度时 要准确理解仰 俯角的概念 2 分清已知和待求 分析 画出 示意图 明确在哪个三角形应用正 余弦定理 3 注意竖直线垂直于地面构成的直角三角形 训练2 如图所示 测量河对岸的塔高ab时 可以选与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d 现测得 bcd bdc cd s 并在点c测得塔顶a的仰角为 求塔高ab 考向三运用正 余弦定理解决航海应用问题 方法总结 用解三角形知识解决实际问题的步骤 第一步 将实际问题转化为解三角形问题 第二步 将有关条件和求解的结论归结到某一个或两个三角形中 第三步 用正弦定理和余弦定理解这个三角形 第四步 将所得结果转化为实际问题的结果 训练3 2013 广州二测 如图 渔船甲位于岛屿a的南偏西60 方向的b处 且与岛屿a相距12海里 渔船乙以10海里 时的速度从岛屿a出发沿正北方向航行 若渔船甲同时从b处出发沿北偏东 的方向追赶渔船乙 刚好用2小时追上 此时到达c处 1 求渔船甲的速度 2 求sin 的值 航海 测量问题利用的就是目标在不同时刻的位置数据 这些数据反映在坐标系中就构成了一些三角形 根据这些三角形就可以确定目标在一定的时间内的运动距离 因此解题的关键就是通过这些三角形中的已知数据把测量目标归入到一个可解三角形中 规范解答8如何运用解三角形知识解决实际问题 审题路线图 1 分清已知条件和未知条件 待求 2 将问题集中到一个三角形中 3 利用正 余弦定理求解 点评 三角形应用题常见的类型 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量全部集中在一个三角形中 可用正弦定理或余弦定理解之 实际问题经抽象概括后 已知量与未知量涉及两个三角形 这时需按顺序逐步在两个三角形中求出问题的解 实际问题经抽象概括后 涉及的三角形只有一个 但由题目已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余弦定理 1 2012 四川卷改编 如图 正方形abcd的边长