2019_2020学年高中数学第二章推理与证明章末综合检测（二）（含解析）新人教A版.docx

章末综合检测（二）（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.根据偶函数定义可推得“函数f（x）x2在R上是偶函数”的推理过程是（）A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理 D.非以上答案解析：选C.根据演绎推理的定义知，推理过程是演绎推理.2.余弦函数是偶函数，f（x）cos（x1）是余弦函数，因此f（x）cos（x1）是偶函数，以上推理（）A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确解析：选C.f（x）cos（x1）不是余弦函数，所以小前提错误.3.如图所示，黑、白两种颜色的正六边形地板砖按图中所示的规律拼成若干个图案，则第n个图案中白色地板砖的块数是（）A.4n2B.4n2C.2n4 D.3n3解析：选A.由题图可知，当n1时，a16；当n2时，a210；当n3时，a314.由此推测，第n个图案中白色地板砖的块数是an4n2.4.设a，b，c，d都是非零实数，则四个数：ab，ac，bd，cd（）A.都是正数B.都是负数C.两正两负D.一正三负或一负三正解析：选D.因为a，b，c，d都是非零实数，所以a，b，c，d中一定有2个符号相同或3个符号相同或4个符号相同，再根据同号为正，异号得负，可以判断：ab，ac，bd，cd一定是一正三负或一负三正.5.若a0，b0，则有（）A.2ba B.成立，运用类比方法可知，若点A（x1，sin x1），B（x2，sin x2）是函数ysin x（x（0，）图象上不同的两点，则类似地有结论（）A.sin B.sin C.sin D.sin 解析：选B.画出yx2的图象，由已知得AB的中点恒在点的上方，画出ysin x，x（0，）的图象可得A，B的中点恒在点的下方，故B正确.11.A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值，则（）A.A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形B.A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形C.A1B1C1是钝角三角形，A2B2C2是锐角三角形D.A1B1C1是锐角三角形，A2B2C2是钝角三角形解析：选D.因为三角形内角的正弦值是正值，所以A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0.因此A1B1C1是锐角三角形.假设A2B2C2也是锐角三角形，并设cos A1sin A2，则cos A1cos （90A2），所以A190A2.同理设cos B1sin B2，cos C1sin C2，则有B190B2，C190C2.又A1B1C1180，所以（90A2）（90B2）（90C2）180，即A2B2C290.这与三角形内角和等于180矛盾，所以原假设不成立.若A2B2C2是直角三角形，不妨设A2，则sin A21cos A1，而A1在（0，）内无解.故选D.12.如图是网络工作者经常用来解释网络动作的蛇形模型；数字1出现在第1行；数字2，3出现在第2行；数字6，5，4（从左至右）出现在第3行；数字7，8，9，10出现在第4行；，以此类推，则按网络运作顺序第n行第1个数（如第2行第1个数为2，第3行第1个数为4，）是（）A. B.C. D. 解析：选D.由题意分析可知，第n行总共有n个数字，nN*，所以第n行中最小的数字为1（12n1）1，最大的数字为n1，而第n行中第一个出现的数字是行中最小的，即.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知x，yR，且xy2，则x，y中至多有一个大于1，在用反证法证明时，假设应为.解析：“至多有一个大于1”包括“都不大于1和有且仅有一个大于1”，故其对立面为“x，y都大于1”.答案：x，y都大于114.观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的特点，则第100项为.解析：设nN*，则数字n共有n个，所以100，即n（n1）200.又因为nN*，所以n13，到第13个13时共有91项，从第92项开始为14，故第100项为14.答案：1415.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是.解析：为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A，B，C.从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A或B，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B，此时丙所拿的卡片为A.答案：1和316.在正三角形中，设它的内切圆的半径为r，容易求得正三角形的周长C（r）6r，面积S（r）3r2，发现S（r）C（r）.这是平面几何中的一个重要发现，请用类比推理的方法猜测对空间正四面体存在的类似结论为.解析：设正四面体的棱长为a，内切球的半径为r，利用等积变形易求得正四面体的高h4r.由棱长a，高h和底面三角形外接圆的半径构成直角三角形，得a2（4r）2，解得a2r.于是正四面体的表面积S（r）4（2r）2sin 6024r2，体积V（r）（2r）2sin 604r8r3，所以V（r）24r2S（r）.答案：V（r）S（r），S（r）为正四面体的表面积，V（r）为体积三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知：A，B都是锐角，且AB90，（1tan A）（1tan B）2.求证：AB45.证明：因为（1tan A）（1tan B）2，展开化简为tan Atan B1tan Atan B.因为AB90，tan（AB）1.又因为A，B都是锐角，所以0AB0，b0，2cab，求证：cac.证明：要证cac，只需证ac，即证|ac|，只需证（ac）2，只需证a22acc2a2ab，因为a0，所以只需证2cab.因为2cab成立.所以原不等式成立.19.（本小题满分12分）已知三个正数a，b，c，若a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，求证：a，b，c不成等差数列.证明：假设a，b，c构成等差数列，则有2bac，即4b2a2c22ac，又a2，b2，c2成公比不为1的等比数列，且a，b，c为正数，所以b4a2c2且a，b，c互不相等，即b2ac，因此4aca2c22ac，所以（ac）20，从而acb，这与a，b，c互不相等矛盾.故a，b，c不成等差数列.20.（本小题满分12分）已知在四棱锥 PABCD中，底面ABCD是矩形，且AD2，AB1，PA平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.（1）证明：PFDF；（2）判断并说明PA上是否存在点G，使得EG平面PFD.解： （1）证明：连接AF，则AF，DF，又AD2，所以DF2AF2AD2，所以DFAF，又PA平面ABCD，所以DFPA，又PAAFA，所以DFPF.（2）过点E作EHFD，交AD于点H，则EH平面PFD，且有AHAD，再过点H作HGDP交PA于点G，则HG平面PFD且AGAP.所以平面EHG平面PFD，所以EG平面PFD.从而线段AP上满足AGAP的点G即为所求.21.（本小题满分12分）已知椭圆1（ab0）具有性质：若M，N是椭圆上关于原点对称的两个点，点P为椭圆上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPMkPN是与点P的位置无关的定值.试对双曲线1（a0，b0）写出类似的性质，并加以证明.解：类似的性质为：若M，N是双曲线1（a0，b0）上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN，那么kPMkPN是与点P的位置无关的定值.证明如下：设M（m，n），则N（m，n），且1（a0，b0）.又设点P（x，y），则kPM，kPN，所以kPMkPN.将y2b2代入，可得kPMkPN（定值）.22.（本小题满分12分）已知f（x）（x，a