江苏省南通市通州高级中学高考数学总复习 第40讲 合情推理与演绎推理优秀课件.ppt

第40讲合情推理与演绎推理 主要内容 一 聚焦重点 三 廓清疑点 类比推理所得结论的真伪性 二 破解难点 合情推理和演绎推理的应用 理解合情推理与演绎推理 基础知识 推理 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程 推理包含前提和结论两部分 问题研究 如何利用归纳 类比和演绎进行推理 聚焦重点 归纳推理及其思维特点 基础知识 归纳推理 典型例题1 例1凸多面体的面数f 顶点数v和棱数e之间有着怎样的数量关系 思路分析 例1凸多面体的面数f 顶点数v和棱数e之间有着怎样的数量关系 观察与计算 一些特殊多面体的面数f 顶点数v和棱数e 分析与归纳 面数f 顶点数v和棱数e三个量之间的数量关系 提出猜想 检验与证明 所作猜想是否正确 思路分析 思路分析 思路分析 猜想 f v e 2 欧拉公式 证明 查找资料 上网检索 回顾反思 对有限资料进行观察 分析 归纳整理 提出带有规律性的结论 即猜想 检验猜想 1 归纳推理的一般步骤 回顾反思 3 归纳推理的几个特点 聚焦重点 类比推理及其思维特点 由两类对象具有某些类似特征 和其中一类对象的某些已知特征 推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 简称类比 基础知识 类比推理 典型例题2 例2在 abc中 ab ac ad bc 则将上述结论类比到空间 你能得到怎样的猜想 思路分析 四面体 三侧棱两两垂直 ae 底面bcd 证明猜想 证明猜想 bc af 回顾小结 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征 从而得出一个猜想 检验猜想 1 类比推理的一般步骤 2 类比推理的思维过程 回顾反思 3 类比推理的几个特点 回顾反思 归纳推理和类比推理都是根据已有事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行归纳 类比 然后提出猜想的推理 我们把它们统称为合情推理 通俗地说 合情推理就是 合乎情理 的推理 聚焦重点 演绎推理及其思维特点 基础知识 演绎推理 根据已有的事实和正确的结论 包括定义 公理 定理等 按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程 称为演绎推理 三段论 是演绎推理的一般模式 包括 大前提 已知的一般原理 小前提 所研究的特殊情况 结论 对特殊情况做出的判断 典型例题3 例3如图 d e f分别是bc ca ab上的点 bfd a de ba 求证 de fa 思路分析 例3如图 d e f分别是bc ca ab上的点 bfd a de ba 求证 de fa 要证de fa 已知de fa 只需证afde 已知de fa 只需证df ea 已知 bfd a 所以df ea成立 证明过程 证 1 同位角相等 两直线平行 大前提 bfd a 小前提 2 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 大前提 de ba且df ea 小前提 3 平行四边形的对边相等 大前提 de和fa为平行四边形的对边 小前提 回顾反思 1 本例证明连续采用了三个三段论 每一个大前提都对应一个定理 2 在证明时 我们把前一个三段论的结论又作为后一个三段论的小前提 3 为方便起见 大前提或小前提有时可以省略 证明过程 证 bfd a 小前提 又de ba 小前提 或写成 回顾反思 演绎推理是收敛性思维 虽缺少创造性 但却条理清晰 令人信服 利于科学的理论化和系统化 演绎推理的几个特点 破解难点 合情推理和演绎推理的应用 问题研究 合情推理与演绎推理在数学解题活动中各自起着怎样的作用呢 典型例题4 思路分析 分析 猜想 思路分析 例4 思路1不等式的左边能否设法求和 无法实施 思维受阻 思路2观察不等式的右边 你会想到什么 裂项相消 的结果 证明过程 例4 证明 回顾反思 1 思维策略 特例观察 归纳共同特征 猜想一般性结论 通过演绎推理 证明猜想 2 数学方法 通过放缩 裂项相消 3 思维误区 望 文 生义 固执求和 典型例题5 例5已知x r m是非零常数 且有问 f x 是否是周期函数 若是 求出它的一个周期 若不是 说明理由 思路分析 思路2根据结构特征 联想已学函数 由具体函数的周期性 类比得到函数f x 可能具有的性质 再作出证明 思路1设法求出函数解析式或作出其图象 通过观察再作判断 函数抽象 无法实施 例5 思考1从结构特征看 在你所学习过的常见函数中 是否存在具有类似性质的函数 思路分析 y tanx 思考2在这里 函数y tanx的类似性质是什么 思考3函数y tanx是周期函数吗 周期是多少 思考4那么 如果f x 是周期函数 你觉得它的一个周期可能是 4m 例5 思路分析 周期函数 t 4m y tanx 周期函数 证明过程 证明 事实上 所以 f x 是以4m为周期的周期函数 回顾反思 1 思维策略 观察结构 联想类比 2 数学方法 回到定义去 3 思维盲区 积累匮乏 联系 中断 4 思维误区 企图求出具体解析式 最终因梦想破灭 无功而返 以特殊代替一般 认定f x 就是正切函数 廓清疑点 类比推理所得结论的真伪性 问题研究 与归纳推理一样 类比推理也具有发现功能 但由类比作出的猜想未必是真实的 那么 如何判断其真伪性呢 典型例题6 已知椭圆 例6设斜率为k的直线l交椭圆 a b 0 于a b两点 线段ab中点为m 证明当直线l平行移动时 动点m在一条过原点的定直线上 思路分析 已知椭圆 思路1以直线l的纵截距m为参数 通过联立方程组 求出中点m的坐标 证明其坐标满足一条经过原点的直线方程 思路2本题为 中点弦 问题 也可采用 点差法 例6设斜率为k的直线l交椭圆 a b 0 于a b两点 线段ab中点为m 证明当直线l平行移动时 动点m在一条过原点的定直线上 证明过程 已知椭圆 探究1双曲线是否也有上述椭圆类似的几何性质 典型例题6 已知椭圆 例6设斜率为k的直线l交椭圆 a b 0 于a b两点 线段ab中点为m 证明当直线l平行移动时 动点m在一条过原点的定直线上 等价结论 椭圆的一组平行弦的中点都在一条经过椭圆中心的定直线上 类比 双曲线的一组平行弦的中点都在一条经过双曲线中心的定直线上 结论正确 探究2抛物线中的类似几何性质是什么 典型例题6 已知椭圆 例6设斜率为k的直线l交椭圆 a b 0 于a b两点 线段ab中点为m 证明当直线l平行移动时 动点m在一条过原点的定直线上 等价结论 椭圆的一组平行弦的中点都在一条经过椭圆中心的定直线上 证明过程 所以 动点m在一条平行于y轴的定直线上 回顾反思 1 思维策略 根据相似性 进行类比推理 利用演绎推理 判别真伪 2 思维误区 只注意了类比的 发现 功能 而忽略了演绎的调控作用 3 体验感悟 数学研究中 得到一个新结论之前 合情推理常常帮助我们猜测和发现结论 证明一个数学结论之前 合情推理又常常为我们提供证明的思路和方向 总结提炼 1 从思维特点看 归纳是由特殊到一般的推理 类比是由特殊到特殊的推理 演绎是由一般到特殊的推理 2 从所得结论看 合情推理的结论未必正确 有待证明 演绎推理得到的结论一定正确 总结提炼 3 从所起作用看 演绎推理是证明数学结论 建立数学体系的重要思维过程 数学结论 证明思路的发现 主要靠合情推理 然而 数学发现活动是一个探索创造的过程 这是一个不断的提出猜想 验证猜想的过程 在这一过程中 合情推理和演绎推理相辅相成 相互为用 共同推动着发现活动的进程 同步练习 1 长方形的对角线与过同一个顶点的两边所成的角分别为x y 则cos2x cos2y 1 将长方体与长方形进行类比 可猜测的结论为 2 已知n n sn 12 22 32 42 1 n 1n2 计算s1 s2 s3 s4 由 猜想sn的计算结果 证明你的猜想是正确的 同步练习 3 如图有三根针和套在一根针上的若干金属片 按下列规则 把金属片从一根针上全部移到另一根针上 每次只能移动1个金属片 较大的金属片不能放在较小的金属