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（小升初解题宝典） 郑州中原思源辅导学校 小学数学知识点梳理 姓名：_ 班级：_ 学校：_ （内部资料 翻印必究） 概 述一、计算。熟练掌握下列小数、分数之间的相互转化，特别是一些特殊小数化分数要记熟悉；=0.5 =0.25 =0.75 =0.2 =0.4 =0.6 =0.8 =0.125 =0.375 =0.625 =0.875 =0.0625 =0.05 =0.04 =0.02 常用的平方数和立方数：1 把下面的分数转化为小数，特别注意所用的方法 例一： 练习题：=_；=_；=_； =_；=_；=_；2 一些常用的计算性质 商不变性质：被除数和除数扩大或缩小相同的倍数，商不变 例如 0.251.7=（0.25100）（1.7100）=25170=；这是用来对于一些小数相除除不尽时，用来化为分数时用的；一定要化成最简分数。 积不变的性质：一个因数扩大，另一个因数缩小相同的倍数，积不变 例如：1200.25=（12010）（0.2510）=122.5；这个在后面乘法分配律的运用当中会详细的讲解；注意： 对于最简分数而言，分母是2、4、5、8、10、20、25等及它们相互的乘积，一定可以化成有限小数；而以剩下的整数例如3、6、9、7、11等为分母一般都不能化为有限小数； 对于计算题：（1）结果不要写成百分数，要化成小数或者分数； （2）结果用分数表示时要化成最简分数； （3）做除法除不尽时，结果用最简分数表示；加法的交换律 a+b=b+a；加法的结合律：（a+b)+c=a+（b+c） a-b-c=a-(b+c) a-b+c=a-(b-c)额外补充 a-(b+c)= a-b-c ；a-(b-c)= a-b+c ；a+（b+c）=a+b+c 这几个问题就转化为去括号问题1、 括号前面是“+”，括号里面数字不改变符号2、括号前面是“-”括号里面数字改变符号一、拆和法,就是把一个数拆成两个数的和，以方便计算（注意这类题一般都是整数乘以分数题或带分数乘以分数题，且整数是这个分数分母的倍数，或与之相近的数）101 200271262、拆差法，就是把一个数拆成两个数的差，以方便计算（注意这类题一般都是整数乘以分数题或带分数乘以分数题，且整数是这个分数分母的倍数，或与之相近的数）99 63 99 373、 加法交换律 原理：加法交换律 a+b=b+a；加法的结合律：（a+b)+c=a+（b+c） 原则：多个数相加一般来说按下面的步骤查看是否有简便运算： 1、凑整，对于整数、小数来说看能否凑到整十，整百，整千；对于分数来说看能否凑到整数； 2、若有多个分数：可以先把分母相同的分数先相加； 3、若是分数和小数相加，可以按照前面学过的处理；(1)278143322(2)918751182249(3)6.853.271.85(4)5.132.253.87(5)3524(6)3244、 乘法交换律，乘法分配率（这个是考试的重点）原理：乘法交换律 ab=ba；乘法的结合律：（ab)c=a（bc） 乘法分配率（a+b)c=ac+bc原则：1、凑整，对于整数、分数来说看能否凑到整数；或约分后成为一个整数 2、若有多个分数：可以先把能够约分的约掉再进行乘法运算(1)2323 (2)18130(3) (2006302005)5、 拆积法,就是把一个数拆成两个数的积，以方便计算（注意这类题一般都是整数乘以整数题或分数乘以整数题，且整数是这个分数分母的倍数，或与另外一个因数相同的数）125253212.51652.50.125320173212.59640.12564乘法结合律2.70.250.412518826、综合法5211.12.67786.816.819.33.27、运算拆分法简化计算运用拆分法解题主要是使拆开后的一些分数互相抵消，达到简化运算的目的。一般地，形如的分数可以拆成；形如的分数可以拆成（），形如的分数可以拆成+等等。同学们可以结合例题思考其中的规律。例题1。计算：+.+ 1+.+ 1 8、四则混合运算1 运算顺序2 分数、小数混合运算技巧一般而言： 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； 乘除运算中，统一以分数形式。9、估算求某式的整数部分：扩缩法例题：已知，则与最接近的整数是_【解析】 由于，所以，所以，即，那么与最接近的整数是1431 比较大小 通分a. 通分母b. 通分子 跟“中介”比 利用倒数性质若，则cba.。形如：，则。2 定义新运算（其实就是代入法求值）3 奇数项等差数列求和：中间项项数=和 4 特殊数列求和运用相关公式： 1+3+6+10+.+n（n+1）2=n(n+1)(n+2)66、三角形数列公式：1，3，6，10，15，.n（n+1）27、对于等差数列来讲要求通项公式的方法：先标序号；公差是几就乘几；比较得出公式。序号123456.。n乘积51015202530.5n数3813182328.5n-28、 分数加减法的简算方法：（分母相乘的积做分母，交叉相乘相加减做分子） 比如：二、 数论1 奇偶性问题奇奇=偶 奇奇=奇奇偶=奇 奇偶=偶偶偶=偶 偶偶=偶2 位值原则形如：=100a+10b+c 3 数的整除特征：整除数特 征2末尾是0、2、4、6、83各数位上数字的和是3的倍数 弃三法5末尾是0或59各数位上数字的和是9的倍数 弃九法11奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数4和25末两位数是4（或25）的倍数 425=1008和125末三位数是8（或125）的倍数 8125=10007、11、13末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数4 整除性质 如果c|a、c|b，那么c|(ab)。 如果bc|a，那么b|a，c|a。 如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 如果c|b,b|a,那么c|a. a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。5 带余除法若有余数，先变乘除；对整除的结果进行分解质因数；按条件找结果；例题：已知一个两位数除1477，余数是49。那么，满足那样条件的所有两位数是多少？1477-49=1428 1428=223717 所以符合这样的两位数为大于49的两位数，有51，84，76.6、因数个数与因数和定理因数个数的方法：把一个数先分解质因数，再写成简写的形式，口诀为：指数加一，连续相乘；360分解质因数:360=222335=23325；（3+1）（2+1）（1+1）=24因数和：从0次方开始，依次往上加，加到最高次方，然后相乘起来。 360的因数和： (1+3+32)(1+2+22+23)(1+5)7. 同余定理 在有余数除法中，若除数相同，余数相同，则符合同余。其解决问题的方法为：被除数之间的差为除数的倍数，对差进行短除法即可找到最终结果。例题：有一个大于l的整数，用它除300、262、205得到相同的余数，求这个数。300-262=38，300-205=95，则除数为38和95的公因数19.8孙子定理（中国剩余定理）9.辗转相除法求两个数的最大公因数。（适用于较大数和不容易直接看出来的数）10 数论解题的常用方法： 枚举、归纳、反证、构造、配对、估计11 完全平方数的因数的个数是奇数个，而其他数的因数个数是偶数个。质数的平方的因数的个数只有3个。例如7的平方49的因数只有1,7,49.三、几何图形1 平面图形多边形的内角和 N边形的内角和=(N-2)180等积变形（位移、割补） 三角形内等底等高的三角形 平行线内等底等高的三角形 公共部分的传递性三角形面积与底的正比关系 S1S2 =ab ； S1S2=S4S3 或者S1S3=S2S4相似三角形性质（份数、比例） ; S1S2=a2A2S1S3S2S4= a2b2abab ; S=（a+b）2燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SGECBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；差不变原理（小升初考察图形的热点）同加同减差不变，转化法的应用；隐含条件的等价代换组合图形的思考方法 化整为零 先补后去 正反结合2 立体图形规则立体图形的表面积和体积公式不规则立体图形的表面积整体观察法体积的等积变形 水中浸放物体：V升水=V物=容器的底面积升高水的高度 测瓶子容积：V=V空气+V水三视图与展开图三视图口诀：俯视图打地基 侧视图往上盖 正视图拆违章正方体的展开图：（1,4,1）6种 （2,3,1）3种 （2,2,2）1种 （3，3）1种（5） 长方体涂色一个面涂色：（a2）（b2）（a2）（h2）（b2）（h2）2;（接近表面积公式）两面涂色：（a2）（b2）（h2）4；（接近棱长和公式）三面涂色：其个数为8个（顶点个数）没有涂色： （a2）（b2）（h2）（接近体积公式）四、典型应用题1 植树问题（间隔与棵数的关系）开放型 两端都栽：间隔数+1=棵数 一端栽一端不栽：间隔数=棵数两端都不栽：间隔数-1=棵数封闭型：间隔数=棵数2 方阵问题外层边长数-2=内层边长数（外层边长数-1）4=外周长数外层边长数2-中空边长数2=实面积数3 列车过桥问题（1） 火车过桥A、 通过桥 B、 完全在桥上 （2） 火车过人A、 人不动B、 人动 （3） 火车与火车A、 相遇 B、 追及 追及特例：齐头并进路程差是快车长 齐尾并进路程差是慢车长4 年龄问题算术法：差不变原理 方程法5 鸡兔同笼算术法：假设法的解题思想 方程法：设兔子的只数6 牛吃草问题 方程法：牛的头数时间=原有草量+草长速度时间算术法：原有草量=（牛吃速度-草长速度）时间7 平均数问题 平均数份数=总量 十字交叉法8 盈亏问题 算术法:分析差量关系 方程：设其中一个不变量 另一个不变量是等量关系9 和差问题 算术法：大数=（和+差）2 小数=（和-差）2 方程组10. 和（差）倍问题 算术法较为麻烦 方程：设一倍量 等量关系为和与差11. 逆推问题 算术列表法：从结果入手，往前推 方程较为复杂也不好解12. 代换问题 列表消元法 等价条件代换五、行程问题1 相遇问题 路程和=速度和相遇时间2 追及问题 路程差=速度差追及时间3 流水行船顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速-水速船速=（顺水速度+逆水速度）2 水速=（顺水速度-逆水速度）2流水落物结论：无论是顺水还是逆水，丢失物品t分钟，那么找回就需要t分钟。4 多次相遇线型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数2-1环型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数其中甲共行路程=单在单个全程所行路程共行全程数5 环形跑道6 行程问题中正反比例关系的应用路程一定，速度和时间成反比。速度一定，路程和时间成正比。时间一定，路程和速度成正比。7 钟表问题 成多少度角：除以分针与时针的度数差 关于某数对称：除以分针与时针的度数差 快慢针问题：转化为比例问题；8 结合分数、工程、和差问题的一些类型。9 行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。10. 变速行程问题：列表法或者正反比例解决问题11. S-T图行程问题六、计数问题1 加法原理：分类枚举2 乘法原理：排列组合3 容斥原理： 总数量=A+B+C-AB-AC-BC+ABC 常用：总数量=A+B-AB 利用容斥原理解决面积问题; 其基本解决问题的方法是把每一部分标上序号或者是字母，利用能够求出的图形的面积之间的加减关系求出问题。（此类型问题较为复杂）4 抽屉原理：最不利原则 所谓的抽屉数即为所有可能出现的情况。苹果数抽屉数=A.B，则至少A+1个苹果一定放在同一个抽屉中。例题：体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿1个球，至多拿2个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？解：根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下9种：足排蓝足足排排蓝蓝足排足蓝排蓝。以这9种配组方式制造9个抽屉，将这50个同学看作苹果50955 至少有5+1=6人，他们所拿的球类是完全一致的。5 握手问题 点段2=次数 正推或者反推 反推时注意运用平方数在图形计数中应用广泛 角、线段、三角形 长方形、梯形、平行四边形 正方形（2） 几个同学聚会，每两个同学敬一杯酒，一共敬了45次酒，则共有（ ）位同学。解析：点段2=次数 452=90，谁的平方接近90，发现为9的平方为81，所以推算知道，9102=45，所以共有9位同学。七、分数问题1 量率对应用除法，求出的结果为单位“1”；2 单位“1”的位置为“的”字前，“比”字后；3 谁是单位“1”，谁是分母，多了加，少了减，进而可以求出两个量的份数比； 例如：甲比乙多2/5，则甲：乙=7：5，甲是乙的2/3，则甲：乙=2：3，4 经济利润问题 成本利润利润率定价卖价折扣1005050%150120八折 利润=售出价-成本 利润率=利润成本100%折扣=实际售价原售价100% 定价=成本（1+利润率) 成本=售价（1+利润率）方法：方程或者是十字交叉法5 浓度问题 例如：含盐量为25%的盐水100克 盐水（溶液） 盐（溶质） 水（溶剂）10010025%=25克100（1-25%）=75克浓度=溶质溶液100% 溶液=溶质+溶剂十字交叉法；抓不变量量率对应解决问题；6 工程问题 基本公式：工效和时间=工作总量 画图法或者假设法方程法：所有人干的工作总量和为1来建立方程；7 比和比例问题： 比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“1”。题中如果有几个不同的单位“1”，必须根据具体情况，将不同的单位“1”，转化成统一的单位“1”，使数量关系简单化，达到解决问题的效果。在解答分数应用题时，要注意以下几点：题中有几种数量相比较时，要选择与各个已知条件关系密切、便于直接解答的数量为单位“1”。若题中数量发生变化的，一般要选择不变量为单位“1”。应用正、反比例性质解答应用题时要注意题中某一数量是否一定，然后再确定是成正比例，还是成反比例。找出这些具体数量相对应的分率与其他具体数量之间的正、反比例关系，就能找到更好、更巧的解法。题中有明显的等量关系，也可以用方程的方法去解。赋值解比例问题例题1：已知甲、乙、丙三个数，甲等于乙、丙两数和的，乙等于甲、丙两数和的，丙等于甲、乙两数和的，求.【解析】 由甲等于乙、丙两数和的，得到甲等于三个数和的，同样的乙等于甲、丙两数和的，同样的丙等于甲、乙两个数和的 ，所以【例 2】 一班和二班的人数之比是，如果将一班的名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为求原来两班的人数解设：一班人数原来有8x人，二班人数原来有7x人。根据题意列式： (8x-8):(7x+8)=4:5 x=6 所以一班68=48人 二班67=42人例三：甲、乙、丙、丁四个筑路队共筑1200米长的一段公路，甲队筑的路是其他三个队的，乙队筑的路是其他三个队的，丙队筑的路是其他三个队的，丁队筑了多少米？【解析】 甲队筑的路是其他三个队的，所以甲队筑的路占总公路长的；乙队筑的路是其他三个队的，所以乙队筑的路占总公路长的；丙队筑的路是其他三个队的，所以丙队筑的路占总公路长的，所以丁筑路为：（米）8、 方程解题1 一元一次方程解法：等式的性质或者移项（移大数留小数为基本原则）2 二元一次方程组的求解：代入消元法、加减消元法；3 不定方程的分析求解：以系数大者为试值角度；九、逻辑推理1 假设法2 列表法3 对阵图 （竞赛问题，涉及体育比赛常识）十、解题方法（结合杂题的处理）代换法 消元法 倒推法 假设法 反证法 极值法 设数法 整体法 画图法 列表法 排除法 染色法 构造法 配对法11、 数学广角1、 找次品用天平找次品时，保证称最少次数找出次品基本方法技巧规律。分组原则：把待测物品分成3份。能够均分就平均分成3份；不能平均分的，应让多的与少的一分只相差1。这样才能保证称的次数最少就能找出次品。要辨别的数目次 数123452、 正方体（或长方体）的展开图（1）、一个面与四个面相邻，则必与最后一个面相对（2）、相邻的两个面有公共的棱或顶点；（3）、相邻的三个正方形（在一条线上的）必然隔一个相对。3、 有趣的平衡 左边的棋子数刻度数右边的棋子数刻度数4、 杨辉三角形规律规律：每行的第一个和最后一个数都为1；每行的第二