高考数学一轮复习 2.10 导数的概念及运算法则课件 文 新人教A版.ppt

2 10导数的概念及运算法则 一 导数的概念 一般地 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 我们称它为函数y f x 在x x0处的导数 记为f x0 或y 即f x0 如果函数y f x 在开区间 a b 内 的每一点处都有导数 此时对于每一个x a b 都对应着一个确定的导数f x 从而构成了一个新的函数f x 称这个函数f x 为y f x 在开区间 a b 内的导函数 简称导数 也记为y 即f x y 二 导数的几何意义 函数y f x 在点x x0处的导数的几何意义 就是曲线y f x 在点p x0 f x0 处的切线的斜率 即k f x0 相应地 得到切线方程 为y f x0 f x0 x x0 三 几种常见函数的导数 常用函数的导数公式 c 0 c为常数 xm mxm 1 m q sinx cosx cosx sinx ex ex ax axlna lnx logax logae 导数的运算法则 f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x g x 0 四 函数和 差 积 商的导数 1 设f x 则f 1 等于 a 2 b 1 c 0 d 1 解析 f x 则f 1 1 答案 d 2 已知函数f x 的图像如图所示 f x 是f x 的导函数 则下列数值排序正确的是 a 0 f 2 f 3 f 3 f 2 b 0 f 3 f 3 f 2 f 2 c 0 f 3 f 2 f 3 f 2 d 0 f 3 f 2 f 2 f 3 数f x 在 3 f 3 处的切线的斜率 f 3 f 2 表示点 2 f 2 与点 3 f 3 连线的斜率 由图可知0 f 3 f 3 f 2 f 2 答案 b 解析 f 2 是函数f x 在 2 f 2 处的切线的斜率 f 3 是函 3 设p为曲线c y x2 x 1上一点 曲线c在点p处的切线的斜率的范围是 1 3 则点p的纵坐标的取值范围是 解析 设点p坐标为 x0 y0 则依题意可得 1 2x0 1 3 解得0 x0 2 因为y0 x0 1 所以根据二次函数值域的求法 可解得 y0 3 答案 3 题型1导数的概念及几何意义 例1 1 给出下列命题 若函数y x 则当x 0时 y 0 若函数f x ax2 1 且f 2 13 则f x x3 x 加速度是动点位移函数s t 对时间t的导数 其中正确的命题有 a 0个 b 1个 c 2个 d 3个 2 已知函数f x xlnx 若直线l过点 0 1 并且与曲线y f x 相切 则直线l的方程为 分析 1 通过函数的平均变化率的求法及了解导数概念在实际背景下的意义 就可判断 2 通过导数与切线斜率的联系可求出切点的坐标 从而求出切线方程 解析 1 因为y x的导数为y 1 故 错 由条件可得f x x3 x c c为常数 所以 错 速度是动点位移函数s t 对时间t 的导数 加速度是速度函数对时间t的导数 故选a 2 设切点坐标为 x0 y0 则y0 x0lnx0 切线的斜率为lnx0 1 所以lnx0 1 解得x0 1 y0 0 所以直线l的方程为x y 1 0 答案 1 a 2 x y 1 0 点评 导数的概念是通过函数的平均变化率 瞬时变化率和曲线的切线等实际背景引入的 所以在了解导数概念的基础上也应了解这些实际背景的意义 特别是导数的几何意 义 变式训练1 1 曲线y e 2x 1在点 0 2 处的切线与直线y 0和y x围成的三角形的面积为 a b c d 1 2 在f1赛车中 赛车位移与比赛时间t存在函数关系s 10t 5t2 s的单位为m t的单位为s 则t 20时的瞬时速度为 x 1在点 0 2 处的切线方程是2x y 2 0 直线y x与直线2x y 2 0的交点为 直线y 0与直线2x y 2 0的交点为 1 0 故三角形的面积为 1 2 因为位移与时间的函数为s 10t 5t2 所以s 10 10t 在t 20时瞬时速度为210m s 答案 2 a 2 210m s 解析 1 函数y e 2x 1的导数为y 2e 2x 则y x 0 2 曲线y e 2 例2求下列函数的导数 1 y 2x2 1 x2 3x 4 2 y excosx 3 y lnx 4 y 题型2导数的运算 解析 1 y 2x2 1 x2 3x 4 2x2 1 x2 3x 4 2x2 1 x2 3x 4 4x x2 3x 4 2x2 1 2x 3 8x3 18x2 18x 3 2 y excosx excosx exsinx 3 y lnx 1 lnx 分析 直接利用导数公式和导数运算法则求导 4 y 点评 理解和掌握求导法则和公式的结构是灵活进行求导运算的前提条件 变式训练2求下列函数的导数 1 y 2x3 3x2 5x 2 y x2lnx 3 y x sinx 4 y 2 y x2lnx 2xlnx x2 2xlnx x 3 y x sinx 1 cosx 4 y 解析 1 y 2x3 3x2 5x 6x2 6x 5 1 关于导函数的概念要从以下几个方面理解 函数y f x 在点x0处的导数f x0 就是导函数f x 在点x0处的函数值 即f x0 f x 并不是所有的函数都有导数 2 在处理曲线的切线与导数有关的问题时 若切点未知 一定要把切点设出来 导函数f x 与函数f x 有相同的定义域 且导函数f x 在x0处的函数值 即为函数f x 在点x0处的导数 区间一般指开区间 因为在其端点处不一定有增量 例曲线s y 3x x3在点a 0 16 处的切线方程为 错解 y 3x2 3 所以y 3x2 3 3 故切线的斜率为3 切线方程为3x y 16 0 剖析 出现上述错误的原因就是认为点a 0 16 在曲线上 在确定曲线在某点处切线的方程时 一定要先确定该点是否 在曲线上 若此点在曲线上 则曲线在该点处切线的斜率即为该点的导数值 若此点不在曲线上 则应按先求切点 再求斜率 最后写出直线的方程的方法解答 特别是涉及直线与圆锥曲线相切一类问题时 除采用导数知识解答外 还可以采用代数方法 即应用判别式的方法解答 正解 设过点a的切线与曲线切于点m x0 3x0 y 3x2 3 由导数的几何意义可知切线的斜率k y 3 3 又由两点连线的斜率公式知k 联立 得x0 2 从而切线的斜率k y 9 故切线方程为9x y 16 0 答案 9x y 16 0 一 选择题 本大题共5小题 每小题6分 1 基础再现 设函数f x xm ax的导函数f x 2x 1 则m a的值为 a 1 b 1 c 2 d 2 解析 f x xm ax f x mxm 1 a 2x 1 所以m 2 a 1 则m a 1 答案 b 2 基础再现 f x 是f x 的导函数 f x 的图像如图所示 则f x 的图像只可能是 解析 由导数的概念可知 函数的平均变化率的变化是先快后慢 且在端点处变化率为0 只有d符合 答案 d 3 基础再现 已知某物体的运动曲线方程为s t 2t2 则该物体在t 1时的速度为 a 5 b 7 c 9 d 13 解析 s t 2t2 4t 4t s 1 5 答案 a 4 视角拓展 定义 设f x 是函数y f x 的导函数y f x 的导数 若f x 0有实数解x0 则称点 x0 f x0 为函数y f x 的 拐点 现已知f x x3 3x2 2x 2 则函数f x 的 拐点 a的坐标为 a 1 8 b 1 2 c 0 2 d 2 10 令f x 6x 6 0得x 1 f 1 1 3 2 2 2 拐点为a 1 2 答案 b 解析 f x 3x2 6x 2 f x 6x 6 5 高度提升 下列图像中有一个是函数f x x3 ax2 a2 1 x 1 a r a 0 的导函数f x 的图像 则f 1 等于 a b c d 函数y f x 的图像符合第2个图 则可解得a 0 与条件a 0矛盾 若导函数y f x 的图像符合第3个图 则有a2 1 0 且a 0 解得a 1 所以f 1 答案 b 解析 因为f x x2 2ax a2 1 显然第1个图不符合 若导 6 基础再现 f x x3 2f 2 x 则f 2 解析 因为f x 3x2 2f 2 所以f 2 3 22 2f 2 解得f 2 12 答案 12 二 填空题 本大题共4小题 每小题7分 7 基础再现 直线y kx 1与曲线y x2 ax b相切于点a 1 3 则a b 解析 由题意可得解得a 0 b 2 k 2 所以a b 2 答案 2 8 视角拓展 如图 直线l是曲线y f x 在x 3处的切线 则f 3 解析 由图可知直线l过点 3 3 0 可求出直线l的斜率k 由导数的几何意义可知 f 3 答案 9 高度提升 已知点p在曲线y 上 为曲线在点p处的切线的倾斜角 则 的取值范围是 解析 y ex 2 1 y 0 即 1 tan 0 答案 10 基础再现 求下列函数的导数 1 y ex lnx 2 y x sincos 3 y 三 解答题 本大题共3小题 每小题14分 2 y x sincos x sinx y x sinx 1 cosx 3 y 3 x 5 9 y 3 x 5 9 3 1 0 9 解析 1 y ex lnx ex lnx 1 1 11 视角拓展 已知函数f x 2x3 ax与g x bx2 c的图像都过p 2 0 且在点p处有相同的切线 1 求实数a b c的值 2 设函数f x f x g x 求f x 的单调区间 又 f x g x 在点p处有相同的切线 f 2 g 2 4b 16 b 4 c 16 a 8 b 4 c 16 解析 1 f x g x 的图像都过p 2 0 f 2 0 即2 23 a 2 0 a 8 g 2 0 即4b c 0 即f x 的单调增区间为 2 同理 由f x 0得 2 x 即f x 的单调减区间为 2 2 由 1 知f x 2x3 8x g x 4x2 16 则f x 2x3 4x2 8x 16 f x 6x2 8x 8 由f x 6x2 8x 8 0得x 2或x 12 能力综合 已知函数f x