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第三节 误差的估算 由于物理量的数值的获得途径有直接测量和间接测量两种，无论直接测量，还是间测量都有误差，误差的计算也分两种情况。广义地讲，两种情况的处理都属于误差计算。然而，间接测量是由直测量决定的，以直接测量为基础的，间接测量的误差是由直接测量通过给定的函数关系确定的。因此，狭义地讲，常把直接测量的误差计算称为误差计算，而将间接测量的误差计算叫误差传递。此外，由于严格意义上的误差是无法计算的，因而只能通过各种方法进行近似计算，故将误差计算称为误差的估算，而且可有多种方法进行估算。下面就介绍几种常用的误差估算方法。一、直接测量的误差估算1算术平均误差 在测量列中，各次测量的误差的绝对值的算术平均值叫算术平均误差。记为。按定义 或 其中n为测量次数，。2.绝对误差 误差的绝对值叫绝对误差。狭义的绝对误差，如上面的，。而广义的绝对误差还有后面要讨论的，Q等。 3.相对误差 绝对误差与平均值的百分比叫相对误差，又叫百分误差。记为。其估算方法为 广义地讲，后面要讨论的、等都可叫相对误差。 4.标准偏差 按定义，标准误差是测量列中各次误差的方均根，记为。当n时 需要注意的是，上式是在测量次数很多时，测量列按正态分布时所得到的结果。 实际上，由于真值无法获得，而测量次数也只能是有限的。因此，标准误差只能通过偏差进行估算。由统计理论可推导出，对有限次测量的标准偏差的计算公式为： 即最后是用代替。通常所说的标准误差，实际上就是。 5.算术平均值的标准偏差 算术平均值的标准偏差与测量列标准偏差的关系为 二、间接测量的误差计算（误差的传递） 上面所讨论的误差计算方法是对直接测量而言的，在此基础上我们可以进一步讨论间接测量的误差计算问题。我们知道，间接测量是由直测量通过一定的函数关系决定相应的间接测量的误差，它们之间的这种关系叫误差的传递，相应的计算公式叫误差传递公式。下面我们首先讨论误差传递公式的一般形式，然后再将其运用于一些具体情况。1.误差传递公式的一般形式设间接测量量与彼此独立的直接测量量、(只取3个)间的函数关系为 测量结果用平均值和绝对误差表示为 和 其中,。 将在点按泰勒级数展开有 +(高阶小量)将此结果与前面假定关系式比较，忽略高阶小量，并考虑到误差传递中通过组合可能产生的最大值，取间接测量的绝对误差为 相对误差为 根据标准差的定义，由上述展开式，在考虑到是彼此独立的情况，可得标准差的传递公式的绝对形式为 相对形式为 其中、分别为、在点处的值。 为了较好地使用标准误差的传递公式，需要说明的是： (1)如果由按加(减)关系确定时，常用标准误差传递的绝对形式计算。 (2)如果由按乘(除)关系确定时，常用误差传递的相对形式计算。 (3)如果彼此不独立，还需计算相关系数(协方差)。例如：若，当（仅数值相等）时的误差传递，与取（与完全相关）后的误差传递是不一样的。 因为，当时有 ，再取时，化为 。而当时 。可见，前者在取时，仅为数值上相等，而它们仍是彼些独立的两个变量；而后者，则为完全相关，即与为同一个变量了，故结果也不一样了。 2误差传递公式的具体形式为了实际计算方便，我们将一些常见函数关系确定的误差传递公式列于下表。函数关系算术平均误差传递公式标准误差传递公式 误差传递 出自DemolabWiKi出自DemolabWiKi 跳轉到: 導航 , 搜尋跳转到: 导航 , 搜寻 誤差傳遞：误差传递： 經常會遇到一個物理量須經由測量數個物理量，再藉由 關係式 計算而得出。经常会遇到一个物理量须经由测量数个物理量，再藉由关系式计算而得出。 例如： 密度的數值可經由質量與體積的測量值計算, 體積的測量又可由長/寬/高三測量值計算. 動量是由測量值質量與速度相乘而得（ 速度又由位移與時間測量值得出）。例如： 密度的数值可经由质量与体积的测量值计算,体积的测量又可由长/宽/高三测量值计算. 动量是由测量值质量与速度相乘而得（ 速度又由位移与时间测量值得出）。 當測量時，質量、位移與時間的個別誤差,將影響最後結果的誤差。当测量时，质量、位移与时间的个别误差,将影响最后结果的误差。 假設X代表某一個物理量，由u , v ,.等測量值所決定。假设X代表某一个物理量，由u , v ,.等测量值所决定。 即X = f ( u , v ,.) .即X = f ( u , v ,.) . 另以另以 分別代表u , v ,.等分量樣本分布的平均值.分别代表u , v ,.等分量样本分布的平均值. 因此平均值因此平均值 對於某一組測量樣本數據，可以表示為X i = f ( u i , v i ,.) ,对于某一组测量样本数据，可以表示为X i = f ( u i , v i ,.) , 則 则 將将 以泰勒展開式展開,以泰勒展开式展开, 因此以上關係可近似為因此以上关系可近似为 接著計算測量值的方差接着计算测量值的方差 依據方差的定義依据方差的定义 , , 另外定義協方差(corvarance)另外定义协方差(corvarance) 則以上關係式可簡化成则以上关系式可简化成 如果u , v兩測量量彼此不相干 ,則協方差為零. (測量時的個別獨立參數間經常可發現互不相干的狀況),於是方差可化簡為如果u , v两测量量彼此不相干 ,则协方差为零. (测量时的个别独立参数间经常可发现互不相干的状况),于是方差可化简为 範例:范例: 當測量物體密度時，質量與體積的測量通常不相干，因此可用上式 当测量物体密度时，质量与体积的测量通常不相干，因此可用上式 計算質量與體積的誤差所造成密度測量的誤差。计算质量与体积的误差所造成密度测量的误差。 但是體積測量誤差的計算，若體積是由長、寬、高等測量值相乘而得。但是体积测量误差的计算，若体积是由长、宽、高等测量值相乘而得。 當長、寬、高都是用同一量具同樣方式測量時，往往彼此間的誤差是相關的。当长、宽、高都是用同一量具同样方式测量时，往往彼此间的误差是相关的。 尤其當量具的系統誤差大於隨機誤差時，由於校正所造成誤差將造成長、寬、高的系統誤差。尤其当量具的系统误差大于随机误差时，由于校正所造成误差将造成长、宽、高的系统误差。 則體積的百分誤差將直接等於長、寬、高百分誤差之和。则体积的百分误差将直接等于长、宽、高百分误差之和。 （而非長、寬、高百分誤差平方之和開根號）。 （而非长、宽、高百分误差平方之和开根号）。 當使用誤差傳遞時要辨別測量值間是否彼此相關。当使用误差传递时要辨别测量值间是否彼此相关。 接下來讓我們運用上式計算 平均值的標準差 。接下来让我们运用上式计算平均值的标准差 。 平均值是由各測量值取平均而得到（視為以各測量值為獨立變數的函數）。平均值是由各测量值取平均而得到（视为以各测量值为独立变数的函数）。 由定義由定义 因此因此 ,若假設各測量值的標準差皆相同時, ie i = ,則上式可簡化為 ,若假设各测量值的标准差皆相同时, ie i = ,则上式可简化为 於是得到平均值的標準差于是得到平均值的标准差 例題:例题: 例如：(3.1257 0.0138) - ( 1.892 0.0095) = (3.1257 - 1.892) (0.01382 + 0.00952)1/2 = 1.234 0.017例如：(3.1257 0.0138) - ( 1.892 0.0095) = (3.1257 - 1.892) (0.01382 + 0.00952)1/2 = 1.234 0.017 注意： 誤差並非0.0138 + 0.0095 ? 你認為是何原因呢？注意：误差并非0.0138 + 0.0095 ?你认为是何原因呢？ 3.1257 0.0138 表示測量值在3.1257-0.0138 與3.1257+0.0138之間， 3.1257 0.0138表示测量值在3.1257-0.0138与3.1257+0.0138之间， 多次測量時應該越接近3.1257 的數值越多，離開越遠的機率越少（滿足常態分佈）。多次测量时应该越接近3.1257 的数值越多，离开越远的机率越少（满足常态分布）。 因為隨機分佈的關係，大於平均與小於平均的機率皆相等。因为随机分布的关系，大于平均与小于平均的机率皆相等。 當兩測量值相加時，兩者偏差皆為最大正偏差或皆為最大負偏差的機率，應該很小，經統計分析以平方相加開根號為較適當。当两测量值相加时，两者偏差皆为最大正偏差或皆为最大负偏差的机率，应该很小，经统计分析以平方相加开根号为较适当。 將上式以另一種方式表示更簡潔将上式以另一种方式表示更简洁 若協方差為零時，則結果的百分誤差的平方,等於個別參數的百分誤差的平方和。若协方差为零时，则结果的百分误差的平方,等于个别参数的百分误差的平方和。 參數間為相除的情形時，也會有相同結果，歡迎網友自己試一試。参数间为相除的情形时，也会有相同结果，欢迎网友自己试一试。 練習练习 分別練習計算以上三種函數的標準差。分别练习计算以上三种函数的标准差。 以上討論大多假設獨立變數間的誤差皆互不相干，彼此不受影響。以上讨论大多假设独立变数间的误差皆互不相干，彼此不受影响。 若是討論包含系統誤差的情形，或是變數間相互影像時，就必須考慮協方差。若是讨论包含系统误差的情形，或是变数间相互影像时，就必