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现代控制理论讲义 第4章 动态系统的稳定性分析Chapter4动态系统的稳定性分析 稳定性描述当系统遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，在扰动消失后系统自身能否恢复到原来平衡状态的一种性能。例如在倒立摆装置中，当摆杆受扰动而偏离垂直位置后，系统仍能使摆杆回到垂直位置，并能始终保持在垂直位置附近，这是系统稳定的基本含义。一个不稳定系统是不能正常工作的，如何判别系统的稳定性以及如何改善系统的稳定性是系统分析与设计的首要问题。系统的稳定性是系统本身所固有的特性，与外部控制无关。所以讨论稳定性时一般只考虑的自由系统。4.1 平衡点与Lyapunov稳定性考虑阶自由系统： 状态向量：，向量：对，若存在某一状态点，使得对所有的，都不随时间变化，定义为系统的平衡状态（平衡点） （4-1） 一个系统不一定存在平衡点，但有时又可以有多个平衡点。平衡点大多数在状态空间的原点。若平衡点不在原点，而是状态空间的孤立点，则可以通过坐标变换将平衡点移到原点。对线性定常系统，根据平衡点定义，当，则只有一个平衡点。当，有多个平衡点，而是其中一个平衡点。经典控制理论：用传递函数描述线性定常系统，主要用特征函数的极点分布、Routh（劳斯）判据、Hurwitz（胡尔维茨）判据、Nyquist（奈奎斯特）判据等来判别系统的稳定性。现代控制理论：用状态空间描述MIMO线性时变系统或非线性时变系统。1) 根据系数矩阵的特征值即系统极点的分布来判别系统的稳定性。求出的是“既能控又能观”的极点，它也可以由传递函数求出；求出的是“能控不能观”、求出的是“不能控能观”、求出的是“既不能控又不能观”部分的极点，他们由于“零极点相消”不能反映在传递函数中，因而也不能由传递函数求出；2) Lyapunov间接法：通过求解系统的动态方程（求解困难甚至求解不出，受到很大限制!），再根据解的性质判断系统的稳定性；3) Lyapunov直接法：不通过求解系统的动态方程，只通过构造Lyapunov标量函数直接判定系统的稳定性。4.1.1 Lyapunov稳定性定义定义4-2（Lyapunov临界稳定）对任意给定的“小距离” （无论多么小的），总可以根据给定的和初始时间找到一个相应“半径”，只要系统初态与平衡点的距离小于“半径”即时，就有任何时，其状态与平衡点的距离小于给定的“小距离”，即，则称平衡状态是Lyapunov稳定（李氏稳定）。如果不需根据初始时刻来寻找“半径” ，则称一致Lyapunov稳定（Uniformly Stable）。称多维空间距离为Euclid范数： （4-2）这就是说：根据指定的小和系统的初始状态，以平衡点为圆心划定一个半径为的范围，以后系统的状态就只能在指定的范围内运行，在平衡点附近振荡，称为Lyapunov临界稳定。如果我们只根据指定的小就能划定一个半径为的范围，使系统只能在指定的范围内运行，称为一致Lyapunov稳定。 图4-1 小球的稳定性 图4-2 李氏稳定定义4-3（渐近稳定，局部稳定）系统不仅Lyapunov稳定，而且系统状态趋于平衡点，即，则称平衡状态是渐近稳定（Asymptotically Stable）。如果不需根据初始时刻来寻找“半径”，则称一致渐近稳定。物理意义：如果系统状态开始在平衡点附近，则系统不会振荡，其状态轨线最终会落在平衡点。只有渐近稳定才是工程意义上的稳定。但渐近稳定仍然是某平衡点附近的稳定（局部稳定），并不意味着整个系统就能运行。 图4-3 渐进稳定（局部稳定） 图4-4 全局稳定 图4-5 不稳定定义4-4 若对任意初始状态，无需要求系统初始处于平衡点附近，都有，则称平衡状态是大范围渐近稳定(全局稳定)(Asymptotically Stable in the large)。全局稳定的物理意义：无论开始系统状态在何处，其状态轨线最终会落在平衡点。全局稳定时，系统只能有一个平衡点。对线性系统，渐近稳定必定是全局稳定；对非线性系统，多数为局部渐近稳定。定义4-5（不稳定） 对任意给定的“小距离” ，无论 “半径”怎么小，系统至少有一个初态，当，则有任何时候的状态与平衡点的距离大于给定的“小距离”，则称平衡状态是不稳定（李氏不稳定）。不稳定的几何意义是：无论系统初始状态如何接近平衡点，至少有一个状态远离平衡点，不会回到原平衡点或原平衡点附近。 4.1.2 Lyapunov间接法判别稳定性定理4-1 状态稳定性（内部稳定性）判别定理（间接法），通过求解系数矩阵的特征值（系统极点）来判断系统的稳定性称为Lyapunov间接法。（1）是“Lyapunov临界稳定”的充要条件是的约当标准形中实部为零的特征值所对应的约当块是一维的，且其余特征值均有负实部；（2）是“渐近稳定”的充要条件是的特征值均有负实部；（3）是“不稳定”的充要条件是至少有一个特征值具有正实部；例4-1 判断平衡点的稳定性。解：的特征值 ，所对应的约当块是二维的， 讨论：（1）根据上述结论，当是约当标准型时，是不稳定平衡点。实际上，方程解为，显然，当，有，表明是不稳定平衡点。（2）定义：满足的称为的特征值，。对于，其解为，或者写成， 由此不难得出：“渐近稳定”的结论（2）和“不稳定”的结论（3）* 非线性系统的稳定性间接法稳定性判别定理只能用于线性系统，因此，对于非线性系统，必须先作线性化处理，是高阶导数项。， （4-3）令 ，则 （4-4）在系统一次近似的线性化方程基础上，Lyapunov给出如下结论：（1）的特征值均有负实部，则状态稳定，与无关；（2）的特征值至少有一个正实部，则不稳定，与无关；（3）的特征值至少有一个为，的稳定性与无关，但不能由来决定。例4-2 分析系统，平衡点的稳定性。解：系统为非线性系统，通常有多个平衡点。令，可求出系统的2个平衡点：将系统在处线性化：，其特征值，表明非线性系统在处不稳定。将系统在处线性化：，其特征值的实部为零，不能用来判断系统在处是否稳定。 *对于平衡点，我们还可以做坐标变换： ， ，将系统在处线性化：，其特征值的实部为零，不能用来判断系统在处是否稳定。4.1.3 能量函数（Lyapunov直接法判别稳定性）力学原理：消耗能量(能量减小)，吸收能量能量增加电学原理：放电(能量)，充电(能量)，但系统能量总是 图4-6 RC电路的充放电过程（1）若能量变化小于零，系统渐近 稳定；（2）若能量变化大于零，系统不稳定；（3）若能量变化等于零，系统“临界稳定”。例4-2分析RLC串联系统的稳定性。 （1）电感、电容都是线性的，（例4.1.1）；（2）电感、电容都是线性的，（例4.1.2）；（3）电感是线性的，电容具有非线性的库伏特性，（例4.1.3）； RLC串联电路系统解：（1）当电感、电容都是线性的，以电感磁通和电容电荷为状态变量，可写出状态方程，该电路无外界能量输入，同时电路中没有能量损耗， 图（1）时状态方程图所以电路总能量W恒定。可见，系统的状态轨迹是一个椭圆。系统是稳定的，但不是渐近稳定的。（2）当电感、电容都是线性的，且， 相应的状态方程为 图（2） 时状态方程图，电阻是耗能的，电路的总能量不断减少。设，再令初始状态为， 求得方程的解为当时，故系统总能量状态轨迹图表明，从原点附近出发的状态轨迹不仅能保持在原点附近，且随着时间的推移逐渐趋向于原点，因此系统是渐近稳定的。（3）当电感是线性的，电容具有非线性的库伏特性，时，相应的状态方程为 此时电路无外界能量输入，电路中也没有能量损耗，所以电路总能量W恒定。 图（3），时状态方程图 令，得到系统的3个平衡点，分别是（0,0）、（1,0）。状态轨迹图如图。纵轴交点为，横轴交点为由图看出，过原点的状态轨迹有的回到原点，也有的离开原点，因此，从原点任意小邻域出发的轨迹都不能始终保持在原点附近，因此系统在原点处是不稳定。以上例题表明了系统能量与系统稳定性的关系。4.2 Lyapunov稳定性定理 1892年，俄国数学力学家Lyapunov在他的博士论文运动稳定性的一般问题中提出了著名的Lyapunov稳定性理论。其核心是构造一个标量函数作为虚构的广义能量函数（称为Lyapunov函数）。定理4-2 设阶系统，平衡状态，如果存在一个对所有都有连续的一阶偏导数的正定的标量函数定义 （4-5）Sylvester判据。设实对称矩阵，记各阶顺序主子式为则下列结论成立：1） 矩阵正定的充要条件是所有；2） 矩阵半正定的充要条件是；3） 矩阵负定的充要条件是；4） 矩阵半负定的充要条件是定理4.2.1（Lyapunov稳定性定理）对非线性系统，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数，满足以下条件1) 若负定（），则是渐近稳定（局部稳定）；若当时，则系统是全局稳定；2) 若半负定（），则是Lyapunov稳定（临界稳定）；进一步：若，（不是状态方程的非零解），则是渐近稳定（局部稳定）；任何一个标量函数，只要满足Lyapunov稳定判据条件，都可以作为Lyapunov函数，都可用来判别系统的稳定性，这表明Lyapunov用途的广泛性；Lyapunov函数由状态变量所构成，其最简单形式是二次形（但不一定是二次形）尽管Lyapunov函数不唯一，但系统是否稳定是个客观事实，结论必定是唯一的；找不到符合条件的Lyapunov函数，并不能确定系统是否稳定，如果用Lyapunov函数的符号不能确定，并不能判断系统就是不稳定的。3) 若正定（），则是不稳定；能量二次形：物体动能，弹簧的弹性势能，电容的电场能，电感的磁场能例4-3试确定（例4.2.1）系统、，a=const.平衡点的稳定性。解：令，求得是唯一平衡点。试取 ，只在处， 渐进稳定 不稳定 李氏稳定 有连续偏导数。当，有，是稳定平衡点；当，有，是不稳定平衡点；当，有，是Lyapunov稳定平衡点；表明所选可判定系统稳定性，是Lyapunov函数。例4-4 试确定，平衡点的稳定性。解：采用Lyapunov函数法：令，求得是唯一平衡点。第1次取 有连续偏导数。符号不定，无法确定系统是否稳定，因此不是Lyapunov函数。第2次取 有连续偏导数，只要在 的“横轴”上（不一定在原点），就有，因此是Lyapunov稳定平衡点，是Lyapunov函数。进一步，由于，但不恒等于0（半负定），是渐近稳定，又，因而是大范围渐近稳定。第3次取函数：根据定理可知是渐近稳定，所以是Lyapunov函数。可见Lyapunov函数并非唯一，无论怎样取Lyapunov，只要符合函数的条件，能判别平衡点的稳定性，它就是Lyapunov函数，结论是唯一的。此题为线性系统，也可以采用“间接法”来判断系统的稳定性：系数矩阵为，根据Routh方法，一阶和二阶系统，只要系数为正，系统就是稳定的。实际上的实部0。例4-5 设闭环系统如图双积分系统，试分析其稳定性。 双积分闭环系统解：用三种方法分析系统的稳定性经典法：由图列出即，取，并不影响讨论系统的稳定性，故其解为 这是临界稳定系统。Lyapunov函数法：设，于是，稳定性与输入无关，只考虑齐次方程 ，是唯一平衡点。试取 而且有连续偏导数根据定理可知系统是Lyapunov临界稳定，而Lyapunov稳定在工程意义上是不稳定的，这与经典控制理论的结论是一致的。间接法：，显然，系统状态是振荡的，故是Lyapunov临界稳定平衡点，结论是一致的。例4-6试分析系统，平衡点的稳定性。解：对非线性系统，不能采用“求解系统特征值”的方法讨论平衡点的稳定性。令是唯一平衡点。试取，有连续偏导数。当，在的圆上，故是Lyapunov临界稳定平衡点；当，在的圆内，同上讨论，对状态方程的非零解，故是渐近稳定平衡点；所选，可判定系统稳定性，是Lyapunov函数。其稳定域是单位圆内,系统不是大范围渐近稳定的。4.3 Lyapunov函数构造方法4.3.1 线性系统Lyapunov函数构造方法以下给出判别线性定常系统渐近稳定的充要条件。设，由能量的“二次型”表达式得到启发，试取正定二次型作Lyapunov函数，即为正定对称矩阵，有 （4-5） （4-6）式中：，显然，若是正定对称矩阵，则，系统是渐近稳定的，于是有以下定理。定理4-3 线性定常系统渐近稳定的充要条件是，任意给定一个正定对称矩阵，若能找到一个正定对称矩阵（一定能找到吗？不一定找得到！），满足Lyapunov方程 （4-7）此时Lyapunov函数可以取为 （4-8）矩阵只要满足正定对称，并无其他要求（的任意性正表明Lyapunov函数的不唯一性），通常取。然后通过Lyapunov方程求解出正定对称矩阵，而对阶对称矩阵，共有个独立元素，求解出这个独立元素，就可确定，然后计算的顺序主子式的符号可确定对称矩阵的定号性，由此可构造出Lyapunov函数，再根据Hurwitz判断系统的稳定性。例4-7（例4.3.1）用求解Lyapunov方程方法分析系统平衡点的稳定性。解：设对称矩阵，求解Lyapunov方程确定：解得：，说明我们找到一个对称矩阵（若方程无解，说明找不到符合条件的对称矩阵）。以下计算的顺序主子式的符号，已确定的正定性奇数主子式：， 偶数主子式：根据Hurwitz判据，有，即是正定对称矩阵，再根据定理4-3可以判别系统是渐近稳定的。系统的一个Lyapunov函数为 Matlab软件给出了求解Lyapunov方程的函数，他的一般形式为 P=lyap(A，Q)特别的，P=lyap(A，B，Q) 给出了矩阵方程的解。应用Matlab软件来判断上例的稳定性，可执行m-文件（eye(2)为2阶单位矩阵） 得到 进一步，由给出矩阵的特征值或者，由于矩阵所有特征值都是正的，矩阵是正定的，系统是渐进稳定。（任何矩阵都可以通过非奇异变换成“对角元是矩阵特征值”的对角矩阵，而对角元为正的对角矩阵，矩阵必定是正定的）。 在一些实际控制系统中，操作员往往需要在线调整一些参数以改善系统的特性，然而这些参数的改变不应该导致系统的不稳定，为此需要确定这些参数可允许调节的范围，以确保系统是稳定的。例4-8（例4.3.2） 在保证系统是渐进稳定的情况下，确定系统增益的可调节范围。解：，；，；，。由图可得系统的状态方程为考虑系统稳定性时，均可假设在用Lyapunov方程处理方法来判别线性时不变系统渐近稳定性时，右边的矩阵有时也允许是半正定的，这样可以使数学运算得到简化。式中矩阵，满足半正定的充要条件，所以是半正定的。求解相应的线性方程组可得：矩阵是正定的充要条件是：，因此当满足条件时，系统在原点处是大范围渐近稳定的。4.3.2 用Krasovski（克拉索夫斯基）方法构造Lyapunov函数由上面讨论可知，若找到了Lyapunov函数，用直接法分析稳定性是方便的，然而构造Lyapunov函数却成了新问题。尽管通过研究得到了一些方法，但至今还没有得到一个对任何系统都普遍适用的构造Lyapunov函数的方法。数学知识：设， 那么 特例：； 下面介绍一种Krasovski方法构造Lyapunov函数。定理4-4 对系统，平衡点为取 ，记共轭为“*”，转置为“”，共轭转置为“”。若 则是渐近稳定的。此时，Lyapunov函数为 （4-9）当 ，则是大范围渐近稳定。无论系统是线性还是非线性，是定常还是时变，都能用Krasovski方法构造Lyapunov函数。证明： 其中，且是Lyapunov函数。证毕。特别地，对于线性系统当，若是非奇异的，则只有唯一一个平衡点，有，当是实数矩阵时，因此就有以下推论。重要推论：对线性定常系统，若是非奇异实数矩阵，若根据定号性确定（这个方法只需判断的正定性，因而有时比较简单） （4-10）则是大范围渐近稳定平衡点。对线性定常系统，采用克拉索夫斯基方法构造的Lyapunov函数是一个可以给出渐近稳定的充分条件。例4-9分析非线性系统，平衡点的稳定性。解：令 ，是唯一平衡点。，根据二次型及其定号性，的顺序主子式为奇数：；偶数：根据二次型及其定号性 则，即负定，负定。根据定理4-3，是渐近稳定平衡点，且Lyapunov函数为 当 ，故是大范围渐近稳定。例4-10 分析系统平衡点的稳定性。解：是非奇异，且 是唯一平衡点。奇数主子式：；偶数主子式：根据二次型及其定号性 ，即负定。所以是渐近稳定平衡点，Lyapunov函数为且当，故是大范围渐近稳定。值得指出的是：通过Krasovski方法构造的Lyapunov函数是一个充分条件，并非所有系统都可以找到Lyapunov函数。若用这种方法找不到Lyapunov函数，并不能就此判别系统的稳定性，必须用其他方法寻找Lyapunov函数。稳定性判别方法小结：1. 间接法 求解阶系统的特征方程，通常有个解， 2. 直接法 构造一个Lyapunov函数 （1） 若负定（），则是渐近稳定（局部稳定）；若当时， ，则系统是全局稳定；（2）若正定，则是不稳定；（3）若半负定，则是Lyapunov临界稳定；进一步：若， 则是渐近稳定（局部稳定）；3. 求解Lyapunov方程方法 给定正定对称，若能从Lyapunov方程中求解出一个正定对称矩阵，则系统稳定，且此时Lyapunov函数为 4. Krasovski方法 ，则是渐近稳定的。此时，Lyapunov函数为，当，则是大范围渐近稳定。特别地，对线性定常系统，当是非奇异实数矩阵，若 则是大范围渐近稳定平衡点。4.4 Lyapunov稳定性方法在控制系统分析中的应用 Lyapunov稳定性方法在控制系统分析中的有着广泛应用（1）判别一个系统的稳定性，或者确定系统中某些参数的取值范围，以使系统保持稳定；（2）稳定化控制器的设计；（3）线性系统时间常数的估计；（4）确定系统的最优化参数等。4.4.1 渐近稳定线性系统时间常数的估计在经典控制理论中用（负实部离虚轴最近的，响应最慢的）主导极点来估计系统的响应速度。Lyapunov函数的物理意义是“系统的能量”，其值随状态的位置而变化。从几何意义上看，函数又可看成是度量状态到系统平衡状态之间距离的尺度。对一个二阶线性系统，取Lyapunov函数，其值恰好是状态到原点距离的平方。设阶线性定常系统有唯一的平衡点，且是渐近稳定的，。其状态响应为，这是线性定常系统的零输入响应，其运动将从任一初态出发，向平衡点衰减，从而状态到原点的距离随时间增加不断减小。图4-7 Lyapunov函数收敛（衰减）的几何意义可以度量状态趋向原点的速度，（参见图4-7 ），我们要问：衰减速度如何呢？当系统是渐近稳定时，“能量”是正定的，而“能量的变化”是负定的，因此可以引入一个变量， （4-11） 一般的，是时变的，要从（4-11）估计状态的衰减率还是很困难的，为了方便，可以取的最小值来分析。定义状态最小衰减率： （4-12）根据（4-11）和（4-12）可得： （4-13）的量纲是，它给出了趋于0的速度的估计。由于常常取成状态的二次型，故也可以作为状态趋于原点的速度的估计。的量纲是时间，可以解释为Lyapunov函数衰减到0的最大时间常数，它约为系统自由响应时间常数的一半。对于一般系统，的求取是很困难的。 但对于线性系统，总可以取作为系统的一个Lyapunov函数，而，是任意给定的对称正定矩阵，是Lyapunov方程的解矩阵。进一步，由于 （4-14）表示矩阵的最小特征值。例4-11（例4.4.1）估计的最大时间常数。 解：取,则，因此，收敛到0的时间常数上界为，系统自由响应时间常数的上界为。4.4.2 基于Lyapunov稳定性的参数优化考虑系统 （4-12）系统矩阵中含有可调参数，不仅可以影响系统的稳定性，而且还可以影响系统的动态特性。希望选择最优参数，使得系统是渐近稳定的，同时使性能指标 （4-13）最小化，是对称正定加权矩阵，称为“参数优化”。特别的，若取，则相应的性能指标为 （4-14）由式（4-14）确定的性能指标值就是曲线所包围的面积。图4-8 曲线所包围的面积 性能指标值越小，系统状态衰减到零的速度越快，调节时间越短，震荡幅度越小，故动态特性越好。 由于选择的参数要保证系统是渐近稳定的，所以对任意对称正定矩阵，Lyapunov方程为 （4-15）存在唯一对称正定解矩阵，这样选择首先可以保证系统是渐近稳定的。此时是系统（4-12）的一个Lyapunov函数，且沿该系统的任意轨迹满足 对上式两边对时间积分，并利用系统的渐进稳定性，可得由于是任意对称正定矩阵，故可选 （4-16） （4-17） 上面讨论表明，从静态Lyapunov矩阵方程（4-17）求解出，再代入（4-16）就可以求出系统的性能指标值，这比求解微分方程和积分式简单得多。显然，也依赖于参数，因此 （4-18） 从而，原来的参数化问题转化为选择参数，使（4-18）式最小，可以通过来求得，这样确定的可以保证性能指标是最小的。一般情况下，参数的最优值与初始状态有关。例4-12（例4.4.2）系统如下所示，确定阻尼比的值，使得系统在单位阶跃输入作用下，性能指标 达到极小。为误差信号，是常数。假设系统开始时是静止的。其物理意义是：在输出信号跟踪单位输入信号的整个过程中，误差信号与误差信号变化率所消耗的能量之和最小。 解：由图可得 由于输入是单位阶跃函数，所以，故对 定义状态变量 则状态方程为 性能指标为 所以 ；初始状态为 当时，系统是渐近稳定的，的最小值为，由下式解出将代入，可求得 性能指标为 （相乘等于一个常数，则二者相等时，其和最小）。或者令 ，此时 结果：在输出信号跟踪单位输入信号的整个过程中，误差信号与误差信号变化率所消耗的能量之和最小为4.4.3 基于Lyapunov稳定性的控制器设计应用Lyapunov稳定性理论可以用来设计使得闭环系统稳定的控制器，这是经典控制理论的稳定性分析所不能及的。例4-13（例4.4.3）由图，采用输出反馈（比例P控制）的双积分系统仍然是“临界稳定”而不是渐近稳定的，构造一个控制律，通过状态反馈（也可以视为微分D控制）使其成为一个渐近稳定的系统。解：由例4-5可知，是唯一平衡