高考数学总复习 2.1映射、函数及反函数课件 人教版.ppt

第一讲映射 函数及反函数 一 映射设a b是两个非空集合 如果按照某种对应法则f 对于集合a中的任何一个元素 在集合b中的元素和它对应 那么这样的对应 包括集合a b以及a到b的对应法则f 叫做集合a到集合b的映射 记作f a b 如果a中的元素a对应b中的元素b 则b叫做a的 而a叫做b的 都有唯一 原象 象 注意 映射的特点 存在性 映射中集合a的任一元素在集合b中都有它的象 唯一性 映射中集合a的任一元素在集合b中的象是唯一的 封闭性 a中元素的象必在集合b中 有序性 f a b 指从集合a到集合b的映射 要与f b a区分开来 这是两个不同的映射 因为尽管它们的对应法则都是 f 但前者原象集合为a 象属于集合b 而后者原象集合为b 象属于集合a 整体性 映射不是只有集合a或者集合b 而是集合a b以及对应法则f的整体 是一个系统 记作f a b 有时 在映射f a b中 集合a中的元素a对应集合b中的元素b 也可表示为f a b f a 或者直接写成b f a 二 函数1 函数的定义 1 设在一个变化过程中有两个变量x与y 如果对于x的每一个值 y都有唯一的值与它对应 那么就说x是自变量 y是x的函数 2 如果集合a b都是的数集 那么a到b的f a b就叫做a到b的函数 记作y f x x a 函数是一种特殊的映射 f a b必须满足a b都是非空数集 其象的集合是b的子集 非空 映射 2 函数的构成在a到b的函数y f x 中 其中x a y b 原象的集合a叫做函数y f x 的定义域 象的集合c c b 叫做函数y f x 的值域 函数符号y f x 表示 y是x的函数 有时简记为函数f x 其中f表示对应法则 构成函数的三要素是 和 而值域由定义域和对应法则可以确定 分析判断两函数是否为同一函数时 就从这三个方面进行分析 只有三者完全相同时才为同一个函数 定义域 值域 对应法则 三 函数的表示法和区间1 函数的表示法 1 用函数的解析式来表示两个变量之间的函数关系的方法 用解析式表示函数关系的优点是 函数关系清楚 容易根据自变量的值求出其对应的函数值 便于用解析式来研究函数的性质 解析法 2 就是列出表格来表示两个变量的函数关系 用列表法表示函数关系的优点是 不必通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值 3 就是用函数图象表示两个变量之间的关系 用图象法表示函数关系的优点是 能直观形象地表示出函数值的变化情况 列表法 图象法 注意 平时表示函数常用的表示法是解析法 建立有实际意义的函数解析式 首先要选定自变量 而后寻找等量关系 求得函数解析式 其中确定其定义域是关键 若函数在其定义域的不同子集上 因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示 这种函数称为分段函数 并不是所有的函数都能写出解析式 有时只能用图象法或列表法来表示 2 区间的定义设a b是两个实数 而且 规定 1 满足不等式的实数x的集合叫做闭区间 表示为 a b 2 满足不等式的实数x的集合叫做开区间 表示为 a b 3 满足不等式或a x b的实数x的集合叫做半开半闭区间 分别表示为 a b a b 这里实数a与b都叫做相应区间的端点 a b a x b a x b a x b 四 反函数的概念1 反函数的定义一般地 函数y f x x a 中 设它的值域为c 根据这个函数中 x y的关系用y把x表示出来 得到x y 如果对于y在c中的一个值 通过x y x在a中都有的值和它对应 那么x y 就表示x是自变量y的函数 这样的函数x y y c 叫做函数y f x x a 的反函数 记作x f 1 y 习惯上将x视作自变量 则y f x 的反函数为y f 1 x 任何 唯一 2 只有从定义域到值域上的映射所确定的函数才有反函数 反函数的定义域和值域分别是原函数的和 因此 反函数的定义域可通过求原函数的值域得到 奇函数的反函数 存在反函数时 也是 定义域为非单元素集的偶函数反函数 求分段函数的反函数时 可以分别求出各段函数的反函数再合在一起 一一 值域 定义域 奇函数 不存在 在定义域上单调的函数必有反函数 凡是周期函数都没有反函数 指数函数与对数函数 同底 是典型的互为反函数的函数 如 y ax与y logax a 0且a 1 五 互为反函数图象间的关系1 一般地 函数y f x 的图象和它的反函数y f 1 x 的图象关于对称 2 函数与其反函数的单调性一致 3 如果一个函数的反函数为其本身 则其图象本身关于直线y x对称 反之亦然 直线y x 解析 只有 正确 函数定义域不能是空集 图象是分布在一条直线上的一系列的点 图象不是抛物线 答案 a 2 关于从集合m到集合n的映射 下面的说法错误的是 a m中每个元素在n中都有象b m中两个元素在n中的象至少是两个元素 也可以有多个c n中元素在m中可以没有原象d n中元素在m中的原象可以有两个甚至多个解析 按照映射定义 m中两个元素的象可以为同一个元素 答案 b 解析 依题意 因为8 1 f 8 log3 8 1 2 答案 2 解 1 不同函数 f1 x 的定义域为 x r x 0 f2 x 的定义域为r 2 不同函数 f1 x 的定义域为r f2 x 的定义域为 x r x 0 3 同一函数 x与y的对应关系完全相同且定义域相同 它们是同一函数的不同表示方式 4 同一函数 理由同 3 已知映射f a b 其中a b r 对应法则f y x2 2x 对于实数k b 在集合a中不存在原象 则k的取值范围是a k 1b k 1c k 1d k 1 题后总结 本题把映射与函数有机地结合在一起 在集合a中不存在原象 实质上就是k不在函数的值域内 题后总结 1 定义法 配凑法 对f g x 的解析式进行配凑变形 使它能用g x 表示出来 再用x代替两边的所有 g x 即可 2 待定系数法 若已知函数的类型 如一次函数 二次函数 可用待定系数法 3 换元法 已知复合函数f g x 的解析式 可用换元法 此时要注意变量的取值范围 题后总结 求反函数时 从y f x 的解析式中求出x f 1 y 的过程中如果出现两解的情况 则要根据x的取值范围进行取舍 另外 还要在解析式后注明反函数的定义域 其定义域应由原函数的值域求得 易错点 函数概念掌握不牢致误下列四个图形中 不可能表示函数y f x 的图象的是 错因分析 误选a主要是由于对函数概念掌握不牢造成的 函数概念要求对任意一个x都有唯一的y与之对应 a项中虽然存在相同的y值对应不同的x值 但是它满足函数概念的要求 所以它能表示函数y f x 的图象 规范解答 根据函数的概念 要求对每一个x值都有唯一的y值与之对应 选项a b c都满足这特点 而d中图形的每一个x x 0除外 值对应有两个y值 不符合函数定义 故选d 状元笔记 理解