高考数学二轮复习 专题辅导与训练 3.2 函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质教学课件.ppt

第二讲函数y asin x 的图象与性质 主干知识 1 重要性质 1 增减性 k z k z 2k 2k k z 2k 2k k z k z 2 对称性 k 0 k z x k k z 2 易错提醒 1 忽视定义域 求解三角函数的单调区间 最值 值域 以及作图象等问题时 要注意函数的定义域 2 重视图象变换顺序 在图象变换过程中 注意分清是先相位变换 还是先周期变换 变换只是相对于其中的自变量x而言的 如果x的系数不是1 就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向 3 忽视a 的符号 在求y asin x 的单调区间时 要特别注意a和 的符号 若 0 需先通过诱导公式将x的系数化为正的 考题回顾 1 2014 台州模拟 设函数f x sin x sin x 0 的最小正周期为 则 a f x 在 0 上单调递增b f x 在 0 上单调递减c f x 在 0 上单调递增d f x 在 0 上单调递减 解析 选b f x sin x sin x 2sin xcos sin x 又因为函数f x 的最小正周期为 所以 2 f x sin2x 由正弦函数的单调性可知 f x 在 0 上单调递减 2 2014 辽宁高考 将函数y 3sin 2x 的图象向右平移个单位长度 所得图象对应的函数 a 在区间上单调递减b 在区间上单调递增c 在区间上单调递减d 在区间上单调递增 解析 选 函数y 3sin 2x 的图象向右平移个单位长度 所得图象对应的函数为y 3sin 2 x y 3sin 2x 由2k 2x 2k k z 得k x k k z 3 2014 浙江高考 为了得到函数y sin3x cos3x的图象 可以将函数y cos3x的图象 a 向右平移个单位b 向右平移个单位c 向左平移个单位d 向左平移个单位 解析 选a 因为y sin3x cos3x cos 3x 故只需将y cos3x的图象向右平移个单位即可 4 2014 江苏高考 已知函数y cosx与y sin 2x 0 它们的图象有一个横坐标为的交点 则 的值是 解析 由题意得sin cos 又由0 得 得 答案 5 2014 南京模拟 设函数y 2sin 2x 的图象关于点p x0 0 成中心对称 若x0 0 则x0 解析 由2x k k z 即x k z 得当k 1时 x0 0 答案 6 2014 杭州模拟 函数f x asin x a 0 0 的部分图象如图所示 则将y f x 的图象向右平移个单位后 得到的图象解析式为 解析 得周期t 于是 2 由图象易知a 1 根据五点作图法有 得 所以f x sin 2x 将y f x 的图象向右平移个单位后 得到的图象解析式为y 答案 y sin 2x 热点考向一三角函数的性质 考情快报 典题1 1 2014 衡水模拟 设f x asin2x bcos2x 其中a b r ab 0 若f x f 对一切x r恒成立 则 f 0 f x 既不是奇函数也不是偶函数 f x 的单调递增区间是 k k k z 其中正确的是 2 2014 台州模拟 已知函数f x 2sinxsin x 0 的图象过点 求 的值 求函数f x 的单调递增区间 信息联想 1 看到f x asin2x bcos2x 想到 看到f x f 想到 2 看到图象过点想到 看到求单调递增区间 想到 利用三角恒等变换化为只含一个角的一种三角函数的形式 代入求 三角恒等变换及单调递增区间的求法 规范解答 1 f x asin2x bcos2x 由f x f 对一切x r恒成立知 f 又 f 即两边平方整理得a 所以f x f 0 故 正确 故 错误 f x f x 所以 正确 因为当b 0时 由2k 2x 2k k z 解得k x k k z 故 错误 综上可知 正确 答案 2 由已知2sin即因为0 所以 f x 2sinxcos x 2sinx cosxcos sinxsin sin2x 1 cos2x sin 2x 由2k 2x 2k k z 得k x k k z 故函数f x 的单调递增区间为 k k k z 互动探究 在 2 的条件下 求函数f x 的最小正周期和对称轴方程 解析 由题 2 知f x sin所以最小正周期t 由2x k k z 得x k z 所以f x 的对称轴方程为x k z 规律方法 求解三角函数性质常用结论与技巧 1 运用整体换元法求解单调区间与对称性 类比y sinx的性质 只需将y asin x 中的 x 看成y sinx中的 x 采用整体代入求解 令 x k k z 可求得对称轴方程 令 x k k z 可求得对称中心的横坐标 将 x 看作整体 可求得y asin x 的单调区间 注意 的符号 2 奇偶性 函数y asin x x r是奇函数 k k z 函数y asin x x r是偶函数 k k z 函数y acos x x r是奇函数 k k z 函数y acos x x r是偶函数 k k z 函数y atan x x r是奇函数 k z 3 周期性 函数y asin x 或y acos x 的最小正周期t 注意y asin x 的周期t 4 最值 或值域 求最值 或值域 时 一般要确定u x 的范围 然后结合函数y sinu或y cosu的性质可得函数的最值 值域 变式训练 1 2014 北京高考 设函数f x asin x a 是常数 a 0 0 若f x 在区间上具有单调性 且则f x 的最小正周期为 解析 由可知 图象关于对称 由知 图象关于对称 又因为f x 在区间上具有单调性 所以最小正周期为答案 2 2014 保定模拟 已知函数f x cos x cos x sinxcosx 1 求函数f x 的最小正周期和最大值 2 求函数f x 在 0 上的单调递减区间 解析 1 因为f x cos x cos x 2 由2k 2x 2k k z 得k x k k z 函数f x 的单调递减区间为 k k k z 又因为x 0 则f x 在 0 上的单调递减区间为 加固训练 1 2014 苏州模拟 已知函数f x 2sin 2 x 0 的最大值与最小正周期相同 则函数f x 在 1 1 上的单调增区间为 解析 由题意可知 函数f x 2sin x 令 2k x 2k k z 解得 2k x 2k k z 又x 1 1 得 x 所以函数f x 在 1 1 上的单调增区间为答案 2 已知函数f x 4cosx sin x a的最大值为2 1 求a的值及f x 的最小正周期 2 求f x 的单调递增区间 解析 1 f x 4cosx sin x a 4cosx sinx cosx a 2sinxcosx 2cos2x 1 1 a sin2x cos2x 1 a 2sin 2x 1 a 所以当sin 2x 1时 f x 取得最大值2 1 a 3 a 又f x 的最大值为2 所以3 a 2 即a 1 f x 的最小正周期t 2 由 1 得 f x 2sin 2x 所以 2k 2x 2k k z 得 2k 2x 2k k z 所以 k x k k z 所以f x 的单调递增区间为 k k k z 热点考向二三角函数的图象 考情快报 高频考向多维探究 命题角度一由图象特点求解析式 典题2 1 2013 四川高考 函数f x 2sin x 0 的部分图象如图所示 则 的值分别是 2 2014 太原模拟 如图所示为函数f x 2sin x 0 的部分图象 其中a b两点之间的距离为5 那么f 1 a b c 2d 2 信息联想 1 看到想到 看到想到 2 看到a b两点间距离为5 想到 看到过 0 1 点 想到 半个周期为3 2sin 1 规范解答 1 选a 根据图象知所以t 可得 2 又图象过 2 点 所以有 2 选c 由图象知f 0 1 即2sin 1 所以sin 又 故 而a b两点间距离为5 所以t 6 所以f x f 1 2sin 2sin 2 命题角度二三角函数图象变换 典题3 1 2014 安徽高考 若将函数f x sin2x cos2x的图象向右平移 个单位 所得图象关于y轴对称 则 的最小正值是 2 2014 长沙模拟 将函数f x 的图象向左平移 00 倍 纵坐标不变 得到函数y g x 的图象 已知函数y g x 是周期为 的偶函数 则 的值分别为 信息联想 1 看到平移变换 想到 2 看到平移 缩短变换 想到 三角函数 y asin x 的图象变换 三角函数y asin x 的图象变换 规范解答 1 选c 将函数f x sin2x cos2x sin 2x 的图象向右平移 个单位 所得函数为y sin 2 x sin 2x 2 其图象关于y轴对称 所以 2 k k z 所以 的最小正值是 规律方法 1 函数表达式y asin x b的确定方法 变式训练 1 2014 台州模拟 函数f x 的图象如图 则f x 的解析式可能是 a f x cos2xb f x sinc f x cosd f x sin 解析 选d 对于a 当x 0时 由图象知y f 0 1 0 而f 0 cos0 1 1 0 故可排除a 对于b 设f x sin x 由图知 函数的周期即解得 可排除b 对于c 当x 时 cos 1 0 即f x cos不经过 0 故可排除c 对于d 由以上分析知 sin 0 满足题意 故d正确 2 2014 北京高考 函数f x 3sin 2x 的部分图象如图所示 1 写出f x 的最小正周期及图中x0 y0的值 2 求f x 在区间上的最大值和最小值 解题提示 1 由图象及解析式可求 2 先求出整体2x 的范围 再求f x 的最值 解析 1 f x 的最小正周期为 x0 y0 3 2 因为x 所以2x 0 于是当2x 0 即x 时 f x 取得最大值0 当2x 即x 时 f x 取得最小值 3 加固训练 1 如图是函数y asin x x r 在区间上的图象 为了得到这个函数的图象 只要将y sinx x r 的图象上所有的点 a 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变b 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变c 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变d 向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变 解析 选a 由图象可知函数的周期为 振幅为1 所以函数的表达式可以是y sin 2x 代入 0 可得 的一个值为 故图象对应函数的一个表达式是y sin 2x 所以只需将y sinx x r 的图象上所有的点向左平移个单位长度 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 2 如图是函数f x asin x b a 0 0 图象的一部分 则f x 的解析式为 解析 由图可知又函数f x 2sin x 1过点 1 及 0 2 所以由图象知2 t 4 所以 1 所以 所以函数的解析式是f x 答案 f x 命题角度三函数y asin x 的图象和性质的综合问题 典题4 2014 成都模拟 已知向量a sinx 2cosx b 2sinx sinx 设函数f x a b 1 求f x 的单调递增区间 2 若将f x 的图象向左平移个单位 得到函数g x 的图象 求函数g x 在区间上的最大值和最小值 现场答案 纠错析因 找出以上现场答案的错误之处 分析错因 并给出正确答案 提示 以上解题过程中出错之处有三 第一处 f x 的解析式化简错误 原因是化简sin2x时用错公式 第二处 求出的增区间 没有注明k z 造成失分 第三处 g x 的解析式求错 原因与第一处错误有关 但主要还是将平移的增加量搞错 致误 规范解答 1 f x a b 2sin2x 2sinxcosx 2 由 2k 2x 2k k z 得 k x k k z 所以f x 的递增区间是 k k k z 2 由题意g x sin 2 x 1即g x 的最大值为 1 g x 的最小值为0 规律方法 1 解y asin x 的图象和性质的综合问题的思路先正确运用相应的三角公式 通过准确的三角恒等变换 将所给函数f x 化为y asin x 的形式 再确定与应用其图象和性质 2 图象与性质的几个对应关系对y asin x y acos x a 是常数 且a 0 0 结合函数图象可观察出如下几点 函数图象的对称轴都经过函数的最值点 对称中心的横坐标都是函数的零点 相邻两对称轴 对称中心 间的距离都是半个周期 图象上相邻两个最大 小 值点之间的距离恰好等于一个周期 3 指定闭区间上三角函数图象的作法 1 确定关键点 区间端点 最高 低 点 与坐标轴的交点 2 建立直角坐标系 标出需要的单位 3 描点绘图 描出关键点 用平滑曲线连接 变式训练 1 2014 南昌模拟 函数的图象如图所示 则函数y cos kx x r的图象纵坐标不变 横坐标缩短到原来的 再向左平移个单位后 得到y g x 的图象 则函数y g x 在 0 上 a 是减函数b 是增函数c 先增后减函数d 先减后增函数 解析 选a 由图象可知故 4 解得 又当x 0时 2sin 1 故可取 又直线y kx 1过 3 0 0 1 因此k 平移后的图象的解析式为y 2 2014 山东高考 已知向量a m cos2x b sin2x n 函数f x a b 且y f x 的图象过点 1 求m n的值 2 将y f x 的图象向左平移 0 个单位后得到函数y g x 的图象 若y g x 的图象上各最高点到点 0 3 的距离的最小值为1 求y g x 的单调增区间 解题提示 1 先利用数量积的坐标运算写出f x 的函数解析式 再将已知两点代入解析式 利用待定系数法求出m n的值 2 先利用图象变换法求出g x 的解析式 再利用各最高点到点 0 3 的距离的最小值为1 求出 值 最后利用整体代入法求出单调区间 解析 1 已知f x a b msin2x ncos2x 2 f x sin2x cos2x 2sin 2x f x 左移 个单位后得到g x 2sin 2x 2 设g x 上到 0 3 距离最小的最高点为 x0 2 因为d 1 解得x0 0 所以g 0 2 解得 所以g x 2sin 2x 2sin 2x 2cos2x 所以 2k 2x 2k k z k x k k z 所以g x 的单调增区间为 k k k z 加固训练 1 2014 重庆模拟 定义行列式运算 a1a4 a2a3 将函数f x 的图象向左平移m个单位 m 0 若所得图象对应的函数为偶函数 则m的最小值是 解析 选a f x sinx cosx 2sin x 图象向左平移m个单位得y 2sin x m 将各选项代入验证 知选a 2 设函数f x sin x cos x 2 2cos2 x 0 的最小正周期为 1 求 的值 2 若函数y g x 的图象是由y f x 的图象向右平移个单位长度得到的 求y g x 的单调增区间 解析 1 f x sin2 x cos2 x 2sin xcos x 1 cos2 x sin2 x cos2 x 2 依题意得 2 依题意得g x 由2k k z 解得 备选考向 三角函数模型在实际问题中的应用 典题 如图 某市拟在长为8km的道路op的一侧修建一条运动赛道 赛道的前一部分为曲线段osm 该曲线段为函数y asin x a 0 0 x 0 4 的图象 且图象的最高点为s 3 2 赛道的后一部分为折线段mnp 为保证参赛运动员的安全 限定 mnp 120 1 求a 的值和m p两点间的距离 2 应如何设计 才能使折线段赛道mnp最长 解析 1 依题意 有又p 8 0 所以mp 2 在 mnp中 mnp 120 mp 5 设 pmn 则0 60 由正弦定理得因为0 60 所以当 30 时 折线段赛道mnp最长 即将 pmn设计为30 时 折线段赛道mnp最长 规律方法 与三角函数图象有关的实际问题的解题思路 1 模型构建 根据题目中的条件信息和图象信息构建三角函数模型 然后找出特殊的点求出函数的解析式 2 充分利用正弦定理 余弦定理 成本与利润的关系 并结合三角公式进行恒等变换 从而获解 加固训练 在股票市场上 投资者常参考股价 每一股的价格 的某条平滑均线 记作ma 的变化情况来决定买入或卖出股票 股民老张在研究股票的走势图时 发现一股票的ma均线近期走得很有特点 如果按如图所示的方式建立平面直角坐标系xoy 则股价y 元 和时间x的关系在abc段可近似地用解析式y asin x b 0 来描述 从c点走到今天的d点 是震荡筑底阶段 而今天出现了明显的筑底结束的标志 且d点和c点正好关于直线l x 34对称 老张预计这一股票未来的走 势如图中虚线所示 这里de段与abc段关于直线l对称 ef段是股价延续de段的趋势 规律 走到这波上升行情的最高点f 现在老张决定取点a 0 22 点b 12 19 点d 44 16 来确定解析式中的常数a b 并且已经求得 1 请你帮老张算出a b 并回答股价什么时候见顶 即求f点的横坐标 2 老张如能在今天以d点处的价格买入该股票5000股 到见顶处f点的价格全部卖出 不计其他费用 这次操作他能赚多少元 解析 1 因为c d关于直线l对称 所以c点坐标为 2 34 44 16 即 24 16 把a b c的坐标代入解析式 于是 abc段的解析式为y 6sin 19 由对称性得 def段的解析式为y 所以当x 92时 股价见顶 2 由 1 可知 yf 6 19 25 故这次操作老张能赚5000 25 16 45000 元 数形结合思想 解决三角函数